如何求鋸齒波交流電的有效值

摘要：中學(xué)教材中著重講述了正弦交流電的有效值規(guī)律，而其它有效值的計(jì)算需用微積分求得。本文另辟蹊徑，采用數(shù)列求和方法求得鋸齒波電流的有效值，具有探究性、綜合性、實(shí)用性。

關(guān)鍵詞：鋸齒電流；有效值；方均根；極限運(yùn)算

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2008)9(S)-0047-1



問(wèn)題的提出

在近期我校高三大考中有一道這樣的題目，一交變電流隨時(shí)間變化圖像如圖1所示，則此電流的有效值是：( )



A.等于Im2。 B.大于Im2。

C.小于Im2。D.無(wú)法判斷。

本題旨在考查學(xué)生“把正弦交流電和鋸齒交流電相比而得出結(jié)論”的對(duì)比能力，只要添加輔助曲線成正弦函數(shù)就很容易得出結(jié)論為(C)。但考后有同學(xué)問(wèn)這道題中電流的準(zhǔn)確有效值是多少，于是，我們就針對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行了探究。

問(wèn)題的探究

1.有效值的表達(dá)式

I=i21+i22+…+i2nn的由來(lái)。

高中教材已明確指出，讓交流電和直流電通過(guò)阻值相同的電阻，如果它們?cè)谙嗤臅r(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則這一直流電的數(shù)值叫做這一交流電的有效值。

選取時(shí)間為一個(gè)周期T，并把T分成n等份，則每一份時(shí)間Δt=Tn(當(dāng)n∞時(shí)，Δt0)?？梢哉J(rèn)為在時(shí)間Δt內(nèi)電流為某一定值，則根據(jù)有效值的定義得

I2RT=i21RΔt+i22RΔt+…+i2nRΔt，

所以有效值

I=i21+i22+…+i2nn。

2．鋸齒波交流電的有效值I=Im3的證明

分析如圖2所示的鋸齒波，把周期T分為n等份后，對(duì)應(yīng)時(shí)刻分別為

t1=Δt，t2=2Δt，…，tn=nΔt=T，

所對(duì)應(yīng)的電流的瞬時(shí)值

i1=Kt1，i2=Kt2，…，in=Ktn=Im。

由有效值表達(dá)式

I=K2（12+22+…+n2)Δt2n。

將公式12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)6

代入上式進(jìn)行極限運(yùn)算并用K=ImT化簡(jiǎn)后得I=Im3。

問(wèn)題的解決

得出鋸齒波電流有效值I=Im3后，文首的問(wèn)題也就迎刃而解。對(duì)有效值的理解也更加深刻，同時(shí)也把矩形波、正弦波、鋸齒波的有效值貫穿在一起：11Im、12Im、13Im。

(欄目編輯陳 潔)