生產(chǎn)實(shí)際中的阻力問題分析

理論聯(lián)系實(shí)際的問題是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)之一，本文將實(shí)際中的阻力問題進(jìn)行了歸類分析，希望通過這些習(xí)題的解析提高大家解答實(shí)際問題的能力。

1 阻力與速度有關(guān)的問題

例1 測(cè)定病人的血沉有助于對(duì)病情的判斷，血液由紅血球和血漿組成，將血液放在豎直的玻璃管內(nèi)，紅血球會(huì)勻速下沉，其下沉速度稱為血沉。某人血沉為v，若把紅血球看成半徑為R的小球，它在血漿中下沉?xí)r所受的阻力f=6πηRv，η為常數(shù)。試求紅血球半徑R的大小(已知血漿密度為ρ0，紅血球密度為ρ)。

解析 根據(jù)題意，紅血球下沉?xí)r受重力、浮力和阻力作用，當(dāng)紅血球勻速下降時(shí)，紅血球處于平衡狀態(tài)，合力為零，則有

mg=F浮+f，

即ρ×4π3R3g=ρ0×4π3R3g+6πηRv，

得R=3ηv2g(ρ-ρ0)

點(diǎn)評(píng) 本題以血沉測(cè)定為背景，考查力的平衡問題，學(xué)生在受力分析時(shí)易將浮力漏掉。

例2 從地面以速度V1豎直向上拋出一皮球，皮球落地時(shí)速度為V2，若皮球運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力的大小與其速率成正比，試求皮球在空氣中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。

解析 此類問題屬變力問題，可轉(zhuǎn)換為利用圖象問題求解，由于空氣的阻力f與球的速率成比，因此V-t圖象與f-t圖象類似，如圖1所示。皮球在上升和下落過程中所經(jīng)過的位移大小相等，而f-t圖象中兩部分陰影的面積分別表示上升過程和下降過程中空氣阻力對(duì)球的沖量，故這兩個(gè)沖量值大小也相等，方向相反，則在球的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，空氣阻力對(duì)球的總沖量為零，這樣一來(lái)，根據(jù)動(dòng)量定理，以球?yàn)檠芯繉?duì)象，以t為運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，對(duì)于整個(gè)過程則有：

mgt=mV2-(-mV1)，

得t=(V1+V2)/g

點(diǎn)評(píng) 小球在運(yùn)動(dòng)過程中由于速度時(shí)刻在變化，所以小球所受的阻力也時(shí)刻在變化，阻力是變力。對(duì)于變力問題的處理通常有兩種思路，一種是平均法，一種是利用圖象法。本題中由于速度與時(shí)間不是一次函數(shù)關(guān)系，所以阻力與時(shí)間也不是一次函數(shù)關(guān)系，因此只能用圖象法求解。

例3 每年春天我國(guó)北方地區(qū)都會(huì)遭遇沙塵暴天氣，給我們的生產(chǎn)、生活造成很大的不便，大自然提醒我們要注意環(huán)境保護(hù)?，F(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情景：v為豎直上揚(yáng)的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）。這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度v豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力，此阻力可用下式表達(dá)，即ｆ＝αρAv2，其中α為一系數(shù)，A為沙塵顆粒的截面積，ρ為空氣密度。

⑴若沙塵的密度ρS＝2.8×103kg/m3，沙塵顆粒為球形，半徑r＝2.5×10-4m，地球表面處空氣密度ρ0＝1.25kg/m3， α=0.45，試估算在地面附近，上述v的最小值v1。

⑵假定空氣密度ρ隨高度ｈ的變化關(guān)系為ρ＝ρ0（１－Ｃｈ），其中ρ0為ｈ＝０的空氣密度，Ｃ＝1.18×10-4m-1，試估算當(dāng)v＝9.0m/s時(shí)揚(yáng)沙的最大高度。（不考慮重力加速度隨高度的變化）

解析 (1)在地面附近，沙塵顆粒被揚(yáng)起后能懸浮在空中不動(dòng)，則其所受空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡，設(shè)沙粒的質(zhì)量為m，則有

αρ0v12=mg

又A=πr2，m=4πr2ρS/3

代入數(shù)據(jù)解得

v1=4ρsgr3αρ0=4.0m/s

⑵ρh、h分別表示揚(yáng)沙到達(dá)的最高處的空氣密度和高度，則有ρh＝ρ0（1－Ch）

又沙塵顆粒懸浮在高空中不動(dòng)，其所受空氣阻力與重力平衡，有αρhAv2＝mg

代入數(shù)據(jù)解得

h＝ (1－ 4rρSg/3αρ0v2)＝6.8×103m

2 阻力與位移有關(guān)的問題

例4 用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設(shè)木塊對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木塊內(nèi)的深度成正比.在鐵錘擊第一次時(shí)，能把鐵釘擊入木塊內(nèi)1cm。問擊第二次時(shí)，能擊入多少深度？（設(shè)鐵錘每次做功相等）

解析 解法一（平均力法）

鐵錘每次做功都用來(lái)克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F(xiàn)=-f=kx，可用平均阻力來(lái)代替。

第一次擊入深度為x1，平均阻力

1=12kx1，

做功為W1=1x1= kx12

第二次擊入深度為x1到x2，平均阻力

2=12k（x2+x1），

做功為W2=2（x2-x1）=12k（x22-x12）。

兩次做功相等：W1=W2

解后有：x2=2x1=1.41cm

Δx=x2-x1=0.41cm

解法二 （圖象法）

因?yàn)樽枇=kx，以F為縱坐標(biāo)，F(xiàn)方向上的位移x為橫坐標(biāo)，作出F-x圖象（圖2）。曲線上面積的值等于F對(duì)鐵釘做的功。

由于兩次做功相等，故有：

S1=S2（面積）， 

即：12kx12=12k（x2+x1）（x2-x1）

所以Δx=x2-x1=0.41cm

點(diǎn)評(píng) 如果力的方向不變，力的大小對(duì)位移按線性規(guī)律變化時(shí)，可用力的算術(shù)平均值（恒力）代替變力，利用功的定義式W=scosθ求功。如果參與做功的變力，方向與位移方向始終一致而大小隨時(shí)變化，我們可作出該力隨位移變化的圖象，那么圖線下方所圍成的面積，即為變力做的功。

例5 跳水運(yùn)動(dòng)員從高于水面H=10m的跳臺(tái)落下，假如運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為60kg，其體形可等效為長(zhǎng)度l=1.0m，半徑R=0.15m的圓柱體，不計(jì)空氣阻力，運(yùn)動(dòng)員入水后，水的等效阻力f作用于圓柱體的下端面，f的數(shù)值隨入水深度y變化的函數(shù)圖象如圖3所示，該曲線可近似地看作為橢圓的一部分，該橢圓的長(zhǎng)短軸分別與坐標(biāo)軸Oy和Of重合，橢圓于y軸相交于y=h，與f軸相交于f=52mg處，為確保運(yùn)動(dòng)員安全，試計(jì)算水的深度至少為多少？（水的密度1.0×103kg/m3）.

解析 設(shè)運(yùn)動(dòng)員起跳時(shí)為初狀態(tài)，入水后到達(dá)最深處為末狀態(tài)，初、末狀態(tài)動(dòng)能都是零，整個(gè)過程中有重力、水的浮力和水的阻力三個(gè)力做功，難點(diǎn)是計(jì)算水的阻力所做的功。分析題圖所給的曲線可知：水的阻力做功的數(shù)值等于圖中1/4橢圓的面積。

設(shè)水的深度為h，由動(dòng)能定理，有

WG+WF+Wf=0

其中重力做功WG=mg(H+h)；對(duì)于浮力做功，由圖4可知：運(yùn)動(dòng)員由B運(yùn)動(dòng)到C水的浮力均勻增大，由C運(yùn)動(dòng)到D水的浮力不變，所以浮力做功為WF=-12ρπR2lgl-ρπR2lg(h-l)。

由圖3橢圓面積，求的水的阻力做功為：

Wf=-π4·52mgh 。綜合以上各式解得：

h=8mH+4πρl2R25πm+8πρlR2-8m=4.9m

3 阻力與面積有關(guān)的問題

例6 國(guó)際乒聯(lián)為了增加乒乓球比賽的觀賞性，希望降低球的飛行速度，以前比賽用球的直徑是38mm，1996年國(guó)際乒聯(lián)接受了一項(xiàng)關(guān)于對(duì)直徑是40mm乒乓球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的提案，提案要求球的質(zhì)量不變。為了簡(jiǎn)化討論，設(shè)空氣對(duì)球的阻力與球的直徑平方成正比，并且球沿水平方向作直線運(yùn)動(dòng)。試估算一下若采用40mm乒乓球，球從球臺(tái)這端飛往另一端所需時(shí)間增加了百分之多少？（據(jù)國(guó)際乒協(xié)調(diào)研組提供的資料：扣殺38mm乒乓球時(shí)，擊球的速度約為26.35m/s，球的平均飛行速度約為17.8m/s）。

解析 設(shè)球的直徑為d1=38mm時(shí)，擊球的速度為球從這一端飛往另一端的初速度v01=26.35m/s，球的平均飛行速度約為1=17.8m/s。由于空氣對(duì)球的阻力與球的直徑平方成正比，所以球飛行時(shí)可認(rèn)為做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a1，則由牛頓第二定律有 f=kd21=ma1（k為比例常量）。又由=v0+vt2得球飛到另一端的速度為vt1=9.25m/s。當(dāng)球的直徑為d2=40mm時(shí)，由題意有v02=26.35m/s，f=kd22=ma2。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式2as=v2t-v20，設(shè)球臺(tái)長(zhǎng)為l，則有2a1l2a2l=v2t1-v201v2t2-v202，所以382402=9.252-26.352v2t2-26.352，得vt2=4.45m/s，由=v0+vt2得2=15.4m/s。

球從一端飛到另一端所需時(shí)間為t=l，因此采用40mm乒乓球，球從球臺(tái)這端飛往另一端所需時(shí)間增加了

l/v2-l/v1l/v1=17.8-15.415.4=15.6%

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。