一個有趣的三角形紙片問題

楊素慧

三角形是多邊形中最簡單的圖形. 一個三角形紙片用剪刀可以剪成任意多個小的三角形紙片. 如果在一個三角形紙片上任意撒入n個點（這n個點中沒有兩個點重合，任何點也不在紙片的邊界上），然后把這個三角形紙片任意剪成一些小的三角形紙片，使得每個小的三角形紙片的頂點是上述n個點或三角形紙片頂點中的某三個點，試問用剪刀最多能將這個三角形紙片剪成多少個小的三角形紙片?

ビ捎諶角形紙片上的點較多，用剪刀去剪方法也很多，因此剪掉的小三角形紙片的形狀、大小千差萬別，但不管怎樣去剪，被剪掉的小三角形紙片的最大數(shù)目總是2n+1個. 下面我們給出這個結(jié)論證明.

ド枵飧鋈角形紙片的頂點分別為A，B,C,紙片上的點分別為D₁，D₂,…,D_n,又設(shè)剪掉的小三角形紙片的最大數(shù)目為m. 一方面，這m個小三角形紙片的內(nèi)角總和為m×360°. 另一方面,這m個小三角形紙片共有3m個內(nèi)角. 在這3m個內(nèi)角中有一部分內(nèi)角的頂點位于D₁點處，這部分內(nèi)角的和為360°；有一部分內(nèi)角的頂點位于D₂點處,這部分內(nèi)角的和為360°；……有一部分內(nèi)角的頂點位于D_n點處，這部分內(nèi)角的和為360°；還有一部分內(nèi)角的頂點位于三角形紙片的頂點A或B或C處,這部分內(nèi)角的和顯然為180°. 因此這m個小三角形紙片的內(nèi)角總和又等于n×360°+180°,所以有n×360°+180°=m×180°，從而m=2n+1.