例談“最短路線”與“相等路線”的作法

韓永華

最短路線與相等路線的作圖來源于生產(chǎn)、生活的實踐，是落實《數(shù)學課程標準》的重要資源，其作圖方法和理論依據(jù)對國家的經(jīng)濟建設(shè)具有重要的指導意義．指導學生解決這類實際問題，能夠?qū)崿F(xiàn)大量知識的有效整合，達到舉一反三、觸類旁通的目的．現(xiàn)從以下兩個方面的具體實例說明這類問題的作圖方法及其理由．1 與直線相關(guān)的作圖

1．1 兩個已知點在已知直線的同一側(cè)

例1 如圖1所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

作法 （1）作點B關(guān)于街道的對你點C；

（2）連結(jié)AC交街道于點P．

故奶站應(yīng)建在點P 處．

證明 在街道上任取一點N，連結(jié)AN、BN、CN、PB．

因為點B和點C關(guān)于街道對稱，

所以PB=PC，BN= CN．

又因為AC

所以AP+PB

故奶站建在點P 處，A、B到它的距離之和最短．

例2 如圖2所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離相等？

作法 （1）連結(jié)AB；

（2）作線段AB的垂直平分線CD，交街道于點M．故奶站應(yīng)建在點M處．

證明 連結(jié)AM、BM．

因為點M在線段AB的垂直平分線上，所以AM=BM．

故奶站建在點M處，A、B到它的距離相等．

1．2 兩個已知點在已知直線的兩側(cè)

例3 如圖3所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短？

作法 連結(jié)AB，交街道于點E．

故奶站應(yīng)在點E 處．

證明 在街道上任取一點G，連結(jié)AG、BG．

因為AB

所以奶站建在點E處，A、B到它的距離之和最短．

例4 如圖4所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離相等？

作法 （1）連結(jié)AB；

（2）作線段AB的垂直平分線CD，交街道于點F．

故奶站應(yīng)在點F 處．

證明 連結(jié)AF、BF．

因為點F在線段AB的垂直平分線上，

所以AF=BF．

故奶站建在點F處，A、B到它的距離相等．

2 與街道的寬度相關(guān)的作圖

例5 如圖5，甲、乙兩個單位分別位于一條封閉式街道的兩旁，現(xiàn)準備合作修建一座過街的天橋．問：

（1）橋建在何處才能使由甲到乙的路線最短？注意橋必須與街道垂直．

（2）橋建在何處才能使甲、乙到橋的距離相等？

解 （1）如圖6，將點A向垂直于街道的方向平移到點A1，平移的距離為街道的寬度，連結(jié)A1B交街道的邊緣于點M，所以橋應(yīng)建在MN處（MN與街道垂直），就能使由甲到乙的路程AN+NM+MB最短．

證明 假設(shè)橋建在不同于MN的任意一處FP（FP與街道垂直），過點B作與街道垂直的直線BC與街道邊緣的垂足分別為C、E，延長AN交BC于點D，連結(jié)AF、PB、FD．

因為AA1=MN，AA1∥MN，所以四邊形A1MNA為平行四邊形．所以AN=A1M，ND∥MB．又因為MN∥BD，所以四邊形MBDN為平行四邊形．所以MB=ND．易證四邊形MECN為矩形．所以ME=NC．所以△MBE≌△NDC．

所以BE=DC．易證四邊形PECF為矩形．所以PE=FC．所以△PBE≌△FDC．所以PB=DF．因為AD

故橋建在MN處，由甲到乙的路線最短．

（2）如圖7，作點B關(guān)于街道的對稱點B1，B1B與街道邊緣分別交于點C、D．連結(jié)AB1，作線段AB1的垂直平分線交街道的邊緣于點F，所以橋建在FE（FE與街道垂直）處，就能使甲、乙到橋的距離相等．

證明 連結(jié)AF、B1F、BE．

因為點F在線段AB1的垂直平分線上，所以AF=B1F．易證四邊形ECDF為矩形．所以EC=FD．又因為B和B1關(guān)于街道對稱，所以BC=B1D．所以△BCE≌△B1DF．所以BE=B1F．所以AF=BE．

故橋建在FE處，甲、乙到橋的距離相等．

以上實例的解答過程共用到了以下12個方面的數(shù)學知識：（1）作已知點的軸對稱點的方法；（2）軸對稱的性質(zhì)；（3）三角形三邊的關(guān)系；（4）作線段中垂線的方法；（5）線段中垂線的性質(zhì)；（6）平移一個點的方法；（7）平行四邊形的判定；（8）平行四邊形的性質(zhì)；（9）矩形的判定方法；（10）矩形的性質(zhì)；（11）全等三角形的判定方法；（12）全等三角形的性質(zhì)．顯然，像這樣的題組式的教學不僅讓學生體驗到了變式給他們帶來的樂趣和挑戰(zhàn)，同時大量的數(shù)學知識得到了運用與鞏固．

プ髡嘸蚪榧本刊2008年第10期（總第222期第58頁）.