對造橋選址問題的思考

王宇剛

編者按：學(xué)習(xí)應(yīng)有探究和反思的過程.在解決問題后同學(xué)們要進(jìn)行深入的反思，總結(jié)規(guī)律，這樣學(xué)習(xí)才會有收獲和提高.為提高同學(xué)們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、思考問題和解決問題的能力，本刊特開設(shè)“探究與反思”欄目，針對某一知識點給同學(xué)們提出一些新的問題，并提供思考交流和發(fā)散的空間，逐步發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識問題的本質(zhì)，激活同學(xué)們的思維，克服解決問題過程中的困難和障礙，進(jìn)行深入的探究.目的是使同學(xué)們在探究中反思，在反思中提高.同學(xué)們探究過程中如有哪方面未解決的問題或感悟或困難，歡迎來信或發(fā)電子郵件過來，大家一起交流哦.

造橋選址問題是書上的一道題目，通過此題，同學(xué)們學(xué)了哪些知識呢？想知道造橋選址問題中蘊涵的數(shù)學(xué)道理嗎？請看王老師為我們解析.

問題如圖1，A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

分析：本題是一個對平移知識的綜合運用問題.我們學(xué)習(xí)過“兩點之間線段最短”，本題也利用這一知識.不過本題還有一個條件，即修建的橋必須是與河岸垂直的.此時我們就應(yīng)該想到，利用平移的知識，先將在橋上要走的路程放在開始走，然后就可以利用“兩點之間線段最短”了.

作法：1.測量出橋的寬度；2.將點B沿與橋平行的方向，向上平移橋的寬度個單位到B′；3.連接A、B′交橋的一側(cè)于M；4.過M作河岸的垂線，交河的另一側(cè)于N；5.連接AM、MN、NB.則此時從A到B的路徑AMNB最短.

說明：在本題中，橋必須與河岸垂直是一個需要突破的問題.我們將橋先平移到BB′，然后再作出A、B′之間的最短路徑，這樣問題就得以轉(zhuǎn)化.本例充分應(yīng)用了平移知識，解決了生活中的常見問題，是一個利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的問題的很成功的例子.

思考：同學(xué)們在弄清了上面的方法以后，很自然地會產(chǎn)生這樣的疑問：如果A、B兩地之間有兩條平行的河流，我們要建的橋都是要與河岸垂直的，我們應(yīng)該如何找到這個最短的路徑呢（如圖2）？

分析：有了上面的經(jīng)驗，解決這個問題就要簡單得多了.仿照以上思路，我們可以將兩座橋先都平移到從B點出發(fā)的位置，然后連接A、B″，從而確定第一座橋MN的位置，之后連接N、B′，確定第二座橋QP的位置，最后連接PB.這樣最短路徑AMNQPB就確定了下來.

進(jìn)一步的思考：其他條件不變，如圖3，如果A、B兩地之間有三條平行的河流呢？

沿著上面的思路，進(jìn)一步思考，我們可以發(fā)現(xiàn)，其實不論多少條河流都可以用類似的方法，將規(guī)定要走的橋先走，確定兩點之間的最短路徑.然后一座橋、一座橋地確定位置.

拓展：如果在上述其他條件不變的情況下，兩條河流并不是平行的（如圖4），我們又應(yīng)該如何著手呢？

顯然思路是相同的，我們還是可以將沿不同方向的幾座橋先平移到開始的位置，然后連接兩點確定第一座橋的位置，進(jìn)而確定第二座橋的位置.具體的作圖見圖4.

注意：在平移B點時，一定要將B點按照兩座橋不同的方向平移.如BB′應(yīng)該平行于第二座橋的方向，而B′B″應(yīng)該平行于第一座橋的方向.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。