“三數(shù)”問(wèn)題常見(jiàn)錯(cuò)解剖析

皇甫軍

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù)，但它們描述的角度和所表達(dá)的意義并不一樣.正因?yàn)槿绱耍瑢W(xué)們?cè)谟?jì)算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，容易出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤.現(xiàn)結(jié)合實(shí)例對(duì)常見(jiàn)錯(cuò)解加以剖析，希望引起同學(xué)們的注意.

例1在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，某班25名男生的平均成績(jī)是86分，23名女生的平均成績(jī)是82分.求這些學(xué)生的平均成績(jī)（結(jié)果精確到0.01分）.

錯(cuò)解：平均成績(jī)?yōu)?=84（分）.

剖析：錯(cuò)解在求平均數(shù)時(shí)，混淆了算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式.當(dāng)數(shù)據(jù)中有些數(shù)據(jù)是重復(fù)的，要使用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算公式計(jì)算.

正確解法：平均成績(jī)?yōu)?≈84.08（分）.

例2若一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為2，則3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均數(shù)為.

錯(cuò)解：數(shù)據(jù)3x1-2，3x2-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均數(shù)仍為2.

剖析：設(shè)原數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，x的平均數(shù)為.直接代入平均數(shù)公式計(jì)算，可知新數(shù)據(jù)mx1+k，mx2+k，mx3+k，…，mx+k的平均數(shù)為m+k.

正確解法：數(shù)據(jù)3x1-2，3x２-2，3x3-2，3x4-2，3x5-2的平均數(shù)為3×2-2=4.

例3 求一組數(shù)據(jù)7，9，5，3，2，4，9，2，7，8的中位數(shù).

錯(cuò)解：由于該組數(shù)據(jù)正中間的數(shù)是2，4，所以中位數(shù)為=3.

剖析：根據(jù)中位數(shù)的定義知，在求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)，應(yīng)先按大小順序排列數(shù)據(jù).然后觀察數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則最中間的就是中位數(shù)；若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù).錯(cuò)解錯(cuò)在沒(méi)有將原數(shù)據(jù)按大小順序進(jìn)行排列就進(jìn)行了判斷.

正確解法：先將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：2，2，3，4，5，7，7，8，

9，9.正中間有兩個(gè)數(shù)，分別是5和7，而它們的平均數(shù)是=6，所以此組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6.

例4一組數(shù)據(jù)5，7，7，x的中位數(shù)與平均數(shù)相等，求x的值.

錯(cuò)解：由于平均數(shù)為，而中位數(shù)為=7，所以=7，解得x=9.

剖析：錯(cuò)解的錯(cuò)誤在于習(xí)慣性地認(rèn)為該組數(shù)據(jù)是從小到大排列的.事實(shí)上，x的大小可分三種情況：①x≤5；②57.從而可知本題的中位數(shù)是不確定的，要分類討論.

正確解法：①當(dāng)x≤5時(shí)，中位數(shù)為6，此時(shí)=6，解得x=5；

②當(dāng)5

③當(dāng)x>7時(shí)，中位數(shù)為7，此時(shí)=7，解得x=9.

綜上可知，x=5或x=9.

例5某鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)生產(chǎn)部有技術(shù)工人15人.生產(chǎn)部為了合理制定工人的每月生產(chǎn)定額，統(tǒng)計(jì)了這15人某月的加工零件個(gè)數(shù)（如表1）.

（1）寫出這15人該月加工零件數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).

（2）假如生產(chǎn)部負(fù)責(zé)人把每位工人的月加工零件數(shù)定為260，這個(gè)定額是否合理？為什么？

錯(cuò)解：（1）計(jì)算可知：平均數(shù)為260.中位數(shù)為240.眾數(shù)為240.

（2）合理. 因?yàn)槠骄鶖?shù)是反映一組數(shù)據(jù)的平均水平的特征數(shù)，體現(xiàn)了這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

剖析：（1）題解答正確.（2）題解得不對(duì)，原因在于，每月能完成260件的人一共是4人，還有11人不能達(dá)到此定額.盡管260是平均數(shù)，但若將其作為生產(chǎn)定額，不利于調(diào)動(dòng)多數(shù)工人的積極性.

若生產(chǎn)部負(fù)責(zé)人把每位工人的月加工零件數(shù)定為240件，比較合理，因?yàn)?40既是中位數(shù)，又是眾數(shù)，大多數(shù)人都能完成生產(chǎn)定額，有利于調(diào)動(dòng)多數(shù)工人的積極性.解略.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。