期末復(fù)習(xí)專題講解——思想方法

趙廣玲

數(shù)學(xué)思想貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，只有掌握了數(shù)學(xué)思想，才能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，才能真正學(xué)好新知識(shí)，將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力. 在七年級(jí)上學(xué)期的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，就蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想.現(xiàn)舉例說(shuō)明如下.

1. 歸納思想

歸納就是從特殊的、個(gè)別的事例推出一般規(guī)律，歸納的過(guò)程就是創(chuàng)新的過(guò)程.這種思想方法常用于探索規(guī)律型問(wèn)題.

例1觀察下列式子，探索其規(guī)律并填空.

1=（-1）2 × 1；1-3=（-1）3 × 2；1-3+5=（-1）4 × 3；1-3+5-7=（-1）5× 4……

請(qǐng)你計(jì)算：1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=

.

觀察上面幾個(gè)式子，我們發(fā)現(xiàn)，等式左邊都是奇數(shù)，符號(hào)“+”、“-”輪流出現(xiàn)；右邊為兩數(shù)的積，其中第一個(gè)因數(shù)是－1的乘方的形式，其指數(shù)比左邊的項(xiàng)數(shù)大1，第二個(gè)因數(shù)就是左邊的項(xiàng)數(shù). 因而1-3+5-7+…+（-1）n+1 × （2n-1）=（-1）n+1 × n.

解：填（-1）n+1 × n.

探究規(guī)律型問(wèn)題是創(chuàng)新思維的重要體現(xiàn)，要求我們從幾個(gè)簡(jiǎn)單的、個(gè)別的、特殊的情況去研究、歸納出一般的規(guī)律和性質(zhì).反過(guò)來(lái)，運(yùn)用一般的規(guī)律和性質(zhì)又可以驗(yàn)證特殊的問(wèn)題，這是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的方法.

2. 分類討論思想

當(dāng)被研究的問(wèn)題包含多種情況，不能一概而論時(shí)，必須按照可能出現(xiàn)的所有情況分別加以討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這種處理問(wèn)題的方法為分類討論思想.

例2已知線段AB=4.8cm，C是線段AB的中點(diǎn)，D 是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且CE=AC，畫(huà)圖并計(jì)算線段DE的長(zhǎng).

畫(huà)圖時(shí)，根據(jù)點(diǎn)E在線段AB上可知，它既可能在點(diǎn)C的左側(cè)，又可能在點(diǎn)C的右側(cè).

解：（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，因?yàn)锳B=4.8cm，C是線段AB的中點(diǎn)，所以AC=BC=AB=2.4cm.因?yàn)镈 是線段BC的中點(diǎn)，所以CD=BC=1.2cm.又因?yàn)镃E=AC，所以CE=0.8cm. 所以DE=CD+CE=1.2+0.8=2（cm）.

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，根據(jù)上面的過(guò)程可知， DE=CD-CE=1.2-0.8=0.4（cm）.

若題中沒(méi)有給出圖形，且圖中某些元素位置關(guān)系不明確，往往要分類討論，以免因考慮不周而造成漏解. 分類必須遵循以下兩條原則：（1）每一次分類都要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）不重復(fù)，不遺漏.

3. 用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)中重要的思想方法. 用字母表示數(shù)，既能高度概括數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)規(guī)律，又能使數(shù)學(xué)問(wèn)題的表達(dá)變得簡(jiǎn)單明了，從而給計(jì)算和研究帶來(lái)方便.

例3計(jì)算：（++…+）（1++…+）-（1++…+）（++…+）.

這道題直接進(jìn)行計(jì)算很麻煩，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，四個(gè)括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)和具有一定的聯(lián)系. 若把括號(hào)內(nèi)的分?jǐn)?shù)和用字母表示，則可把數(shù)的運(yùn)算變成式的運(yùn)算.

解：設(shè)1++…+=a，++…+=b，則a-b=1.

原式=（b+）a-（a+）b==.

用字母代換復(fù)雜的式子，把繁雜的數(shù)字計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的整式運(yùn)算問(wèn)題，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，從而達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果.

4. 數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既弄清其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合尋求解題思路.

例4如圖3，M、N、P、R分別是數(shù)軸上四個(gè)整數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中有一點(diǎn)是原點(diǎn)，并且MN=NP=PR=1.與數(shù)a對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在M點(diǎn)與N點(diǎn)之間，與數(shù)b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在P點(diǎn)與R點(diǎn)之間.若|a|+|b|=3，則原點(diǎn)可能是（）.

A． M點(diǎn)或R點(diǎn)B． N點(diǎn)或P點(diǎn)

C． M點(diǎn)或N點(diǎn)D． P點(diǎn)或R點(diǎn)

若原點(diǎn)為M點(diǎn)，由題意知0 < a < 1，2 < b < 3，故有可能使|a|+|b|=3.若原點(diǎn)為N點(diǎn)，由題意知-1 < a < 0，1 < b < 2，故不可能使|a|+|b|=3. 同理可知，R點(diǎn)可能是原點(diǎn)，P點(diǎn)不可能為原點(diǎn).

解：選A.

這里我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，先假設(shè)某種情況正確，經(jīng)過(guò)推理對(duì)結(jié)論進(jìn)行判斷，當(dāng)然我們也可以利用特殊值來(lái)驗(yàn)證.

5. 轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想就是將所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易解決或已經(jīng)解決的問(wèn)題.具體來(lái)說(shuō)，就是把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 它是初中數(shù)學(xué)中最重要、最常見(jiàn)的思想方法.

例5對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），我們規(guī)定：當(dāng)a=c，b=d時(shí)，有（a，b）=（c，d）；運(yùn)算“”為（a，b）（c，d）=（ac，bd）；運(yùn)算“”為（a，b）（c，d）=（a+c，b+d）．設(shè)p、q都是有理數(shù)，若（1，2）（p，q）= （2，-4），則 （1，2）（p，q）=．

這道題通過(guò)定義新運(yùn)算符號(hào)，增加了神秘色彩. 解答這道題的關(guān)鍵是正確理解題中規(guī)定的運(yùn)算規(guī)則，按照規(guī)則把數(shù)對(duì)中的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算.

解：由于（a，b）（c，d）=（ac，bd），所以（1，2）（p，q）=（p，2q）.

根據(jù)題意，有（p，2q）=（2，-4），所以p=2，2q=-4.解得p=2，q=-2.

又因?yàn)椋╝，b）（c，d）=（a+c，b+d），所以（1，2）（p，q）=（1，2）（2，-2）=（1+2，2-2）=（3，0）.故填（3，0）.

解這道題的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算符號(hào)的含義，按照其運(yùn)算法則把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題.

6. 整體思想

對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題，若從局部著手求出個(gè)體可能比較困難，有時(shí)甚至不可能，這時(shí)可利用整體思想，將注意力和著眼點(diǎn)放在問(wèn)題的整體上. 把一些看似彼此獨(dú)立但實(shí)質(zhì)上緊密相關(guān)的量作為整體進(jìn)行處理，這樣容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

例6當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax3-bx+5的值是4. 當(dāng)x=-2時(shí)，求ax3-bx+5的值.

根據(jù)已知條件我們無(wú)法求出a、b的值，但當(dāng)x的取值互為相反數(shù)時(shí)，ax3-bx的取值也互為相反數(shù)，因此，利用整體思想可以找到解決問(wèn)題的途徑.

解：當(dāng)x=2時(shí)，ax3-bx+5=4，所以23a-2b+5=4，即8a-2b=-1.

當(dāng)x=-2時(shí)，ax3-bx+5=（-2）3a-（-2）b+5= -8a+2b+5=-（8a-2b）+5=-（-1）+5=6.

當(dāng)單個(gè)字母的值不易求出時(shí)，可把已知條件中的式子作為一個(gè)整體，把這個(gè)整體看成一個(gè)新的“字母”，再求關(guān)于這個(gè)新“字母”的代數(shù)式的值.

7. 方程思想

所謂方程思想，就是從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，通過(guò)設(shè)定未知數(shù)，把問(wèn)題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系利用等式表示出來(lái)，并通過(guò)解方程使問(wèn)題得到解決. 許多題目表面上看并不是方程問(wèn)題，有的甚至是幾何問(wèn)題，但是也能運(yùn)用方程思想來(lái)求解.

例7李剛在記賬時(shí)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)金比賬目少了153.9元，查賬后得知是賬目中的一筆支出款的小數(shù)點(diǎn)記錯(cuò)了一位.這筆記錯(cuò)的支出款實(shí)際是元.

應(yīng)抓住“小數(shù)點(diǎn)記錯(cuò)了一位”這一主要信息，“小數(shù)點(diǎn)記錯(cuò)了一位”的實(shí)際含義就是把某個(gè)數(shù)擴(kuò)大了10倍或縮小到原來(lái)的.通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用方程思想即可求出結(jié)果.

解：設(shè)這筆記錯(cuò)的支出款實(shí)際是x元，記賬時(shí)記成了10x元.

根據(jù)題意，得10x-x=153.9.解得x=17.1.故填17.1.

列方程解應(yīng)用題最重要的步驟是審題，認(rèn)真審題是列方程的基礎(chǔ).準(zhǔn)確找出已知量與未知量之間的關(guān)系是列方程的關(guān)鍵，恰當(dāng)靈活地設(shè)元直接影響著列方程與解方程.

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)和精髓，而數(shù)學(xué)方法則使數(shù)學(xué)思想得以具體實(shí)施，二者相輔相成. 雖然課本上沒(méi)有專門(mén)的章節(jié)介紹數(shù)學(xué)思想方法，但它隱含在概念的形成、公式的推導(dǎo)、法則的論證及習(xí)題的解決等過(guò)程中，因而同學(xué)們要用數(shù)學(xué)思想方法武裝自己，使自己真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。