一次函數(shù)考點賞析

　　考點一：一次函數(shù)解析式的確定
　　
　　例1（07成都市）：如圖1，一次函數(shù)y=kx+b 的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于
　　A（-2，1），B（1，n）.
　　（1）試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式。
　?。?）求△AOB的面積。
　　解析：（1）∵點A（-2，1）在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴m= (-2)×1= -2，∴反比例函數(shù)的表達式為y= -?！連（1，n）也在y= - 的圖象上，∴n= -2，即B（1，-2）。把點A（-2，1），點B（1，-2）代入一次函數(shù)y=kx+b中，得
　　-2k+b=1，k+b=-2 解得 k=-1b=-1
　　∴一次函數(shù)的表達式為y= -x-1
　　（2）y= -x-1中，當y=0時，得x= -1 .∴直線y= -x-1與x軸的交點C（-1，0）。
　　∵線段OC將△AOB分成△AOC和△BOC，
　　∴S△AOB= S△AOC+S△BOC= ×1×1+×1×2=+1=
　　注：用待定系數(shù)法求直線的解析式是常見題型，同學(xué)們要把握好。此題還考查了一次函數(shù)與坐標軸圍成的三角形面積，這方面問題中考中類型也較多。
　　
　　考點二：一次函數(shù)與不等式
　　
　　例2（07年重慶）：我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運完A、B、C三種橙子共100噸到外地銷售。按計劃，20輛汽車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種橙子，且必須裝滿。根據(jù)下表提供的信息，解答以下問題：
　　表1 橙子銷售信息
　　（1）設(shè)裝運A種橙子的車輛數(shù)為x，裝運B種橙子的車輛數(shù)為y。求y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式；
　　（2）如果裝運每種橙子的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的安排方案有幾種？并寫出每種安排方案；
　?。?）若要使此次銷售獲利最大，應(yīng)采用哪種安排方案？并寫出最大利潤的值。
　　解析：（1）根據(jù)題意，裝運A種橙子的車輛數(shù)為x，裝運B種橙子的車輛數(shù)為y，那么裝運C種橙子的車輛數(shù)為 (20-x-y)，則有6x+5y+4(20-x-y) =100，整理得y=20-2x。
　?。?）由（1）知，裝運A、B、C三種橙子的車輛數(shù)分別為x、(20-2x)、y，由題意，得
　　x≥120-2x≥4
　　解這個不等式組，得4≤x≤8。因x為整數(shù)，所以x的值為4、5、6、7、8，所以安排方案有5種。
　　方案一：裝運A種橙子4車、B種橙子12車、C種橙子4車；（其他略）
　?。?）設(shè)利潤為W（百元），則W=6x×12+5(20-2x)×16+4x×10=1600-48x
　　因為k= -48＜0，所以W的值隨x 的增大而減小，要使利潤W最大，則x=4，故選方案一。W最大=1600-48×4=1408（百元）=14.08萬元。答略。
　　注：本題以一次函數(shù)為載體，以解決實際問題為目的，綜合考查同學(xué)們對函數(shù)、方程、不等式的掌握情況以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力，提出了新課標的基本理念，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價值。
　　
　　考點三：一次函數(shù)與幾何問題
　　
　　例3（07濟寧市）：（1）已知矩形A的長、寬分別是2和1，那么是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是矩形A的周長和面積的2倍？
　　對上述問題，小明同學(xué)從“圖形”的角度，利用圖象給予了解決，小明論證的過程開始是這樣的：如果用x、y分別表示矩形的長和寬，那么矩形B滿足x+y=6，xy=4。請你按照小明的論證思路完成后面的論證過程。
　?。?）已知矩形A的長、寬分別是2和1，那么是否存在另一個矩形C，它的周長和面積分別是矩形A的周長和面積的一半？
　　小明認為這個問題是肯定的，你同意小明的觀點嗎？為什么？
　　解析：（1）點（x，y）可以看作一次函數(shù)y= -x+6的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標，點（x，y）又可以看作反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標，而滿足問題要求的點（x，y）就可以看作一次函數(shù)y= -x+6的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交點的坐標。分別畫出兩圖象（圖略），從圖中可看出，這樣的交點存在，即滿足要求的矩形B存在。
　?。?）不同意小明的觀點。如果用x、y分別表示矩形的長和寬，那么矩形C滿足x+y=，xy= 1，而滿足要求的點（x，y）可以看作一次函數(shù)y= -x+ 的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交點的坐標。畫圖（圖略）可看出，這樣的交點不存在，即滿足要求的矩形C不存在。所以不同意小明的觀點。
　　注：用代數(shù)方法解決幾何問題，思路開闊。用純幾何知識難以解決的問題借助函數(shù)輕松解決。題目設(shè)計新穎，很好的體現(xiàn)了“數(shù)”、“形” 結(jié)合的優(yōu)越性。
　　
　　考點四：一次函數(shù)探索型問題
　　
　　例4：（07年遼寧?。┠侈k公用品銷售商店推出兩種優(yōu)惠方法：①購1個書包，贈送1支水性筆；②購書包和水性筆一律按9折優(yōu)惠。書包每個定價20元，水性筆每支定價5元。小麗和同學(xué)需買4個和水性筆若干支（不少于4支）。
　?。?）分別寫出兩種優(yōu)惠方法購買費用y（元）與所買水性筆支數(shù)x（支）之間的函數(shù)關(guān)系式；
　?。?）對x的取值情況進行分析，說明按哪種優(yōu)惠方法購買比較便宜；
　?。?）小麗和同學(xué)需買這種書包4個和水性筆12支，請你設(shè)計怎樣購買最經(jīng)濟。
　　解析：（1）設(shè)按優(yōu)惠方法①購買需用y1元，按優(yōu)惠方法②購買需用y2元，
　　y1 =（x-4）×5+20×4=5x+60
　　y2=(5x+20×4)×0.9= 4.5x+72
　?。?）設(shè)y1＞y2，即5x+60＞4.5x+72，∴x＞24。當x＞24時，選擇優(yōu)惠方法②。設(shè)y1=y2，解得x=24?！喈攛=24時，選擇優(yōu)惠方法①、②均可?！喈?≤x＜24時，選擇優(yōu)惠方法①。
　?。?）因為需要購買4個書包和12支水性筆，而12＜24，購買方案一：用選擇優(yōu)惠方法①購買，需5x+60=5×12+60=120；購買方案二：采用兩種購買方式，用選擇優(yōu)惠方法①購買4個書包，需4×20=80元，同時獲贈4支水性筆；用優(yōu)惠方法②購買8支水性筆，需8×5×90%=36元，共需80+36=116元。顯然116＜120，最佳購買方案是：用選擇優(yōu)惠方法①購買4個書包，獲贈4支水性筆；再用優(yōu)惠方法②購買8支水性筆。
　　注：此題關(guān)鍵是建立模型，利用函數(shù)值的大小關(guān)系進行比較。
　　
　　考點五：一次函數(shù)開放題
　　
　　例5(07包頭市)：一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象經(jīng)過點（-1，2）；②當x＜0時，函數(shù)值y隨自變量x 的增大而增大。滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)解析式可以是__________(只要求寫一個).
　　解析：若為一次函數(shù)，則有條件①可得2= -k