例說(shuō)有關(guān)圓典型問(wèn)題的解法

張玉明

圓中有許多典型習(xí)題，通過(guò)這些典型習(xí)題的學(xué)習(xí)，同學(xué)們將掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí).

一、有關(guān)弦、半徑、圓心到弦的距離的計(jì)算

例1 如圖1，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB=90°，以點(diǎn)C為圓心、CA為半徑的圓與AB交于點(diǎn)D，求AD的長(zhǎng)．

解：作CH⊥AB，垂足為H.

由∠ACB=90°，AC＝6，BC＝8，可得AB=10.

顯然AC 2=AH·AB，由此可得AH＝3.6.

由CH⊥AB，可得AD=2AH，所以AD=7.2.

答：AD的長(zhǎng)為7.2．

評(píng)注： 解決與弦有關(guān)的問(wèn)題，往往需要構(gòu)造垂徑定理的基本圖形（可稱為“徑弦三角形”）——由半徑R、圓心到此弦的距離d、弦長(zhǎng)a的一半構(gòu)成的直角三角形.在徑弦三角形中，有R 2=d 2+ 2，所以三個(gè)量中知道兩個(gè)，就可求出第三個(gè).徑弦三角形是有關(guān)圓的計(jì)算和證明的基本圖形，應(yīng)用廣泛，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要特別重視.

二、圓心角、弧、弦關(guān)系的應(yīng)用

例2 如圖2所示，AB是⊙O的弦，半徑OC，OD分別交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE=BF，請(qǐng)你找出 與 的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

解： = .連接OA，OB.

由OA=OB，可得∠OAB=∠OBA.

再由AE=BF，可得△OAE≌△OBF，得∠AOC=∠BOD.所以 = .

評(píng)注： 這也是一個(gè)很有趣的結(jié)論.顯然，若 = ，那么AE=BF.這和“等弧對(duì)等弦”很相似.

三、圓周角定理的應(yīng)用

例3 如圖3，AC為⊙O的直徑，B，D，E都是⊙O上的點(diǎn)，求∠A+∠B+∠C的度數(shù).

解：連接AE.顯然∠AEC=90°.

∴?搖∠CAD+∠EAD+∠C=90°.

顯然∠B=∠EAD，所以∠CAD+∠B+∠C=90°.

評(píng)注： 如果注意到這些角所對(duì)的弧為 ， ， ，恰好組成半圓，很容易知道三角和為90°.同樣，∠D+∠BEC=90°.

四、證明四個(gè)點(diǎn)在同一圓上

例4 求證：菱形各邊中點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上.

已知：如圖4，菱形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O.

求證：菱形ABCD各邊中點(diǎn)M，N，P，Q在以O(shè)為圓心的同一個(gè)圓上.

證明：連接OM，ON，OP，OQ，只要能證明OM=ON=OP=OQ，就證明這四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，垂足為O，且AB＝BC＝CD＝DA.

又∵M(jìn)，N，P，Q分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，

∴OM＝ON＝OP＝OQ＝ AB.

∴M，N，P，Q四點(diǎn)在以O(shè)為圓心、OM為半徑的圓上.

評(píng)注： 本題證明四點(diǎn)共圓的方法有普遍意義.也可以選其中三點(diǎn)確定一個(gè)圓，然后證明另外一點(diǎn)在這個(gè)圓上.

五、直線與圓的位置關(guān)系

例5 （1） 如圖5，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，試說(shuō)明AE與⊙O相切于點(diǎn)A．

（2） 在（1）中，若AB為非直徑的弦，∠CAE=∠B，AE還與⊙O相切于點(diǎn)A嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1） 由AB是⊙O的直徑，可得∠C=90°，∠BAC＋∠B=90°.

又由∠CAE=∠B，可得∠BAC＋∠CAE=90°，即∠BAE=90°.

∴AE與⊙O相切于點(diǎn)A．

（2） 連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接CD，如圖6.顯然∠D＋∠CAD=90°.

由∠D=∠B，可得∠B＋∠CAD=90°.

已知∠CAE=∠B，所以∠CAE＋∠CAD=90°.

所以∠EAD=90°.所以AE與⊙O相切于點(diǎn)A．

評(píng)注： 證明直線和圓相切有兩種基本方法：一是“作半徑證垂直”，即直線和圓有公共點(diǎn)，連接這點(diǎn)和圓心，證明這條半徑與直線垂直；二是“作垂線證半徑”，即由圓心向直線作垂線，證明垂足和圓心連接的線段等于半徑.

例6 如圖7，AB是⊙O的直徑，PA是⊙O的切線，過(guò)點(diǎn)B作BC∥OP交⊙O于點(diǎn)C，連接AC．

（1） 求證：△ABC∽△POA.

（2） 若AB=2，PA= ，求BC的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）

解：（1） 由AB是⊙O的直徑，可知∠ACB=90°.

因PA是⊙O的切線，故∠PAO=90°，∠ACB=∠PAO.

由BC∥OP，可得∠AOP=∠ABC.所以△ABC∽△POA.

（2） 在Rt△PAO中，PO= = .

由（1）知△ABC∽△POA，所以 = .

∴BC= = = .

例7 如圖8，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圓⊙O的半徑.

解：作直徑AD，連接BD，作AE⊥BC，垂足為E.

則∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C.

∴△ADB∽△ACE，可得AC ∶ AD=AE ∶ AB.

設(shè)CE＝x.由AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2，得132-x2＝152-（14-x）2.

解得x=5，即CE＝5.所以AE＝12.

∴ ＝ ，即 ＝ ，AD= .

故△ABC外接圓⊙O的半徑為 .

例8 如圖9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，求△ABC內(nèi)切圓⊙O的半徑.

解：設(shè)E，D為切點(diǎn)，連接OE，OD.由切線的性質(zhì)定理知，∠OEC=∠ODC=∠C=90°，CE=CD=OE=OD.

∴四邊形ODCE為正方形.

設(shè)⊙O的半徑為r，則CD=CE=r，BD=a-r，AE=b-r，所以（a-r）+（b-r）=c.

∴r= ，即△ABC內(nèi)切圓⊙O的半徑為 .

評(píng)注： 已知直角三角形的三邊求這個(gè)三角形的內(nèi)切圓的半徑的公式可以直接用于解題.

例9 如圖10，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠A=80°，則∠BOC=（）.

A． 130°B． 100°C． 50°D． 65°

解：∵2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°，

∴∠OBC+∠OCB= =50°.

∴∠BOC=180°-50°=130°.應(yīng)選A.

評(píng)注： 當(dāng)O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心時(shí)，∠BOC=90°+ ∠A.

六、兩圓位置關(guān)系的識(shí)別

例10 （1） 已知兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為8，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（）.

A． 內(nèi)切B． 相交C． 外離D． 外切

（2） 如果兩圓的半徑分別為3和4，圓心距為7，那么兩圓的位置關(guān)系是（）.

A． 相離B． 外切C． 內(nèi)切D． 相交

（3） 已知⊙O1和⊙O2的半徑分別為2和5，圓心距O1O2=3，則這兩圓的位置關(guān)系是（）.

A． 相離B． 外切C． 相交D． 內(nèi)切

（4） 若⊙A和⊙B相切，它們的半徑分別為8 cm和2 cm，則圓心距AB為（）.

A． 10 cmB． 6 cmC． 10 cm或6 cmD． 以上答案均不對(duì)

解：此例4道題中所用到的知識(shí)點(diǎn)都是兩圓的位置關(guān)系的判定．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清圓心距、兩圓半徑與兩圓位置關(guān)系之間的關(guān)系．本題答案依次是：（1） C （2） B （3） D （4） C

評(píng)注： 在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系.同心圓是內(nèi)含的特殊情況.兩圓外離與內(nèi)含時(shí)，兩圓都無(wú)公共點(diǎn)；兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切；兩圓位置關(guān)系的五種情況也可歸納為三類：相離（外離和內(nèi)含）；相交；相切（外切和內(nèi)切）．

七、有關(guān)弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用

例11 如圖11，Rt△ABC的斜邊AB=35，AC=21，點(diǎn)O在AB邊上，OB=20，一個(gè)以O(shè)為圓心的圓，分別切兩直角邊BC，AC于D，E兩點(diǎn)，求 的長(zhǎng)度．

解：連接OE，OD，則四邊形ODCE為正方形，∠DOE=90°.

在Rt△ABC中，BC= = =28.

由OE∥CB，得△AEO∽△ACB，故 = ，由此可得OE=12.

的長(zhǎng)度為： =6π.

八、綜合運(yùn)用

例12 如圖12，已知⊙O的直徑AB垂直弦CD于E，連接AD，BD，OC，OD，且OD＝5．

（1） 若BD ∶ AB=3 ∶ 5，求CD的長(zhǎng)．

（2） 若∠ADO ∶∠EDO＝4 ∶ 1，求扇形OAC（陰影部分）的面積．（結(jié)果保留π）

解：（1） 顯然∠ADB＝90°，AB＝10.

由 = ，可得BD=6.

由∠ADB＝90°，AB⊥CD，得BD2=BE·AB，得BE=3.6.

在Rt△EBD中，由勾股定理，得DE=4.8.所以CD=2DE=9.6.

（2） 設(shè)∠ADO＝4k°，則∠CDB＝4k°.（圖12只滿足（1）中的數(shù)據(jù)，對(duì)題（2）僅作參考）

由∠ADO ∶∠EDO＝4 ∶ 1，得∠EDO＝k°.所以4k+4k+k=90，得k＝10.

∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°.

∴∠AOC＝∠AOD＝100°.

S扇形OAC = ×π×52= π.