平移、旋轉(zhuǎn)中的五種關(guān)系

王麗敏

平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛存在的現(xiàn)象，是現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的最簡(jiǎn)單的形式之一，平移與旋轉(zhuǎn)變換都是圖形變換.

平移與旋轉(zhuǎn)是在“軸對(duì)稱”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圖形的另兩種基本變換，是義務(wù)教育階段“空間與圖形” 部分的主要內(nèi)容，也是下一章學(xué)習(xí)平行四邊形的工具，更為將來研究圖形的全等及其性質(zhì)奠定了良好的基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)平移和旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵是要善于處理五種關(guān)系.

一、平移中的五種關(guān)系

1. 靜與動(dòng)的關(guān)系

圖形的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移.平移可以看做某一物體或基本的平面圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)的過程.如圖1，△ABC平移到△A′B′C′的位置，由此我們不難看出：雖然△ABC和△A′B′C′都是靜止的，但△ABC在移動(dòng)的過程中，一直是沿著PQ的方向平行運(yùn)動(dòng)的.運(yùn)動(dòng)是平移的前提，運(yùn)動(dòng)后的靜止圖形△A′B′C′是平移后的結(jié)果.運(yùn)動(dòng)是為結(jié)果的靜止服務(wù)的.

2. 位置關(guān)系

平移也可以看做物體（圖形）運(yùn)動(dòng)后的最終位置與原先位置的關(guān)系.

（1）圖形之間的位置關(guān)系：平移中圖形的位置變化是由平移的方向和距離決定的，平移的方向和距離是平移的兩個(gè)要素.

如圖1，△ABC沿著PQ的方向平移了3 cm得到△A′B′C′，PQ的方向和平移的距離3 cm確定了△A′B′C′的位置.

（2）線段之間的位置關(guān)系：平移后的圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)線段具有平行的位置關(guān)系.如圖1，A′B′∥AB，B′C′∥BC，A′C′∥AC.除此之外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都互相平行，AA′∥BB′∥CC′，對(duì)應(yīng)線段之間的距離為平移的距離，在圖1中對(duì)應(yīng)線段之間的距離為3 cm.

3. 對(duì)應(yīng)關(guān)系

（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)：△ABC與△A′B′C′中，點(diǎn)A與點(diǎn)A′是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)B′對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)C′對(duì)應(yīng). △ABC與△A′B′C′有無數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如線段AB的中點(diǎn)與線段A′B′ 的中點(diǎn)也是對(duì)應(yīng)點(diǎn).

（2）對(duì)應(yīng)線段：線段AB與線段A′B′是對(duì)應(yīng)線段，線段BC與線段B′C′是對(duì)應(yīng)線段，線段AC與線段A′C′是對(duì)應(yīng)線段.

（3）對(duì)應(yīng)角：∠ABC與∠A′B′C′是對(duì)應(yīng)角，∠BCA與∠B′C′A′是對(duì)應(yīng)角，∠BAC與∠B′A′C′是對(duì)應(yīng)角.

一般情況下對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都是成對(duì)出現(xiàn)的.

4. 相等關(guān)系

平移前后的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等，大小相等（即面積相等）. 如AB=A′B′，∠AB C=∠A′B′C′.

5. 形狀關(guān)系

平移后的圖形形狀與原圖形的形狀相比沒有發(fā)生變化，即形狀完全相同.

因此，平移具有如下特征：

（1）平移后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化.

（2）圖形平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等.

需要注意的是：在平移的過程中，對(duì)應(yīng)線段可能在一條直線上；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段也可能在同一條直線上.

對(duì)以上特征我們可以簡(jiǎn)單地概括為：“一變，兩不變，三對(duì)應(yīng)，兩相等，兩平行”.即平移前后，一變：圖形的位置發(fā)生了改變；兩不變：形狀和大小沒有發(fā)生改變；三對(duì)應(yīng)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段；兩相等：對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線段相等； 兩平行：對(duì)應(yīng)線段平行、對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行.

例1下列運(yùn)動(dòng)形式不是平移的是（）.

（1）電梯內(nèi)人的升降，（2）火車在平直的軌道上運(yùn)動(dòng)，（3）鐘表上指針的運(yùn)動(dòng)，（4）奧運(yùn)五環(huán)旗圖案（不考慮顏色）的形成過程，（5）電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng).

A. （1）（4） B. （2）（3）

C. （3）（5） D. （2）（4）

解析： （1）中電梯內(nèi)人的升降可看做是人在上下平行移動(dòng)，（2） 可看做火車在平直的軌道上平行移動(dòng)，（3）中指針是繞著鐘表軸心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，（4）中圖案可以看做是其中一個(gè)圓環(huán)沿著某一方向平行移動(dòng)而形成的，（5）中電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)可以看做是扇葉繞著其軸心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).所以答案應(yīng)為C.

溫馨提示： 判斷一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是不是平移，就要看該物體是否沿著一定的方向平行移動(dòng).

例2作圖題.（不要求寫作法）

如圖2，在10×10的方格紙中，有一個(gè)格點(diǎn)四邊形ABCD（即四邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上），在給出的方格紙中，畫出四邊形ABCD向下平移5格后的四邊形A1B1C1D1.

解析：首先將四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)向下平移5格，即畫出4個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).然后對(duì)應(yīng)連接4個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，畫出原四邊形的4條對(duì)應(yīng)線段，即可得到平移后的四邊形.如圖3.

溫馨提示： 平移作圖的關(guān)鍵就是要確定平移的方向和平移的距離，然后找出關(guān)鍵點(diǎn)，按要求平移關(guān)鍵點(diǎn)，最后連接關(guān)鍵點(diǎn)，畫出平移的圖形.

二、旋轉(zhuǎn)中的五種關(guān)系

1. 靜與動(dòng)的關(guān)系

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)沿著某一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.由此我們可知：旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)的過程中保持不動(dòng)，而圖形是繞著旋轉(zhuǎn)中心運(yùn)動(dòng)的.我們不妨稱之為“一靜一動(dòng)”.如圖4，△ABC繞著點(diǎn)A沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ADE的位置，旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)A靜止不動(dòng)，只是△ABC發(fā)生了運(yùn)動(dòng).

2. 位置關(guān)系

旋轉(zhuǎn)既可以表示物體（圖形）運(yùn)動(dòng)的過程，也可以表示物體（圖形）運(yùn)動(dòng)后最終的位置與原先位置的關(guān)系，其位置由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角決定.如圖4，△ADE和△ABC的位置關(guān)系是由旋轉(zhuǎn)中心A、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)角∠CAE=82°決定的.

3. 對(duì)應(yīng)關(guān)系

從圖4可以看到點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D，AB旋轉(zhuǎn)到AD，∠BAC旋轉(zhuǎn)到∠DAE.即點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D，線段AB的對(duì)應(yīng)線段是線段AD，∠BAC的對(duì)應(yīng)角是∠DAE.由此，我們可以看出△ABC和△ADE的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，每個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)了82°；對(duì)應(yīng)線段有3條；對(duì)應(yīng)角有3個(gè).我們不妨將對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段稱之為“三對(duì)應(yīng)”.

4. 相等關(guān)系

圖形中每一點(diǎn)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)的角度都相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，圖形的大小相等.我們將這五種相等關(guān)系稱之為“五相等”.

5. 形狀關(guān)系

旋轉(zhuǎn)后的圖形形狀與原圖形的形狀相比沒有發(fā)生變化.

為了使同學(xué)們更好地掌握旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識(shí)，我們將一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心、三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系和五個(gè)相等關(guān)系概括為“一中心，三對(duì)應(yīng)，五相等”；將位置發(fā)生了變化和形狀沒有發(fā)生變化概括為“一變一不變”.

例3（2008年·廣州）將圖5按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的是（）.

解析： A是順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的；B是順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的；C未進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；D是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的.故應(yīng)選A.

溫馨提示： 要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，莫將A、D混淆.旋轉(zhuǎn)除確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度外，更要確定旋轉(zhuǎn)的方向.

例4如圖6，△ABC是等腰直角三角形，等邊△ADC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CEB的位置.請(qǐng)回答：

（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？

（2）旋轉(zhuǎn)角度是多大？

（3）如果點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F轉(zhuǎn)到了什么位置？

解析： 旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角是圖形旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)主要決定因素.

（1）△ADC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CEB的位置，C點(diǎn)保持靜止不動(dòng)，所以旋轉(zhuǎn)中心是C點(diǎn).

（2）D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到了B點(diǎn)的位置，D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B點(diǎn)，線段CD的對(duì)應(yīng)線段是線段CB，因?yàn)椤螦CB=90°，∠ACD=60°，則旋轉(zhuǎn)角∠DCB=150°，所以圖形旋轉(zhuǎn)了150°.

（3）線段AD的對(duì)應(yīng)線段是線段EB，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，所以經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F轉(zhuǎn)到了線段BE的中點(diǎn)G的位置.

溫馨提示： （1）旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形有無數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，如對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)等；（2）圖形上每個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度都是相同的.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。