關(guān)于“單擺周期公式的等效性”的應(yīng)用

貴刊在06年第8期刊登了《關(guān)于“異型擺的等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度”的探討》一文，文中應(yīng)用三種不同的方法對(duì)一異型擺問(wèn)題給以解答。筆者讀過(guò)此文后，深受啟發(fā)。為進(jìn)一步加深對(duì)等效擺長(zhǎng)和等效重力加速度的理題，現(xiàn)舉例說(shuō)明。

1 等效擺長(zhǎng)

等效擺長(zhǎng)為單擺擺球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的圓心到擺球中心的距離。

例1 如圖1所示。三根細(xì)線打結(jié)于O點(diǎn)，AB兩端分別固定在同一水平面上相距為L(zhǎng)的兩點(diǎn)上∠AOB=90°，∠BAO=30°。細(xì)線OC的長(zhǎng)為L(zhǎng)。其下端系一個(gè)半徑為r的小球，小球的擺幅很小。

（1）若小球在紙面內(nèi)擺動(dòng)，求其周期T1；

（2）若小球在垂直于紙面的方向擺動(dòng)，求其周期T2。

解析 （1）若小球在紙面內(nèi)擺動(dòng)，由于擺角很小，單擺是以O(shè)為圓心，以擺長(zhǎng)L′=L0+r的周期性運(yùn)動(dòng)。即

T1=2πL′g=2πL0+rg

（2）若小球在垂直于紙面的方向擺動(dòng)，擺球以CO的延長(zhǎng)線與AB的交點(diǎn)為中心擺動(dòng)，其擺長(zhǎng)應(yīng)為L(zhǎng)″=L0+r+L2

cos30°

其周期T2=2π4L0+4r+3L4g

例2 如圖2所示，為了測(cè)量一凹透鏡凹面的半徑R，讓一個(gè)半徑為r的光滑鋼球在凹面內(nèi)做小幅振動(dòng)。若測(cè)出它完成N次全振動(dòng)的時(shí)間為t，則此凹透鏡凹面的半徑為多少？

解析 由于鋼球在凹面內(nèi)做振動(dòng)幅很小的振動(dòng)，鋼球的運(yùn)動(dòng)可等效為單擺的運(yùn)動(dòng)，其等效擺長(zhǎng)L=R-r，周期T=2πLg=2πR-rg。因?yàn)闇y(cè)得的周期T=tN，則有2πR-rg=tN，即R=t2g4π2N2+r。

2 等效重力加速度

等效重力加速度等于擺球不擺動(dòng)時(shí)滑線的拉力F與擺球質(zhì)量m的比值。即等效重力加速度g0=Fm。

2.1 斜面上的擺

例3 如圖3所示，一小球用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線系于與水平面 成α角的光滑斜面上。小球處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)使小球偏離平衡位置θ角且θ<5°，然后由靜止釋放，則小球第一次到達(dá)最低點(diǎn)所需的時(shí)間t為多少？

解析 小球在斜面上做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)。球在未擺動(dòng)時(shí)靜止于O′位置，此時(shí)擺球的受力情況如圖4所示。擺線對(duì)球的拉力F=mgsinα，等效重力加速度g0=Fm=gsinα，則 周期T=2πLg0=2πLgsinα，所以小球第一次回到最低點(diǎn)的時(shí)間t=14T=π2Lgsinα。

2.2 變速系統(tǒng)中的擺

例4 如圖5所示，單擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)懸掛于加速度大小為a的勻加速上升的電梯中。讓單擺在電梯中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，擺角θ很小，則單擺運(yùn)動(dòng)的周期T為多少？



解析 單擺做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球相對(duì)于電梯不擺時(shí)，擺線的拉力為F，由牛頓第二定律可得：F=m(g+a)，

等效重力加速度

g0=Fm=g+a

單擺的周期

T=2πLg0=2πLg+a

2.3 復(fù)合場(chǎng)中的擺

例5 如圖6所示，在光滑絕緣的水平面上，一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線一端系著一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定于O點(diǎn)，小球帶電荷量為+q。當(dāng)沿細(xì)線方向加上場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)時(shí)，小球靜止。現(xiàn)給小球一垂于于 細(xì)線的初速度v0，使小球在水平面內(nèi)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。若初速v0很小，求小球第一次回到平衡位置所經(jīng)歷的時(shí)間t是多少？

解析 因?yàn)樾∏虻某跛賤0很小，所以小球的運(yùn)動(dòng)可以看成單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，小球受到的電場(chǎng)力F=qE，把電場(chǎng)力等效為重力，則等效重力加速度g0=Fm=qEm，周期T=2πLg0=2πmLqE。由于小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到平衡位置的時(shí)間t=12T=πmLqE。

例6 如圖7所示，一帶正電的小球質(zhì)量為m，電量為q，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線懸于O點(diǎn)，整個(gè)裝放于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。開(kāi)始時(shí)小球靜止于A點(diǎn)，懸線與豎直方向的夾角θ=45°?，F(xiàn)把小球拉離A點(diǎn)一個(gè)很小的角度α后，由靜止釋放，求小球運(yùn)動(dòng)的周期T。

解析 小球在電場(chǎng)和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中靜止于A點(diǎn)，此時(shí)小球受細(xì)線的拉力F，重力mg電場(chǎng)力qE(如圖8)，由物體的平衡 條件知，F(xiàn)=（qE）2+(mg)2=2mg，所以小球在復(fù)合場(chǎng)中做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的等效重力加速度g0=Fm=2g，所以周期T=2πLg0=2πL2q。

例7 如圖9所示，三個(gè)完全相同的秒擺，把它們分別按圖中（a）（b）（c）三種情況放置，圖a僅在重力場(chǎng)中，圖b加上一個(gè)豎直向下，場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，圖c加上方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。小球帶正電荷。讓它們各自在場(chǎng)中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期分別為Ta、Tb、Tc。周期的大小關(guān)系為_(kāi)_______。

解析 秒擺的周期T=2πLg=2s，對(duì)圖a易知Ta=2s。對(duì)于圖b：擺球靜止時(shí)懸線的拉力Fb=mg+qE，等效重力加速度gb=Fbm=mg+qEm=g+qEm，所以周期Tb=2πLg+qEm，對(duì)于圖c，擺球靜止時(shí)洛倫茲力為0，此時(shí)擺線的拉力Fc=mg，等效重力加速度gc=g，周期Tc=2πLg=2s。所以Ta、Tb、Tc的大小關(guān)系為：Ta=Tc>Tb。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。