《勾股定理》復(fù)習(xí)指導(dǎo)

作者簡(jiǎn)介何炳均，1986年畢業(yè)于南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，中學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，江蘇省特級(jí)教師，南京市學(xué)科帶頭人，南京市中數(shù)會(huì)副秘書長(zhǎng)，南京市課改專家組成員，南京市兼職教研員，南京市高級(jí)教師評(píng)委，南京市優(yōu)秀青年教師評(píng)委，南京市學(xué)科帶頭人評(píng)委.

1998年參加了《中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材》和教參的修訂編寫工作，2003年參加了人民教育出版社新初中教材教師用書的編寫工作.先后在各級(jí)各類雜志上發(fā)表十多篇專業(yè)論文，主編或參編三十多本教學(xué)輔導(dǎo)用書，主持或參加了三個(gè)省級(jí)以上課題的研究.曾多次參加南京市中考數(shù)學(xué)命題和江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題工作.

同學(xué)們都知道,勾股定理是一個(gè)非常重要的定理.它不僅對(duì)以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很重要,而且應(yīng)用也很廣泛.所以學(xué)完這一章之后,我們應(yīng)當(dāng)及時(shí)復(fù)習(xí).

一?要點(diǎn)回顧

1. 勾股定理:如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a?b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.

2. 利用勾股定理可以在數(shù)軸上表示出像 ? ?等實(shí)數(shù),這也說明實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的.

3. 勾股定理的逆定理:如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a?b?c,并且滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

二?考點(diǎn)透視

本章的主要考點(diǎn):利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)和面積,利用勾股定理的逆定理判定直角三角形,利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題,利用勾股定理在數(shù)軸上作出表示無理數(shù)的點(diǎn).

例1 如圖1,所有的“基本”四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為10 cm,正方形A的邊長(zhǎng)為6 cm,正方形B的邊長(zhǎng)為5 cm,正方形C的邊長(zhǎng)為5 cm,則正方形D的邊長(zhǎng)為().

A.cmB. 4 cmC.cmD. 3 cm

分析:圖中七個(gè)正方形是以三個(gè)直角三角形的三邊為邊向外作出來的,因此,只要重復(fù)使用勾股定理就能得出答案.

解:設(shè)正方形D的邊長(zhǎng)為x cm,則正方形①?②?③的面積分別為(單位:cm2)52+x2?62+52?102.

根據(jù)勾股定理,得 (52+x2)+(62+52)=102.

解得x= .故選 A.

點(diǎn)評(píng):在求直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí),經(jīng)常利用勾股定理列方程求解.本題是教材上勾股圖的拓展,圖形則是美麗的勾股樹的一部分,而解題過程實(shí)際上是利用了探索勾股定理時(shí)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,即以兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.還可以沿A?B?C?D繼續(xù)向外延伸,但勾股樹的最“外”一層正方形面積的和都等于③的面積.

例2 如圖2所示,圓柱體中底面圓的半徑是,高為2.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱體的側(cè)面爬行到C點(diǎn),則小蟲爬行的最短路程是多少?(結(jié)果保留根號(hào))

分析:要求在立體圖形側(cè)面上爬行的最短路程,往往要將立體圖形的側(cè)面展開.

解:圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形(如圖3),線段AC的長(zhǎng)度就是小蟲爬行的最短路程.

根據(jù)題意,BC=2,AB=×2π×=2.

在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=2.

因此,小蟲爬行的最短路程為 2.

點(diǎn)評(píng):這是一道以立體圖形為背景的實(shí)際探究問題,解題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形.注意AB的長(zhǎng)不是底面圓的周長(zhǎng).

例3 如圖4,把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊,使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合在一起,EF為折痕.若AB=9,BC=3,試求以折痕EF為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

分析:如圖4,過點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G.在Rt△EFG中,只要求出GF的長(zhǎng),就可以利用勾股定理求出EF,進(jìn)而求出正方形的面積.

解:根據(jù)題意知AF=FC.設(shè)BF=x,則FC=AF=9-x.

在Rt△BCF中,由勾股定理得32+x2=(9-x)2.

解得x=4,所以AF=5.

同理可求(在Rt△D′EC中)DE=4.

所以GF=5-4=1. EF2=EG2+GF2=32+12=10.

因此,以折痕EF為邊長(zhǎng)的正方形的面積為10.

點(diǎn)評(píng):折疊問題是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn).解這類問題,關(guān)鍵要抓住軸對(duì)稱的性質(zhì),找出相等的邊及角,再利用勾股定理解決問題.

三?錯(cuò)誤剖析

例4 已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊的長(zhǎng)是.

錯(cuò)解:由于三角形的兩邊長(zhǎng)為3?4,根據(jù)勾股定理,第三邊的長(zhǎng)為=5.

錯(cuò)誤分析:產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是將3和4都看成兩條直角邊的長(zhǎng)了.因題目沒有明確3和4都是直角邊的長(zhǎng),故應(yīng)該分情況討論.

正解:因?yàn)?>3,要分4是直角邊長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)兩種情況討論.

當(dāng)4是直角邊長(zhǎng)時(shí),第三邊的長(zhǎng)為=5;

當(dāng)4是斜邊長(zhǎng)時(shí),第三邊的長(zhǎng)為=.

因此,第三邊的長(zhǎng)為5或.

例5 Rt△ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高AD=8,求BC.

錯(cuò)解:如圖5,在Rt△ABD中,

BD===6.

在Rt△ACD中,

CD===15.

所以BC=BD+CD=21.

錯(cuò)誤分析:本題沒有給出圖形.上解由于考慮問題不全面,漏掉了△ABC是鈍角三角形的情形.

正解:AD在三角形內(nèi)部時(shí),由上解知BC=21.

當(dāng)AD在三角形外部時(shí),如圖6,同理可算出BD=6,CD=15,則

BC=CD-BD=9.

所以BC的長(zhǎng)為21或9.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。