二次函數(shù)應(yīng)用題連連看

單麗娟

數(shù)學(xué)就在你的身邊,數(shù)學(xué)與日常生活?自然?社會有著密切的聯(lián)系.二次函數(shù)應(yīng)用題備受中考命題者的青睞.現(xiàn)舉幾例,供同學(xué)們參考.

一?圖表信息題

例1 在2008年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕,某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售,對往年市場銷售情況進(jìn)行了調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):

(1) 在直角坐標(biāo)系內(nèi),作出各組有序數(shù)對(x,y)所對應(yīng)的點(diǎn).連接各點(diǎn)并觀察所得的圖形,判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2) 若櫻桃進(jìn)價(jià)為每千克13元,試求銷售利潤P(元)與銷售價(jià)x(元/千克)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出當(dāng)x取何值時(shí),P的值最大.

解:(1) 從表中提取四個(gè)點(diǎn):(22,3 500),(23,3 000),(24,2 500),(25,2 000),描點(diǎn)后連線,如圖1.由圖象可知,y是x的一次函數(shù).

設(shè)解析式為y=kx+b,將點(diǎn)(25,2 000),(24,2 500)代入.

可得2 000=25k+b,2 500=24k+b.解得k=-500,b=14 500.

∴y=-500x+14 500.

(2) P =(x-13)y=(x-13)(-500x+14 500)

=-500x2+21 000x-188 500=-500(x-21)2+32 000.

∴P與x的函數(shù)關(guān)系式為P=-500x2+21 000x-188 500.

當(dāng)銷售價(jià)為每千克21元時(shí),能獲得最大利潤.

二?方案設(shè)計(jì)問題

例2 農(nóng)民張大伯為了致富奔小康,大力發(fā)展家庭養(yǎng)殖業(yè).他準(zhǔn)備用40 m長的木欄圍一個(gè)矩形的羊圈,為了節(jié)約材料,同時(shí)要使矩形的面積最大,他利用了自家房屋一面長25 m的墻,設(shè)計(jì)了如圖2一個(gè)矩形的羊圈.

(1) 請你求出張大伯矩形羊圈的面積.

(2) 請你判斷他的設(shè)計(jì)方案是否合理.如果合理,直接答合理;如果不合理,又該如何設(shè)計(jì)?并說明理由.

解:(1) 40-25=15,故矩形的寬為7.5 m,S矩形 =7.5×25=187.5(m2).

(2) 設(shè)利用x m的墻作為矩形羊圈的長,則寬為m.

設(shè)矩形的面積為y m2,則y=x? =- x2+20x.

當(dāng)x=20時(shí),y=- ×202+20×20=200(m2).

因200>187.5,故張大伯的設(shè)計(jì)不合理.應(yīng)設(shè)計(jì)為長20 m,寬10 m,利用20 m墻的矩形羊圈.

三?說理問題

例3 甲車在彎路進(jìn)行剎車試驗(yàn),收集到的數(shù)據(jù)如下表所示:

(1) 請用上表中的各對數(shù)據(jù)(x,y)作為點(diǎn)的坐標(biāo),畫出甲車剎車距離y(m)與速度x(km/h)的函數(shù)圖象,并求函數(shù)的解析式.

(2) 在一個(gè)限速為40 km/h的彎路上,甲?乙兩車相向而行,同時(shí)剎車,但還是相撞了.事后測得甲?乙兩車的剎車距離分別為12 m和10.5 m.又知乙車的剎車距離y(m)與速度x(km/h)滿足函數(shù)y= x,請你就兩車的速度方面分析相撞的原因.

解:(1) 設(shè)函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c(a≠0).

由圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(10,2),(20,6),可知c=0.

∴2=100a+10b+0,6=400a+20b+0. 解得 a= ,b= .

∴函數(shù)的解析式為y= x2+ x.

畫圖如圖3(只畫出一部分).

(2) 因y甲=12,由 x2+ x=12,解得x1=30,x2=-40(舍去).

因y乙=10.5,故 x=10.5,解得x=42.

乙車剎車時(shí)速度為42 km/h,大于40 km/h;甲車開始剎車的速度為30 km/h,不超速.所以事故是乙車超速所致.

四?體育運(yùn)動問題

例4 某同學(xué)推鉛球時(shí),鉛球行進(jìn)的路線是拋物線的一段.已知鉛球出手時(shí)距離地面的高度是1.4 m,鉛球水平前進(jìn)1.5 m后到達(dá)最高點(diǎn),此時(shí)距離地面2 m.問鉛球從出手到落地行進(jìn)的水平距離是多少米.

解:如圖4,鉛球行進(jìn)的路線是拋物線的一部分,其中A為鉛球出手時(shí)的位置,B為鉛球行進(jìn)中的最高點(diǎn),C為鉛球落地時(shí)的位置.以地面為x軸?過點(diǎn)A垂直于x軸的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,1.4),頂點(diǎn)B為(1.5,2).可設(shè)其解析式為y=a(x-1.5)2+2.

把x=0,y=1.4代入,可得a=- .

故y=- (x-1.5)2+2.由y=0,得x=1.5± .

所以O(shè)C=1.5+ ≈4.2(m).

因此,鉛球從出手到落地水平前進(jìn)約4.2 m.

五?經(jīng)濟(jì)預(yù)算問題

例5 圖5表示近5年來某市的財(cái)政收入情況.圖中x軸上1,2,…,5依次表示第1年?第2年?…?第5年,即2003年?2004年?…?2007年,可以看出,圖中的折線近似于拋物線的一部分.

(1) 請你求出過A,C,D三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式.

(2) 分別求出當(dāng)x=2和x=5時(shí),(1)中的二次函數(shù)的函數(shù)值,并分別與B,E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相比較.

(3) 利用(1)中二次函數(shù)的解析式預(yù)測2008年該市的財(cái)政收入.

解:(1) 所求的函數(shù)解析式為y=0.2x2-0.2x+2.6.

(2) 當(dāng)x=2時(shí),y=3,所求函數(shù)值與B點(diǎn)縱坐標(biāo)的差為0(億元).

當(dāng)x=5時(shí),y=6.6,所求函數(shù)值與E點(diǎn)縱坐標(biāo)的誤差為0.3(億元).

(3) 把x=6代入解析式,得y=8.6.預(yù)計(jì)今年的財(cái)政收入為8.6億元.

責(zé)任編輯/趙良河

注:“本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”?