數(shù)理結(jié)合，突破“三點”

由于數(shù)學知識的限制，高考題中電動勢的求解給學生的理解留下了難點、疑點和盲點?，F(xiàn)行數(shù)學教材中微積分知識，為學生更好地進行電動勢的求解提供了數(shù)學基礎(chǔ)。下面就用學生具備的數(shù)學知識再解高考題中的感應電動勢。

1 突破難點

考題1 （2000年夏季高考物理廣東卷）一小型發(fā)電機的矩形線圈在勻強磁場中以恒定的角速度ω繞垂直于磁場方向的固定軸轉(zhuǎn)動。線圈匝數(shù)n＝100，穿過每匝線圈的磁通量φ隨時間按正弦規(guī)律變化，如圖1所示，發(fā)電機內(nèi)阻r＝5．0Ω，外電路電阻R＝95Ω。已知感應電動勢的最大值Em＝nωφm，其中φm為穿過每匝線圈磁通量的最大值。求串聯(lián)在外電路中的交流電流表（內(nèi)阻不計）的讀數(shù)。



原解 設(shè)線圈在磁場中轉(zhuǎn)動的周期為T，則ω=2πT ①

根據(jù)歐姆定律，電路中電流的最大值為

Im=EmR+r②

設(shè)交流電流表的讀數(shù)為I，則I=12Im ③

將Em=nωm，m=1.0×10-2Wb，T=3.14×10-2s， 代入①②③式，解出I=1.4A。

這樣求解，學生理解存在以下難點：（１）磁通量隨時間按正弦規(guī)律變化，電路中的電動勢隨時間如何變化；（２）為什么電路中電流的有效值與最大值之間滿足2的關(guān)系。

再解由圖寫出磁通量φ隨時間變化關(guān)系

φ=φmsinωt④

根據(jù)電動勢的導數(shù)形式

E=nddt=nmdsinωtdt=nωmcosωt⑤

由⑤式可知電路中的電動勢隨時間按余弦規(guī)律變化，所以電路中電流的有效值與最大值之間滿足2的關(guān)系，這樣再解下去，突破了難點。

2 突破疑點

考題2 （2003年高考物理江蘇卷）如圖2所示，兩根平行金屬導軌固定在水平桌面上，每根導軌每米的電阻為r0＝0.10Ω/m，導軌的端點P、Q用電阻可忽略的導線相連，兩導軌間的距離l＝0.20m。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感強度B與時間t的關(guān)系為B＝kt，比例系數(shù)k＝0.020T/s，一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直，在t＝0時刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒?，求在t＝6.0s時金屬桿所受的安培力。

原解 此題的關(guān)鍵是解出t時刻的電動勢的表達式。以a表示金屬桿運動的加速度，在t時刻，金屬桿與初始位置的距離L=12at2 ①，此時桿的速度v=at②，這時，桿與導軌構(gòu)成的回路的面積S=Ll③，回路中的感應電動勢為E=SΔBΔt+Blv④，其中ΔBΔt=k(t+Δt)-ktΔt=k ⑤，將①②③⑤式代入④式得E=32klat2。

這樣求解，存在以下疑點：（1）為什么電動勢可以寫成E=SΔBΔt+Blv；（2）SΔBΔt 解出的應該是電動勢的平均值，而題目要求的是t時刻的瞬時值。

再解 由電動勢的導數(shù)形式可知E=ddt=d(BS)dt=SdBdt+BDSdt=SdBdt+Blv。當磁感強度B隨時間均勻變化時，dBdt是定值，SΔBΔt解出的電動勢的平均值與瞬時值相等，原解利用了這一特殊性。

3 突破盲點

考題3 （2000年高考物理上海卷）如圖3所示，固定水平桌面上的金屬框架edcf，處在豎直向下的勻強磁場中，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦滑動，此時adcb構(gòu)成一個邊長為l的正方形，棒的電阻為r，其余部分電阻不計，開始時磁感強度為B0。



（1）若從t=0時刻起，磁感強度均勻增加，每秒增量為k，同時保持棒靜止，求棒中的感應電流，在圖上標出感應電流的方向。

（2）在上述（1）情況中，始終保持棒靜止，當t=t1秒末時需加的垂直于棒的水平拉力為多大？

（3）若從t=0時刻起，磁感強度逐漸減小，當棒以恒定速度v向右作勻速運動時，可使棒中不產(chǎn)生感應電流，則磁感強度應怎樣隨時間變化（寫出B與t的關(guān)系式）？

這道題目的難點在問題（3），下面就問題（3）來說明電動勢的求解。

原解 不產(chǎn)生感應電流就是要回路中總磁通量不變，即Bl(l+vt)=B0l2

解之得B=B0ll+vt。

錯解 不產(chǎn)生感應電流就是要電路中的電動勢時刻為零，即E=SΔBΔt+Blv=0①

設(shè)經(jīng)過時間t回路的面積為S=l(l+vt) ②，ΔBΔt=B-B0t-0③，將②③式代入①式得B-B0t-0l(l+vt)+Blv=0 ④，解④式得B=B0(l+vt)l+2vt。

由原解可知磁感強度B隨時間變化是不均勻的，①式中SΔBΔt解出的電動勢的平均值與瞬時值不相等，用平均值替代瞬時值是錯誤的。

原解簡單易懂，但給學生理解電動勢求解留下了盲點：E=SΔBΔt+Blv 在考題2中可以求解電動勢，在考題3中卻不行。

再解 由電動勢的導數(shù)形式可知

E=ddt=d(BS)dt=SdBdt+BdSdt=SdBdt+Blv ①

設(shè)經(jīng)過時間t，寫出電動勢的表達式并令它為零。

E=dBdtl(l+vt)+Blv=0 ②

對②式變形dBB=-vdtl+vt=-d(vt+l)(vt+l) ③

對③式兩邊積分∫BB0dBB=-∫t0d(vt+l)vt+l ④；lnBB0=-lnvt+ll=lnlvt+l ⑤

解⑤式得B=B0lvt+l。

再解過程較繁，但更利于學生對電動勢求解的深刻理解，在學生數(shù)學知識允許的情況下，應該推薦給學生。

新課程對數(shù)學教材的內(nèi)容進行調(diào)整，添加了許多知識，物理教學應積極關(guān)注，加強研究，及時將新的數(shù)學知識運用到物理教學中來。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。