數(shù)學(xué)新課程學(xué)習中提出數(shù)學(xué)問題的途徑

徐玲芳

今年我市高考狀元在接受記者采訪時談到：在數(shù)學(xué)學(xué)習中非常喜歡提出各種各樣的數(shù)學(xué)問題來探究.提出數(shù)學(xué)問題的能力是學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力的重要體現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)新課程注重 數(shù)學(xué)學(xué)習是一種再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造、再實踐的學(xué)習過程.我們仔細分析我們身邊的案例，不難發(fā)現(xiàn)“提出問題”可以調(diào)動學(xué)生已知的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗，促進學(xué)生積極思維，深化理解數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生展開豐富的聯(lián)想，促使學(xué)生牢固掌握“數(shù)學(xué)雙基”，同時創(chuàng)新能力和實踐能力也能得到一定的發(fā)展.本文結(jié)合多年的教學(xué)以及學(xué)生提出問題的情況，談?wù)勌岢鰯?shù)學(xué)問題的途徑，以此指導(dǎo)學(xué)生“提出數(shù)學(xué)問題”的技巧，明確學(xué)生“問”的方向，創(chuàng)設(shè)“問”的氛圍.

一、逆向思維產(chǎn)生問題

逆向思維就是有意識地去做與正向方向完全不同的探索，在逆向思維中追求數(shù)學(xué)的對稱與和 諧，不僅體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，而且促進數(shù)學(xué)雙基的鞏固，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)探索能力.如原命題成立，問逆命題是否成立?即充分性和必要性的問題，同時進一步思考新的問題如果不成立，則應(yīng)增加什么條件.在新課程必修2的立體幾何章節(jié)中有10個定理，其實這10個定理中的5個是由另外的5個可以按這樣的思維方式產(chǎn)生的.

案例1 等差數(shù)列{an}，前n項和為Sn，則Sn=n(a1+an)2,(n∈N*).

這是學(xué)生非常熟悉的等差數(shù)列前n項和公式.如果我們變換條件和結(jié)論，得到新的問題：“若數(shù)列{an}前n項和為Sn,且Sn=n(a1+an)2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎?”

這種策略學(xué)生最容易掌握，且能激發(fā)學(xué)生的探索熱情，當學(xué)生采用常規(guī)的方法解答時

∵Sn=n(a1+an)2,∴Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)2，兩式相減得(n-2)an=(n-1)an-1-a1(其中n≥2)，從遞推式中學(xué)生寄希望探索出an-an-1是常數(shù)，當然是學(xué)生良好的心愿，但此次探索出現(xiàn)暗礁，在學(xué)生的努力下轉(zhuǎn)而寄希望2an=an+1+an-1，從而達到成功的彼岸.本次探索等差數(shù)列定義之深刻可謂是經(jīng)典，值得回味.通過這樣的一次自主探究過程，學(xué)生不但掌握了“提出問題”的策略，還進一步鞏固了如何證明等差數(shù)列這一基本技能和等差數(shù)列基本概念，同時這些思維方式或數(shù)學(xué)技巧可以進一步推廣到等比數(shù)列.

逆向思維方式同樣可以用在數(shù)學(xué)解題中，比如在證明時順推較難，逆推能否成立?直接不能，能否間接?等等.恰當?shù)倪\用逆向思維可以得出很多絕妙的數(shù)學(xué)問題，可以出現(xiàn)“無心插柳柳成蔭”，如果運用在解題過程中，可能會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”.

二、挖掘教材中的例習題引申問題

引申教材中的例習題就是改變原來問題的非本質(zhì)特征的表現(xiàn)形式，以突出其本質(zhì)特征.這種策略方式有(1)把特殊數(shù)學(xué)問題一般化或一般數(shù)學(xué)問題特殊化；(2)將教材中的結(jié)論型問題改為開放型、探索型問題；(3)讓學(xué)生變換、舍去、增加問題中的條件，提出相應(yīng)的問題.教材中的例習題，由于其解題思路較為明朗，常不具備培養(yǎng)探索之功能，但只要教師或?qū)W生注意，運用恰當?shù)乃季S策略，便會發(fā)現(xiàn)其潛在的探索功能，從而促使學(xué)生的數(shù)學(xué)雙基鞏固.

案例2 數(shù)列{an},a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,(n∈N*)，寫出數(shù)列{an}的前5項.

這是一道很普通的寫出數(shù)列前幾項的習題，學(xué)生極其容易寫出其前五項，若本題就此罷休，則將會失去培養(yǎng)學(xué)生探索能力的良機，啟發(fā)學(xué)生再寫五項能發(fā)現(xiàn)什么?(從第七項開始重復(fù)出現(xiàn))，與周期函數(shù)相似，原來是周期數(shù)列，新問題、新概念由此產(chǎn)生，比如這樣的問題：計算a2008,a1+a2+a3+…+a2007便是舉手之勞.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師可讓學(xué)生變換、舍去、增加問題中的條件，提出相應(yīng)的問題，這種策略學(xué)生容易掌握，且對于學(xué)生掌握概念的實質(zhì)、理解問題很有幫助.例如在立體幾何的許多定理中可以嘗試刪去“面內(nèi)、面外、交線”等條件產(chǎn)生新問題，更好地理解概念、定理的本質(zhì)特點.在講解排列組合時可以更換相應(yīng)的實際問題背景，以便突出排列組合實質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，促進雙基的鞏固.

三、追溯解題過程發(fā)現(xiàn)問題

數(shù)學(xué)解題應(yīng)是一個反思性學(xué)習過程，精彩的問題往往來自對解答的不斷反思.反思可以針對數(shù)學(xué)中的圖形；針對數(shù)學(xué)解題中的某一步；針對數(shù)學(xué)解題中的思想方法，想想這樣的思想方法在其他情況下如何運用；針對解題中的錯誤，比如按照錯誤的解法應(yīng)對應(yīng)怎么樣的問題，從而提出新的問題.

1、在數(shù)形結(jié)合中發(fā)現(xiàn)問題

高中數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)、向量、解析幾何、立體幾何中都得到淋漓盡致的體現(xiàn).當在研究圖形或畫圖的過程中，若稍微注意可能會產(chǎn)生新的問題.

案例3 (必修2立體幾何P55練習)如果三個平面兩兩相交，則它們的交線有多少條?

學(xué)生在畫圖時，通過觀察教室墻面與墻面的位置關(guān)系，發(fā)現(xiàn)交線只有三種情況，如果不交于一條直線只有兩種情況，由此在定位交線時產(chǎn)生新的問題：(1)如果三個平面兩兩相交且不交于一條直線，則這三條交線的位置關(guān)系如何?如何證明.(2)三個平面把空間分成幾部分?(4或6或7或8).

2、數(shù)學(xué)解題中遇障礙發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵問題

在解題過程中有時分析鏈突然中斷，思維受阻，無法建立新分析鏈陷入困境，這都是常有的事，但如何找到問題的關(guān)鍵才是師生應(yīng)當關(guān)注的，在認知沖突中產(chǎn)生關(guān)鍵的問題.

案例4 (2006遼寧高考(文科)22題)已知點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩個動點， O是坐標原點，且向量OA擼琌B唄足|OA+OB遼=|OA -OB遼，設(shè)圓C的方程為x²+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.(1)證明線段AB是圓C的直徑；(2)當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為255時，求p的值.

學(xué)生由|OA+OB遼=|OA-OB遼，得到x1x2+y1y2=0，并求出圓心(x,y)的軌跡x=x1+x22=14p(y21+y22)=y2p-y1y22p，這時思路受阻，當群體想到條件x1x2+y1y2=0時，利用x1x2=y12y224p2,得出y1y2=-4p2，問題關(guān)鍵是沒有充分利用條件y1y2=-4p2，經(jīng)歷了如此深刻的遇障過程，學(xué)生構(gòu)造了以下的數(shù)學(xué)問題：

(1)拋物線y2=2px(p>0)，AB是過焦點的弦，求證y1y2,x1x2是定值.

(2)拋物線y2=2px(p>0)，AB是過對稱軸上的一定點M(m,0)的弦，求證y1y2,x1x2是定值.

(3)拋物線y2=2px(p>0)，A，B是拋物線上兩點，已知OA⊥OB，求證y1y2,x1x2分別是定值.

(4)拋物線y2=2px(p>0)，A，B是拋物線上兩點，已知OA⊥OB，求證直線過定點(2p,0).

(5)拋物線y2=2px(p>0)，點A，B是拋物線上兩點，點P是拋物線上的一定點，已知PA⊥PB，探究直線AB是否經(jīng)過一定點.

另外學(xué)生對圖形進行進一步研究，得到更多的數(shù)學(xué)問題，比如圓錐曲線中以AB為直徑的圓與相應(yīng)準線的關(guān)系.

3、在錯誤的解題過程中發(fā)現(xiàn)問題

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習中出現(xiàn)概念性、習慣性、遺漏性、過程性等類型的錯誤是不可避免的，解題錯誤并不可怕，如果能及時發(fā)現(xiàn)錯誤之處并由此及彼，從另一個角度來說比沒有做錯更好，這樣給學(xué)生自己多了一次探究、發(fā)現(xiàn)、鞏固的好機會，從而使數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)更趨于完整、嚴密.

案例5 (必修2)已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是矩形，PA垂直于底面ABCD，請找出四棱錐中幾對線面垂直關(guān)系.

許多學(xué)生說AB⊥平面PBC，有的學(xué)生表示不同意，在群體的努力下把四棱錐補成長方體從而充分肯定這一結(jié)論的錯誤.這一錯誤的否定過程中，使學(xué)生的空間想象能力有了一定的提高，同時注意到立體幾何的線面關(guān)系必須以定理為依據(jù)，同時學(xué)生收獲最大的是明白學(xué)習立體幾何可以以長方體等常見幾何體為載體，這是同學(xué)們的深刻體會，這和教師直接告訴學(xué)生：“立體幾何要以長方體等常見幾何體為載體”的效果會截然不同.并借此機會同學(xué)們研究了更多的新問題.例如(1)三棱錐三對對棱長分別為a,b,c，求此三棱錐的體積.(2)過三棱錐的 一個頂點的三個頂角都為直角，則頂點在底面的射影是底面的什么心?底面是什么三角形?(3 )三棱錐的兩對對棱垂直，則第三對對棱所成角是多少?(4)三棱錐的四個面中最多有幾個直 角三角形?這些都可以在長方體或正方體中得以理解和解答.教學(xué)實踐表明：如果學(xué)生在平時 學(xué)習中重視對錯題這一環(huán)節(jié)的及時發(fā)現(xiàn)和總結(jié)得失，對發(fā)現(xiàn)問題能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)雙基有舉 足輕重作用.

四、類比聯(lián)系提出問題

類比聯(lián)系是學(xué)生學(xué)習中必須掌握的一種提出問題的能力.學(xué)生有較強的機械記憶能力，若沒有類比聯(lián)系的提出問題和解決問題，也就是把數(shù)學(xué)問題局限于“自身”的小圈子里，知識是不能運用自如的，很難找到解決問題的鑰匙和途徑，但如果展開聯(lián)想的翅膀，與其他知識聯(lián)系起來進行類比，就能發(fā)現(xiàn)更多的問題，進而找到解決問題的突破口，其實在高中數(shù)學(xué)的各個模塊中知識的類同是很常見的.

案例6 必修1的初等函數(shù)模塊(除指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)外)有以下常見的函數(shù)：y=ax+b,y=ax²+bx+c,y=ax+bcx+d,y=ax+bcx²+dx+e.

在學(xué)習必修4的三角函數(shù)時，可以讓學(xué)生類比必修1的函數(shù)類型構(gòu)造三角函數(shù)類型，如y=a玸in玿+b玞os玿,y=a玸in2x+b玞os玿,y=a玸in2x+b玞os2x+c玸in玿玞os玿,y=a(玸in玿±玞os玿)+b玸in玿玞os玿,y=a玸in玿+bc玞os玿+d,y=玸in玿+ab玸in2x+c玸in玿+d，……，同樣在學(xué)習必修5的數(shù)列遞推式時構(gòu)造出以下類型的問題：an+1=can+d,(n+1)a2n+1-na2n+an+1猘n=0,an+1=ca2n,an+1=ban+cdan+e等.

五、歸納推測擴充問題

有的問題可以經(jīng)過歸納推測而提出來，同時學(xué)生通過歸納推測達到真正理解知識和概念，整理了平時零碎的知識點.教師可以在課堂教學(xué)中借助反思、小結(jié)等機會，培養(yǎng)學(xué)生從不同的單元、章節(jié)、學(xué)科識別模式、變換化歸提出問題.比如在立體幾何教學(xué)中學(xué)生用這一策略聯(lián)系平面幾何等歸納推測出許多類似的立體幾何問題，對知識作一個擴充.

案例7 判斷以下命題是否正確，若正確請證明，若不正確請說明理由.

1.過異面直線a,b中的一條，有且只有一個平面與另一條直線平行.

2.過異面直線a,b中的一條，有且只有一個平面與另一條直線垂直.

教師可以放手讓學(xué)生歸納猜測與異面直線a,b有關(guān)的命題，從而得出下面的結(jié)論：

3.直線c,d與異面直線a,b都相交，則直線c,d是異面直線.

4.過異面直線a,b外一點O，有且只有一個平面與直線a,b都平行.

5.過異面直線a,b外一點O，有且只有一個平面與直線a,b都垂直.

6.過異面直線a,b外一點O，有且只有一條直線與直線a,b都平行.

7.過異面直線a,b外一點O，有且只有一條直線與直線a,b都垂直.

7.過異面直線a,b外一點O，有且只有一條直線與直線a、直線b都是異面直線.

若以上命題中的“過異面直線a,b外一點O”全改為“空間中”例如命題“空間中有無數(shù)個平面與異面直線a,b都平行.”

六、從生活中感受數(shù)學(xué)應(yīng)用問題

應(yīng)用問題與社會實踐和社會生活緊密聯(lián)系，學(xué)生的應(yīng)用意識培養(yǎng)，應(yīng)用能力的提高不是簡單地靠高三數(shù)學(xué)總復(fù)習的強化訓(xùn)練，應(yīng)用問題的解決需要扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識外，還要有較強的閱讀能力、建模能力和較好的心理素質(zhì)，這種能力無法在短期內(nèi)培養(yǎng)和提高，因此應(yīng)用數(shù)學(xué)要貫徹在學(xué)習數(shù)學(xué)的始終，日常生活中多用數(shù)學(xué)的眼光看待現(xiàn)實問題，比如銀行中的儲蓄和復(fù)利、環(huán)保、成本、利潤、房購、網(wǎng)絡(luò)等問題，用對應(yīng)、函數(shù)的觀點去看待生活中的購物等，用最優(yōu)、最省、最大、最小等觀點思考并提出生活中的問題，教師應(yīng)教會學(xué)生如何識別哪些條件應(yīng)摒棄，哪些需要理想化，如何從不同角度提出不同的問題.

對于每一個學(xué)生而言，學(xué)會提出問題是學(xué)好數(shù)學(xué)的需要，因此，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，可以讓學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，發(fā)展解決數(shù)學(xué)問題的能力.學(xué)生在“創(chuàng)新”意識的指導(dǎo)下，多方面、多角度地去考慮問題、探索問題、變換問題和提出問題，是對數(shù)學(xué)知識的一種最佳組合，是一種很好的促使數(shù)學(xué)雙基的學(xué)習方式.