淺析一堂數(shù)學觀摩課的教學設計

　　教學設計是教師為達到教學目標而對課堂教學的過程與行為的系統(tǒng)規(guī)劃，主要解決“教什么”和“怎樣教”兩個問題，它體現(xiàn)了教學過程科學化的要求，能綜合反映教師的教學水平。
　　本文就第四屆全國高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課觀摩與評選活動中關(guān)于“圓錐曲線定義的應用”一課的教學設計，結(jié)合個人的體會作以點評，供大家在教學中參考。
　　
　　一、“圓錐曲線定義的應用”一課的教學設計
　　
　　課題：圓錐曲線定義的應用
　　教學目標
　　知識與技能
　　通過具體問題的研究，使學生進一步理解圓錐曲線的定義；通過靈活應用定義解決問題，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合、類比的思想解決問題的能力。
　　過程與方法
　　在運用定義解決問題的過程中，使學生體會三種圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系，強化用坐標法解決幾何問題的方法和步驟。
　　情感、態(tài)度與價值觀
　　通過對圓錐曲線中數(shù)與形、動與靜的統(tǒng)一美、和諧美的體驗，讓學生感受數(shù)學文化。
　　重點：圓錐曲線的定義及其應用。
　　難點：圓錐曲線定義的靈活應用。
　　教具：多媒體教學課件。
　　設計說明：針對課程標準“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的教學理念，以圓錐曲線的定義為主線，強化基礎(chǔ)知識和基本技能。
　　教學過程
　?。ㄒ唬﹦?chuàng)設情境
　　引例.已知實數(shù)x，y滿足方程y2=4x，求（x-1）2+y2 的最小值。
　　思略引導：
　?、?用代數(shù)方法建立函數(shù)關(guān)系并求解最值。
　?、谟脦缀畏椒ǎ瑢栴}轉(zhuǎn)化為拋物線上一點到其焦點距離的最小值。
　　設計說明：問題引入，對比引例兩種解法引出課題，符合學生的認知水平和思維習慣。
　　（二）復習建構(gòu)
　　例1. 已知：F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 + =1（a>b>0） 的左右焦點，A、B是以O為圓心，以|OF1| 為半徑的圓與橢圓在三四象限的兩個交點，且△F２AB是等邊三角形，求橢圓的的離心率。
　　變式1：將例1中的橢圓改換成雙曲線 - =1（a>0，b>0） ，求該雙曲線的離心率。
　　變式2：將例1中的圓改換成以F2為焦點的拋物線y2=4x ，設M為兩曲線在第一象限的交點，且|MF2|=，試確定橢圓的方程：
　　設計說明：通過條件不斷變化，讓學生準確理解定義中條件的重要性，學會類比、遷移，從而形成新的數(shù)學學習經(jīng)驗，培養(yǎng)思維的嚴謹性與靈活性.
　　(三)探索研究
　　例2.已知圓O1 和圓O2的半徑分別為2和3，圓心距|O1 O2|為6，動圓C與圓O1 、圓O2 都外切，求動圓圓心C的軌跡方程。
　　探究：
　?。?）如何變換條件使動圓圓心軌跡為完整雙曲線？
　?。?）如何變換條件使動圓圓心軌跡為橢圓？
　?。?）如何變換條件使動圓圓心軌跡為拋物線？
　　設計說明：求軌跡方程是解析幾何中常見問題，強化坐標法是學習解析幾何的關(guān)鍵；變換條件得到不同結(jié)論，是學生對圓錐曲線定義深入理解的過程、對圓錐曲線內(nèi)在聯(lián)系的體驗過程，也是學生對數(shù)學美的欣賞過程。
　?。ㄋ模W以致用
　　練習1.已知橢圓的左右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上的一個動點，如果M是線段F1P的中點，則動點M的軌跡是（ ）
　　A.橢圓 B.雙曲線一支 C.圓D.拋物線
　　練習2.某中心接到由正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩個觀測點晚4s.已知各觀測點到該中心的距離都是1020m.試確定該巨響發(fā)生的位置（假定當時聲音的傳播速度為340m/s；相關(guān)各點均在同一平面上）。
　　設計說明：數(shù)學來源于生活，又服務于生活。通過數(shù)學建模解決實際問題，是學習數(shù)學的主要目的之一。
　?。ㄎ澹┛偨Y(jié)提煉
　　學生總結(jié)收獲： 1.知識技能； 2.數(shù)學思想方法。
　　設計說明：課堂總結(jié)是知識的概括、深化過程，數(shù)學思想方法的提煉、升華過程。
　?。┎贾米鳂I(yè)
　　選擇性作業(yè)：
　　課題1 《圓錐曲線與實例應用初探》；
　　課題2《圓錐曲線的光學性質(zhì)及其應用》
　　設計說明：選擇性作業(yè)向新教材中的研究性學習靠近，提倡學生自主學習，培養(yǎng)學生探究能力。
　　
　　二、點評
　　
　　1.本課設計的背景
　　本節(jié)課是在學生學習完橢圓、雙曲線、拋物線標準方程及幾何性質(zhì)之后，為使學生進一步理解和掌握橢圓、拋物線的定義，進一步熟悉雙曲線的定義而設計的一節(jié)專題研究課。選定本節(jié)課的目的，是為了強調(diào)基本概念，法則在數(shù)學學習中的重要性。
　　我們看到，教者通過系列數(shù)學問題的設計，意在引領(lǐng)學生完成以下學習任務：
　?、龠M一步掌握用坐標法解幾何問題的方法和步驟。
　?、谔岣哌\用數(shù)形結(jié)合、類比、遷移的思想方法解決問題的能力。
　?、弁ㄟ^對圓錐曲線中數(shù)與形、動與靜的統(tǒng)一美、和諧美的體驗，感受數(shù)學文化。
　　從教學設計看，本課知識結(jié)構(gòu)合理，思想方法豐富，較好地體現(xiàn)了數(shù)學的文化價值。
　　2.本課設計的主要特點
　?。?）教學目標定位準確
　　出于對橢圓、雙曲線、拋物線概念的準確理解和對學生已有認知基礎(chǔ)的準確把握，教者合理設定了本課的三維教學目標.
　　教師對所教內(nèi)容的準確理解是有效教學的主要前提之一，而“理解”的關(guān)鍵在于把握數(shù)學概念及其蘊含的數(shù)學思想方法，把握數(shù)學概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。
　　“圓錐曲線定義的應用”課題的選定及本課教學目標的確定，反映教者在本單元教學中，為揭示重要數(shù)學概念，合理采用循序漸進的教學策略.從前幾課橢圓、雙曲線、拋物線各自定義、標準方程、幾何性質(zhì)的研究到本課對三種圓錐曲線概念所蘊含的數(shù)學思想方法及相互聯(lián)系的研究，逐步深化學生對三種圓錐曲線定義的認識，確保教學目標下的數(shù)學問題處于學生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，有效促進學生對知識體系的科學建構(gòu)。
　?。?）教學過程注重“問題引導”
　　高水平的教學設計是有效教學的另一個主要前提.其教學組織形式、教學操作方法設計應從學習者的角度出發(fā)，在學生原有認知基礎(chǔ)上，以數(shù)學知識和數(shù)學方法的“再發(fā)現(xiàn)”為主線，設置系列“問題串”，引導學生思考、探索，主動獲取知識與方法。
　　引例中二元函數(shù)求最小值，對學生具有一定“挑戰(zhàn)性”。其中函數(shù)最值問題雖然是學生非常熟悉的，但需要從新的視角——二元函數(shù)，來認識與建構(gòu)函數(shù)關(guān)系.而學生思維的另一關(guān)鍵突破點，即題設對變量x、y的限定條件y2=4x ，它可以有效檢測、及時鞏固學生前位知識與方法的掌握.使得本課主要學習任務的始點準確落實在學生“知識生長點”上，同時又引發(fā)新的知識內(nèi)涵，使學生在“環(huán)環(huán)相扣，逐步深化”的數(shù)學問題情境下，有效展開數(shù)學學習活動。
　　從例1到例2，學生經(jīng)歷了對三種圓錐曲線定義（條件、幾何內(nèi)涵）、標準方程、幾何性質(zhì)的再認識，對數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學思想方法進一步了解以及初步運用的過程；
　　從例1到例2，教師針對不同思維層次做適當設計，例1的處理是在學生獨立思考的基礎(chǔ)上，由教師與學生合作完成變式訓練，形成學生從數(shù)與形的相互結(jié)合、運用類比方法思考問題的意識，為突破難點做好適當?shù)匿亯|；例2的問題背景是學生熟悉的圓與圓位置關(guān)系，難度低于例1，其處理方式是放給學生自主探究，給學生較充分的時間與空間進行探索，以便突破難點。學生通過從例1到例2這樣思想方法聯(lián)系緊密的數(shù)學問題的思考、探究、解決過程，形成一定范圍內(nèi)綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。
　　例題的設計，注意開拓學生數(shù)學視角，注重促進學生數(shù)學知識體系的合理建構(gòu)，突出在知識交匯處設計問題，從數(shù)學知識整體高度對學生把握數(shù)學知識的本質(zhì)實施有效訓練。
　　練習1與練習2的設計，在例題研究的基礎(chǔ)上，充分考慮學生已有認知基礎(chǔ)，從數(shù)學本身和生活實際兩個角度，給學生提供了運用圓錐曲線定義建立曲線方程的素材.這樣的設計，既鞏固了本課所學習的知識與方法，又把數(shù)學與生活有機聯(lián)系，讓學生感受到數(shù)學的社會價值、感受到學習數(shù)學的更廣泛的意義，同時使本節(jié)課學生的思維活動達到高潮。
　　本課練習1與練習2的設計，作為適當?shù)臄?shù)學問題，可用以檢驗課堂教學效果，即有效檢測教學目標的達成度。
　　作業(yè)設計具有較好的開放性、應用性、選擇性.在本課研究的基礎(chǔ)上，讓學生在課后通過查閱資料，進一步了解圓錐曲線的應用.通過兩個課題的選擇性研究，使學生親歷課題研究的過程，認識“高中數(shù)學課程是學習高中物理、化學、技術(shù)等課程和進一步學習的基礎(chǔ)”，培養(yǎng)學生自主學習意識與數(shù)學應用意識。
　?。?）注意為學生的思維活動搭建平臺
　　從心里學角度看，學生對事物認識的發(fā)展水平可劃分為三個不同層面的區(qū)域：現(xiàn)在發(fā)展水平（區(qū)）、最近發(fā)展區(qū)、即將達到的發(fā)展水平（區(qū)）。學生的發(fā)展過程就是在這三個層面之間循環(huán)往復，螺旋上升。我們的教學設計應該從學生現(xiàn)有的認知水平和思維水平出發(fā)，擴大學生的“最近發(fā)展區(qū)”區(qū)域，提高學生的“最近發(fā)展區(qū)”質(zhì)量，把數(shù)學問題設置在學生的“最近發(fā)展區(qū)”上，從而達到激活已知、發(fā)展已知、解決未知的目的。本課設計能從學生的實際出發(fā)，引導學生采用數(shù)形結(jié)合、類比等方法，通過“觀察、聯(lián)想、比較、分析、總結(jié)”的思維過程，提升原有數(shù)學學習經(jīng)驗，為學生的思維活動搭建了合適的平臺。
　?。?）體現(xiàn)單元數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的完整性
　　本課緊密結(jié)合本單元前幾課時教學中學生對三種圓錐曲線定義學習的不足進行教學設計，通過強化概念、引發(fā)應用，把三種圓錐曲線的學習合理拓展、深化。與本單元前幾課時的教學一起形成完整的單元教學體系。
　　3對本課設計的兩點商榷
　?、倮}及練習的設計難度是否適合大多數(shù)學生？
　?、谠趯W生數(shù)學思維水平允許的情況下，例2的設計可否開放度更大一些？例如把探究的一部分內(nèi)容改為由學生提出數(shù)學問題，其教育價值的體現(xiàn)是不是更加深刻？
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