《數(shù)據(jù)的代表》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

朱元生

一、知識梳理

1. 平均數(shù)

（1）算術(shù)平均數(shù)：對于n個數(shù)x1，x2，…，xn，我們把（x1+x2+…+xn）叫做這n個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，用表示.

（2）權(quán)：加權(quán)平均數(shù)中的權(quán)，表示各個數(shù)據(jù)的比重，反映了各個數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度.

（3）加權(quán)平均數(shù)：如果在n個數(shù)中，x1出現(xiàn) f1次，x2出現(xiàn)f2次，…，xk出現(xiàn)fk 次（f1+f2+…+fk=n），則=（x1 f1+x2 f2+…+xk fk）叫做加權(quán)平均數(shù).

2. 中位數(shù)

（1）中位數(shù)的定義：一般地， n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)（或最中間兩個數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）中位數(shù)的求法：先將要求中位數(shù)的數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蜻M(jìn)行排列，然后根據(jù)數(shù)據(jù)個數(shù)確定中位數(shù).若數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)，則最中間的一個數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

注意：中位數(shù)不一定是這組數(shù)據(jù)中的數(shù).

（3）中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)系.當(dāng)一組數(shù)據(jù)的個別數(shù)據(jù)相差較大時，不宜用中位數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

3. 眾數(shù)

（1）眾數(shù)的定義：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

（2）眾數(shù)的求法：①弄清各個數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)；②找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).

注意：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是出現(xiàn)的次數(shù)；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有時不止一個，當(dāng)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)是n個時，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)就有n個.

（3）眾數(shù)是對數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)的考查，只與這組數(shù)據(jù)中部分?jǐn)?shù)據(jù)有關(guān).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)，以至于其他數(shù)據(jù)的作用顯得相對較小時，眾數(shù)可以在某種意義上代表這組數(shù)據(jù)的整體情況.

二、重點、難點

1. 重點：平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的概念及有關(guān)計算.

2. 難點：加權(quán)平均數(shù)的理解和計算；不同情境中， 平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)的比較與選擇.

三、錯解剖析

例1 眾志成城，抗震救災(zāi)．某小組7名同學(xué)積極捐出自己的零花錢支援災(zāi)區(qū).他們捐款的數(shù)額分別是（單位：元）：50，20，50，30，50，25，135．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）.

A． 50，20B． 50，30C． 50，50D． 135，50

錯解：選B.

剖析：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在這組數(shù)據(jù)中，20出現(xiàn)1次，25出現(xiàn)1次，30出現(xiàn)1次，50出現(xiàn)3次，135出現(xiàn)1次.50是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，所以眾數(shù)是50.

求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，要先將這組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蜻M(jìn)行排列，然后根據(jù)數(shù)據(jù)個數(shù)確定中位數(shù).錯解沒有先將這組數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，就將最中間的數(shù)據(jù)30當(dāng)成這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，導(dǎo)致錯誤.

正解：選C.

例2 在一次捐款活動中，某班50名同學(xué)都拿出了自己的零花錢，有捐5元、10元、20元的，還有捐50元和100元的.圖1反映了不同捐款數(shù)的人數(shù)比例，那么，該班同學(xué)平均每人捐款元.

錯解：=（5+10+20+50+100）=37，即為所求.

剖析：錯解忽視了這些數(shù)據(jù)的“權(quán)”.扇形統(tǒng)計圖反映了不同捐款數(shù)的人數(shù)比例，可以看出各個數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度（權(quán)重）不一樣. 在扇形統(tǒng)計圖中，可把各部分的百分?jǐn)?shù)看做各部分的權(quán)重.認(rèn)清數(shù)據(jù)及各數(shù)據(jù)對應(yīng)的權(quán)重是解決此類題的關(guān)鍵.

正解：=5×8%+10×20%+20×44%+50×16%+100×12%=31.2，即為所求.

四、典例精析

例3 圖2是交警在一個路口統(tǒng)計的某個時段來往車輛的車速情況．請分別計算出這些車輛行駛速度的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).（結(jié)果精確到0.1）

分析：要正確運用計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的方法進(jìn)行計算，并注意本例的平均數(shù)是加權(quán)平均數(shù).

解：從條形統(tǒng)計圖可以看出，車速為50 km/h的有2輛，為51 km/h的有5輛，為52 km/h的有8輛，為53 km/h的有6輛，為54 km/h的有4輛，為55 km/h的有2輛，車輛總共為27輛.

這些車輛的平均速度為：

=（50×2+51×5+52×8+53×6+54×4+55×2）≈52.4（km/h）．

將這27個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)是52， 因此中位數(shù)是52．在這27個數(shù)據(jù)中，52出現(xiàn)了8次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是52.

例4 汶川大地震牽動著全國億萬人民的心.某校為地震災(zāi)區(qū)開展了“獻(xiàn)出我們的愛” 賑災(zāi)捐款活動．八（1）班50名同學(xué)積極參加了這次賑災(zāi)捐款活動.表1是小明對全班捐款情況的統(tǒng)計表.

表中有兩處不慎被墨水污染，已無法看清，但已知全班平均每人捐款38元．

（1）請計算出被污染的數(shù)據(jù)，并寫出解答過程.

（2）該班捐款的眾數(shù)、中位數(shù)分別是多少？

分析：根據(jù)班級人數(shù)和表中人數(shù)可求得被污染處的人數(shù)，再根據(jù)全班平均每人捐款數(shù)可求得被污染處的捐款數(shù)，進(jìn)而求得該班捐款的眾數(shù)和中位數(shù).

解：（1）由50-3-6-11-13-6=11，可知被污染處的人數(shù)為11.

設(shè)被污染處的捐款數(shù)為x，則3×10+6×15+11×30+11x+13×50+6×60=50×38.

解得x=40.即被污染處的捐款數(shù)為40.

（2）處于最中間位置的兩個數(shù)都是40，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是40.

在這50名同學(xué)中，捐款50元的同學(xué)最多，有13人，所以眾數(shù)是50.

例5 某市廣播電視局欲招聘播音員一名，對A、B兩名候選人進(jìn)行了兩項素質(zhì)測試，兩人的兩項測試成績?nèi)绫?所示．根據(jù)實際需要，廣播電視局將面試、綜合知識測試的得分按3∶2的比例計算兩人的總成績.那么，誰將被錄用？

分析：由于面試和綜合知識測試的得分的重要程度不同，所以本題須用加權(quán)平均數(shù)公式來計算兩人的成績.

解：A==88 （分），B==89 （分）.

所以B將被錄用.

點評：這是用加權(quán)平均數(shù)來解決實際問題的實例.權(quán)表示數(shù)據(jù)的重要程度.權(quán)有兩種表示形式:百分?jǐn)?shù)和整數(shù)比.

例6 （2008年·沈陽）在學(xué)校組織的主題為“喜迎奧運，知榮明恥，文明出行”的知識競賽中，每班參賽的人數(shù)相同.成績分為A，B，C，D四個等級，相應(yīng)的得分依次為100分，90分，80分，70分.學(xué)校將某年級的一班和二班的成績整理并繪制成統(tǒng)計圖（分別如圖3、圖4）.

請你根據(jù)以上提供的信息解答下列問題.

（1）此次競賽中二班成績在C級以上（包括C級）的人數(shù)為.

（2）將下面表格補(bǔ)充完整.

（3）從下列不同角度對這次競賽成績進(jìn)行分析.

①從平均數(shù)和中位數(shù)的角度來比較一班和二班的成績.

②從平均數(shù)和眾數(shù)的角度來比較一班和二班的成績.

③從B級以上（包括B級）的人數(shù)的角度來比較一班和二班的成績．

解：（1）因為各班參賽的人數(shù)相同，從條形統(tǒng)計圖上可以看出，各班的參賽人數(shù)均為25.從扇形統(tǒng)計圖中可以看出，二班C級以上（包含C級）的人數(shù)占84%.所以此次競賽中二班成績在C級以上（包括C級）的人數(shù)為84%×25=21.

（2）根據(jù)上述兩幅統(tǒng)計圖可知，一班成績的眾數(shù)為90，二班成績的中位數(shù)為80.

（3）略.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。