圓形區(qū)域磁場(chǎng)問(wèn)題歸類例析

帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在洛倫茲力作用下，它將做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有界磁場(chǎng)是其中一類常見題目，而圓形磁場(chǎng)的問(wèn)題又是一個(gè)難點(diǎn)，許多學(xué)生感到無(wú)從下手，容易將磁場(chǎng)圓和軌跡圓混淆。解決此類問(wèn)題的基本思路：畫軌跡→找圓心→求半徑，同時(shí)要特別注意對(duì)稱性，弄清這兩個(gè)圓的幾何關(guān)系。下面試舉例說(shuō)明。

1 確定帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中的周期為T，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角為θ，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=θ2πT。在周期一定的情況下，運(yùn)動(dòng)時(shí)間只與圓心角θ有關(guān)，而與粒子速度、運(yùn)動(dòng)軌跡等無(wú)直接關(guān)系。

例1 如圖1所示，圖形區(qū)域里勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，有一束速率各不相同的電子自A點(diǎn)沿半徑方向射入磁場(chǎng)，這些電子在磁場(chǎng)中（ ）



A.其軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角越大，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)

B.其軌跡越長(zhǎng)，則時(shí)間越長(zhǎng)

C.入射速率越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短

D.入射速率越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越短

解析 由于電子在磁場(chǎng)中的周期相同，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系是找圓心角的大小，A顯然正確。本題中，帶電粒子初速度方向指向磁場(chǎng)的圓心，我們估且稱之為“對(duì)心入射”，根據(jù)對(duì)稱性，不論初速度的大小如何，粒子的出射速度反向延長(zhǎng)線也一定要對(duì)磁場(chǎng)的圓心，即一定沿著“徑向射出”，這是非常重要的結(jié)論。分別作入射、出射速度方向的垂線，交點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，如圖2所示。不難看出：入射粒子速度越大，則圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角越小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間就越短，因此D正確。

2 求粒子的最大偏轉(zhuǎn)角

例2 真空中，半徑r=4×10-2m的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向如圖3所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T，一個(gè)帶正電的粒子，以初速度v0=8×105m/s從磁場(chǎng)邊界上直徑ab一端a射入磁場(chǎng)，已知該粒子的比荷qm=5×107C/kg，不計(jì)粒子重力，若要使粒子飛離磁場(chǎng)時(shí)有最大偏轉(zhuǎn)角，求入射時(shí)v0方向與ab的夾角θ及粒子的最大偏轉(zhuǎn)角φ。



分析 粒子出射方向與入射方向之間的夾角稱為速度偏轉(zhuǎn)角，它等于圓周運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角。在軌道半徑一定的情況下，為使圓心角最大，其所對(duì)的弦應(yīng)最長(zhǎng)，這個(gè)弦既是軌跡圓的弦，也是磁場(chǎng)圓的弦，顯然，最長(zhǎng)的弦應(yīng)是勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的直徑。

解 帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力充當(dāng)向心力：

qvB=mv02R

得：R=mv0qB=8×10-2m

要使偏轉(zhuǎn)角最大，就要求這段圓弧對(duì)應(yīng)的弦最長(zhǎng)，即為磁場(chǎng)區(qū)域的直徑。如圖4所示，找出圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O′，連接OO′，由幾何關(guān)系：

sinθ＝rR=12

θ=30°

最大偏轉(zhuǎn)角φ=2θ=60°

3 求磁場(chǎng)的最小區(qū)域

例3 如圖5所示，一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，O為磁場(chǎng)邊緣上一點(diǎn)，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy。一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶電粒子，由O開始以初速度v沿x正向運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后經(jīng)過(guò)y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸正向的夾角為30°，已知P到O的距離為L(zhǎng)，不計(jì)粒子重力，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小及磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。



解析 由洛倫茲力充當(dāng)向心力：

qvB=mv2R

R=mvqB①

因?yàn)榱Ｗ映跛俣葹镺點(diǎn)沿x軸方向，所以軌跡圓心必在y軸上某一點(diǎn)。同時(shí)因?yàn)榱Ｗ舆^(guò)P點(diǎn)時(shí)的速度方向與y軸有一夾角，所以P點(diǎn)一定在磁場(chǎng)區(qū)域外，過(guò)P沿速度反向延長(zhǎng)，以y軸上某一點(diǎn)為圓心，作一段圓弧與x軸及延長(zhǎng)線相切，設(shè)切點(diǎn)為Q，圓心為O′，則O′就是圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，Q點(diǎn)即為離開磁場(chǎng)的點(diǎn)，如圖6。

由幾何關(guān)系可得：L=3R②

聯(lián)立①②解得B=3mvqL

OQ既是圓周運(yùn)動(dòng)的一條弦，也是磁場(chǎng)區(qū)域的一條弦，在OQ長(zhǎng)度一定的情況下，要使得圓最小，當(dāng)然OQ應(yīng)是該圓的直徑，即磁場(chǎng)區(qū)域最小半徑r=OQ/2=3L6。

4 多過(guò)程問(wèn)題

例4 如圖7所示，在半徑為r的絕緣圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大小為B，方向垂直紙面向外。圓筒正下方有小孔C，一束質(zhì)量為m，電量為-q的粒子（重力忽略不計(jì)）以不同速率從C點(diǎn)沿半徑方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，與筒壁連續(xù)碰撞（每次碰撞時(shí)間極短，且沒有電量和能量損失），繞筒壁一周時(shí)恰好從C孔射出。在某一粒子在圓筒內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，求該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間及初速度v的大小。

解析 設(shè)粒子與筒壁碰撞n次后從C點(diǎn)射出，則將把磁場(chǎng)區(qū)域等分為（n+1）份，每一等分

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