探討兩物體分離時(shí)的臨界條件

臨界條件是高中物理高考和競(jìng)賽中經(jīng)常涉及的問(wèn)題，它往往與連接體問(wèn)題密不可分。通常，兩物體分離時(shí)的臨界條件必需同時(shí)滿(mǎn)足三大條件：

第一，物體間剛好無(wú)相互作用力；

第二，兩個(gè)物體的速度（或在垂直與接觸面方向上的分速度）相等；

第三，兩個(gè)物體的加速度（或在垂直與接觸面方向上的分加速度）相等。

前面兩個(gè)條件是同學(xué)們很容易想到的，而第三個(gè)條件往往被大家忽略，但這卻是實(shí)實(shí)在在的條件。

例1 （2005年全國(guó)卷第24題）如圖1所示，質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開(kāi)始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開(kāi)地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。

分析 結(jié)合分離時(shí)的三大臨界條件，B剛要離開(kāi)地面時(shí)，B和地之間無(wú)相互作用力；B和地的速度相同，都為零；B和地的加速度也相同，都為零，所以B與地分離時(shí)處于平衡狀態(tài)。

解答 開(kāi)始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x1，有：

kx1=m1g。①

掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，A向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長(zhǎng)量為x2有：

kx2=m2g。②

B不再上升，表示此時(shí)A和C的速度為零，C已降到其最低點(diǎn)。由機(jī)械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧勢(shì)能的增加量為：

ΔE=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)。③

C換成D后，當(dāng)B剛離地時(shí)彈簧勢(shì)能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得：

12(m3+m1)v2+12m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-ΔE。④

由③、④式得：

12(2m1+m3)v2=m1g(x1+x2)。⑤

由①、②、⑤式得:

v=2m1(m1+m2)g2(2m1+m3)k。⑥

例2 （湖南省高中物理競(jìng)賽試題）如圖2（a）所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿上端有一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，桿用鉸鏈固定在C點(diǎn)，并處于豎直位置；小球與質(zhì)量為M的光滑立方體木塊B相接觸，水平面是光滑的，由于微小的擾動(dòng)而使輕桿向右傾倒，試問(wèn)：如果當(dāng)桿與水平面成30°角時(shí)，A、B剛好相分離，那么A、B的質(zhì)量之比M/m為多少？這時(shí)立方體的速度v2為多少？

分析 由于水平面是光滑的，當(dāng)桿向右傾倒時(shí)，桿必然推著B(niǎo)向右運(yùn)動(dòng)，使木塊獲得向右的速度；當(dāng)B運(yùn)動(dòng)到一定位置時(shí)，小球A和木塊B開(kāi)始分離，顯然A、B分離滿(mǎn)足一定的條件。分離時(shí)，A、B間將不再有相互作用，A、B在水平方向上具有相同的速度和相同的加速度，這時(shí)，A繞鉸鏈點(diǎn)C做圓周運(yùn)動(dòng)，而B(niǎo)在水平方向上做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，如圖2（b）所示。A的水平分速度為v11=v2，水平分加速度a11 =a2=0。

解答 由系統(tǒng)的動(dòng)能定理得：

mgL2=12mv21+12Mv22。①

由分離條件得：

v11=v2=12v1。②

由于分離時(shí)，A做圓周運(yùn)動(dòng)，則：

mgcos60°=mv21L。③

由以上①、②、③式解得：

M/m=4，v2=142gL。

說(shuō)明 在本題中，兩物體分離時(shí)水平分加速度相等是解題的關(guān)鍵，由于B分離時(shí)水平勻速運(yùn)動(dòng)，無(wú)加速度，所以A此時(shí)也無(wú)水平加速度，A受力的合力只能沿豎直方向。又因?yàn)槎p桿的存在，若桿對(duì)A有作用力，則作用力的方向只能沿桿斜向上（否則A的角加速度會(huì)無(wú)窮大），顯然不滿(mǎn)足A的受力要求，故在分離時(shí)桿對(duì)A無(wú)作用力，從而可得出③式。

(欄目編輯羅琬華)