淺析靜電場中等勢(shì)面的應(yīng)用

等勢(shì)面可用來形象的表示電場中電勢(shì)的分布情況。一般說來，靜電場中各點(diǎn)的電勢(shì)是逐點(diǎn)變化的，但是場中許多點(diǎn)的電勢(shì)值是相等的。把這些電勢(shì)值相等的各點(diǎn)連起來所構(gòu)成的曲面叫做等勢(shì)面。在描繪等勢(shì)面時(shí)，要使任何兩個(gè)相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差都相等。所以場強(qiáng)愈大處，等勢(shì)面愈密集，場強(qiáng)愈小處，等勢(shì)面愈稀疏。等勢(shì)面和電場線結(jié)合在一起，就能非常形象地反映電場的屬性和特點(diǎn)，使學(xué)生對(duì)看不見，摸不著的電場有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。如何運(yùn)用等勢(shì)面的特點(diǎn)來分析電場，在近幾年高考題中也時(shí)有出現(xiàn)。筆者將從以下幾個(gè)方面來分析等勢(shì)面的運(yùn)用。

1 借助等勢(shì)面判斷電場的可能情況

例1 在電場中建立如圖1所示的xOy平面直角坐標(biāo)系，一個(gè)正的檢驗(yàn)電荷由A點(diǎn)分別沿不同的路徑移動(dòng)到B點(diǎn)和C點(diǎn)，在這個(gè)過程中，檢驗(yàn)電荷都要克服電場力做功，并且做功相等。在下列所述的電場中，可能出現(xiàn)上述情況的是：（ ）

A.場源電荷在第四象限，是正點(diǎn)電荷

B.場源電荷在第一象限，是負(fù)點(diǎn)電荷

C.存在勻強(qiáng)電場，方向沿y軸正方向

D.存在勻強(qiáng)電場，方向沿x軸負(fù)方向

解析 依題意，正電荷由A點(diǎn)分別沿不同的路徑移動(dòng)到B點(diǎn)和C點(diǎn)，電場力做功WAB=WAC<0，則φB=φC>φA，B、C兩點(diǎn)在同一等勢(shì)面上。若是點(diǎn)電荷形成的電場，則B、C兩點(diǎn)處在同一球面上，場源電荷一定在BC中垂線上的某一點(diǎn)，所以選項(xiàng)B錯(cuò)。當(dāng)場源電荷是正電荷且在第四象限時(shí)，它到A點(diǎn)的距離大于它到B點(diǎn)或C點(diǎn)的距離，所以A點(diǎn)電勢(shì)小于B點(diǎn)和C點(diǎn)的電勢(shì)，選項(xiàng)A對(duì)。若是勻強(qiáng)電場，則y軸為一等勢(shì)面，電場線應(yīng)垂直于y軸，又φB>φA，所以電場線方向沿x軸負(fù)方向，選項(xiàng)D對(duì)。

2 曲線型等勢(shì)面與電場線正交關(guān)系的應(yīng)用

例2 如圖2所示，虛線表示電場中一簇等勢(shì)面，相鄰等勢(shì)面之間電勢(shì)差相等。一個(gè)α粒子以一定的初速度進(jìn)入電場中，只在電場力作用下從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，此過程中電場力對(duì)α粒子做負(fù)功。由此可以判斷( )

A．M點(diǎn)的電勢(shì)高于N點(diǎn)的電勢(shì)

B．α粒子在M點(diǎn)受到的電場力大于在N點(diǎn)受到的電場力

C．α粒子在M點(diǎn)的電勢(shì)能小于在N點(diǎn)的電勢(shì)能

D．α粒子經(jīng)過M點(diǎn)時(shí)的速率小于在N點(diǎn)時(shí)的速率

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解析 過M點(diǎn)的電場線應(yīng)垂直于過M點(diǎn)的等勢(shì)面，由于α粒子做曲線運(yùn)動(dòng)，只受電場力作用，電場力要指向曲線的凹側(cè)，所以α粒子在M點(diǎn)所受電場力應(yīng)垂直等勢(shì)面向下，如圖3所示。又α粒子帶正電，所受電場力方向與電場線方向一致，所以由上往下，電勢(shì)逐漸降低，即φN>φM，選項(xiàng)A錯(cuò)。N點(diǎn)處等勢(shì)面較密集，所以α粒子在N點(diǎn)受到的電場力大于在M點(diǎn)受到的電場力，選項(xiàng)B錯(cuò)。α粒子電勢(shì)低的等勢(shì)面向電勢(shì)高的等勢(shì)面運(yùn)動(dòng)，電場力做負(fù)功，電勢(shì)能增加，動(dòng)能減少，所以選項(xiàng)C對(duì)，選項(xiàng)D錯(cuò)。

3 勻強(qiáng)電場中等勢(shì)面的輔助作圖法

例3 （07江蘇卷21題）勻強(qiáng)電場中的三點(diǎn)A、B、C是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，AB的長度為1m，D為AB的中點(diǎn)，如圖4所示。已知電場線的方向平行于ΔABC所在平面，A、B、C三點(diǎn)的電勢(shì)分別為14V、6V和2V。設(shè)場強(qiáng)大小為E，一電量為1×10－6C的正電荷從D點(diǎn)移到C點(diǎn)電場力所做的功為W，則（ ）

A．W＝8×10－6J，E＞8V/m

B．W＝6×10－6J，E＞6V/m

C．W＝8×10－6J，E≤8V/m

D．W＝6×10－6J，E≤6V/m



解析 勻強(qiáng)電場中，任意直線上，電勢(shì)均勻變化，所以D點(diǎn)電勢(shì)為10V，UDC=8V，WDC=qUDC=8×10-6J，選項(xiàng)B、D錯(cuò)。同理，CD中點(diǎn)M的電勢(shì)為6V，與B點(diǎn)電勢(shì)相等，連接BM，為一條等勢(shì)線，過B點(diǎn)做BM的垂線即為電場線，考慮到C點(diǎn)電勢(shì)小于B點(diǎn)電勢(shì)，所以電場線方向向上，如圖5所示。過A點(diǎn)做BM的平行線交電場線于N點(diǎn)，則UAB=ENB=8V，而NB<AB＝1m，所以E>8V/m，選項(xiàng)A對(duì)，選項(xiàng)C錯(cuò)。

4 帶電粒子在不同等勢(shì)面間運(yùn)動(dòng)的能量特征

例4 圖6中虛線所示為靜電場中的等勢(shì)面1、2、3、4，相鄰等勢(shì)面間的電勢(shì)差相等，其中等勢(shì)面3的電勢(shì)為零。一個(gè)帶正電的點(diǎn)電荷在靜電力的作用下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過a、b兩點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能分別為26eV和5eV，當(dāng)這一點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，其電勢(shì)能變?yōu)椋?eV，此時(shí)它的動(dòng)能應(yīng)為（ ）

A. 8 eV B. 13 eV C. 20 eV D. 34 eV

解析 正電荷只受電場力作用，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能和電勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總量保持不變。由a到b，動(dòng)能減少了21eV，由于相鄰兩個(gè)等勢(shì)面電勢(shì)差相等，電荷經(jīng)過相鄰的等勢(shì)面，電場力做功相等，動(dòng)能減少相同的量，即7eV，所以正電荷在等勢(shì)面3時(shí)的動(dòng)能為12eV。又等勢(shì)面3的電勢(shì)為零，正電荷在該等勢(shì)面處電勢(shì)能也為零，所以正電荷在等勢(shì)面3處的總能量為12eV，這也是整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中正電荷的總能量。所以當(dāng)其電勢(shì)能為－8eV時(shí)，動(dòng)能應(yīng)為20eV，這樣，總能量才是12eV，所以選項(xiàng)C正確。

5 復(fù)合場中帶電粒子沿等勢(shì)面運(yùn)動(dòng)時(shí)的功能轉(zhuǎn)換

例5 如圖7所示，在O點(diǎn)處放置一個(gè)正電荷。在過O點(diǎn)的豎直平面內(nèi)的A點(diǎn)，自由釋放一個(gè)帶正電的小球，小球的質(zhì)量為m、電荷量為q。小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O(shè)為圓心、半徑為R的圓（圖中實(shí)線表示）相交于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)O、C在同一水平線上，∠BOC=30°，A點(diǎn)距離OC的豎直高度為h。若小球通過B點(diǎn)的速度為v，下列說法中正確的是（ ）

A.小球通過C點(diǎn)的速度大小是2gh

B.小球通過C點(diǎn)的速度大小是v2+gR

C.小球由A點(diǎn)到C點(diǎn)電場力做功是12mv2-mgh

D.小球由A點(diǎn)到C點(diǎn)損失的機(jī)械能是mg(h-R2)-12mv2

解析 B、C兩點(diǎn)處于同一等勢(shì)面上，正電荷從B運(yùn)動(dòng)到C，電場力做功為零，只有重力做功，由動(dòng)能定理mghBC=12mv2c-12mv2，又hBC=Rsin30°=R2，所以vc=v2+gR，選項(xiàng)A錯(cuò)，B對(duì)。正電荷從A運(yùn)動(dòng)到C，由動(dòng)能定理mgh+W電=12mv2c-0，求得W電=12mv2-mg(h-R2)，選項(xiàng)C錯(cuò)。由能量守恒定律，正電荷從A運(yùn)動(dòng)到C，減少的機(jī)械能等于增加的電勢(shì)能，而增加的電勢(shì)能E電=-W電，所以減少的機(jī)械能等于mg(h-R2)-12mv2，選項(xiàng)D對(duì)。

6 根據(jù)等勢(shì)面的分布情況分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)

例6 （04北京卷21題） 靜電透鏡是利用靜電場使電子束會(huì)聚或發(fā)散的一種裝置，其中某部分靜電場的分布如圖8所示。虛線表示這個(gè)靜電場在xoy平面內(nèi)的一簇等勢(shì)線，等勢(shì)線形狀相對(duì)于ox軸、oy軸對(duì)稱。等勢(shì)線的電勢(shì)沿x軸正向增加，且相鄰兩等勢(shì)線的電勢(shì)差相等。一個(gè)電子經(jīng)過P點(diǎn)（其橫坐標(biāo)為-x0）時(shí)，速度與ox軸平行。適當(dāng)控制實(shí)驗(yàn)條件，使該電子通過電場區(qū)域時(shí)僅在ox軸上方運(yùn)動(dòng)。在通過電場區(qū)域過程中，該電子沿y方向的分速度vy隨位置坐標(biāo)x變化的示意圖是（ ）

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解析 根據(jù)等勢(shì)面的情況，我們可以大致畫一條電場線，如圖9所示。電子在y軸左側(cè)受到的電場力指向右下方，可以分解為水平向右的分量和豎直向下的分量。電子在y軸右側(cè)受到的電場力指向右上方，可以分解為水平向右的分量和豎直向上的分量。所以電子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，水平方向一直在加速，當(dāng)在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)的水平位移也為x0時(shí)，其平均速度vx比在y軸左側(cè)運(yùn)動(dòng)的平均速度大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間也就比在y軸左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間短。豎直方向，電子在y軸左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)向下加速，在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)向下減速，電子運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度ay是逐點(diǎn)變化的，由于越接近x軸，等勢(shì)線越稀疏，電子在豎直方向的加速度越小，同時(shí)在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間短，所以電子在豎直方向的速度不可能減為零。綜上所述，正確的選項(xiàng)應(yīng)為D。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。