巧斷銀鏈

趙國瑞

“巧斷銀鏈”這個故事，同學們可能聽說過，但大家對其中蘊涵的數學道理都很清楚嗎？請看趙老師的講解.

巧斷銀鏈問題源于一則民間故事：

一天，財主L對雇工E說：“我有一串銀鏈，共有7個環(huán)，如圖1，你給我做一周的工，我每天付給你一個銀環(huán)．不過，有一個條件，這串銀鏈是一環(huán)扣著一環(huán)的，你最多只能斷開其中的一個環(huán)，以使你能做到每天取走一個環(huán)．如果你做不到這點，那么你將得不到這一周的工錢！”

請你幫雇工想出一種辦法，使他能如數得到這一周該得的工錢．

答案：財主的這個問題并不難，只要把這串銀鏈的第三個環(huán)斷開，使它分離為三個部分，如圖2，這三個部分的環(huán)數分別是1，2，4．

第一天雇工取走單環(huán)；第二天退回單環(huán)取走雙環(huán)；第三天再取走單環(huán)；第四天退回單環(huán)和雙環(huán)，取走四環(huán)；第五天又取走單環(huán)；第六天又退回單環(huán)取走雙環(huán)；第七天取走最后的單環(huán)．到此，雇工7天的工錢都已拿到．

探索：在允許割斷m個環(huán)的條件下，最多能處理多長的鏈條（環(huán)數為n），才能做到在n天中，每天恰能支付一個環(huán)作為工錢？

答案：保留原題目的要求，并允許割斷m個環(huán)，最多能處理的鏈條環(huán)數為n．

為了找出m與n之間的關系，我們先考慮斷開兩個環(huán)，即m=2的情形．顯然，此時環(huán)鏈斷成了五個部分，其中有兩部分是單環(huán)，可以支付頭兩天工錢．為了支付第三天工錢，必須用一串三環(huán)去換回兩個單環(huán)．以上三部分可夠支付頭5天的工錢，因此第四部分應當是6環(huán)．同理推出第五部分應當是12環(huán)，如圖3．即這五個部分的環(huán)數分別是：1，1，3，6，12．

由此得出：當m=2時，n=23．類似地，當m=3時，可求得環(huán)鏈割斷成七個部分的環(huán)數如下：1，1，1，4，8，16，32．

同理，當允許環(huán)鏈割斷m個環(huán)時，環(huán)鏈被斷成的（2m+1）個部分的環(huán)數應為：

1，1，…，1，（m+1），2（m+1），…，2m（m+1）．

從而n=m+（m+1）+…+2m（m+1）=（m+1）2m+1-1．

這，便是巧斷鏈條問題的一般性解答．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。