高屋建瓴，與時(shí)俱進(jìn)

高明生

1 試題分析報(bào)告

2008年湖南高考數(shù)學(xué)試卷緊扣2008年《考試大綱》，對(duì)高考的熱點(diǎn)、難點(diǎn)和重點(diǎn)進(jìn)行了全面的研究總的印象是文科波瀾不驚，理科推陳出新，與時(shí)俱進(jìn)，文、理科均能高屋建瓴，把握主次，抓住關(guān)鍵，平穩(wěn)過(guò)渡文科與理科前面小題一般，理科大題前三道簡(jiǎn)單，后三個(gè)比較難，主要是計(jì)算量大，解析幾何計(jì)算量大，尤其突出2008年湖南文科題與07年湖南文科題比較，對(duì)數(shù)學(xué)的基本概念的理解，要求更高了，整體思維量更大了除了個(gè)別題目看起來(lái)比較新穎，大部分的題目是大家比較熟悉的問(wèn)題學(xué)生似曾相識(shí)，但是因?yàn)橛?jì)算量大的原因，學(xué)生未必能得到多少分理科相對(duì)來(lái)說(shuō)比2007年難度要大一些，文科還是不難的，感覺(jué)還是比較適中，在08年的試卷中，選擇題和填空題，尤其是選擇題，文理的差距比較大理科考生會(huì)感到理科試卷相對(duì)比較難，但是文科試卷就沒(méi)有特別的難，應(yīng)該說(shuō)還是在意料之中的，體現(xiàn)了文理的差別偏難，偏怪，無(wú)從下手的題沒(méi)有向量、函數(shù)和立體幾何中角的問(wèn)題，不等式等考查難度和數(shù)量增加了

2008年湖南高考數(shù)學(xué)注重了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全面考查，同時(shí)又強(qiáng)調(diào)考查學(xué)生的思維能力，特別是注重對(duì)平面向量、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等新知識(shí)的考查，而且是與其它知識(shí)交匯考查在試題的設(shè)計(jì)上，進(jìn)行了一些創(chuàng)新嘗試比如理科第10題、第15題、文科第15題都是一個(gè)對(duì)能力要求較高的題，理科第10題與文科第15題與時(shí)俱進(jìn)，均是創(chuàng)新題，把取整函數(shù)和組合公式以及函數(shù)的單調(diào)性很好地結(jié)合在一起，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想，是一道考查能力的好題理科第15題第1小問(wèn)是對(duì)第2小問(wèn)的提示，體現(xiàn)了做題的梯度，給人以猜想歸納的空間，做題過(guò)程中用到了分類(lèi)討論的思想，恰到好處地把數(shù)列、概率、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)巧妙地融合到一起，是一道綜合性較強(qiáng)的題理科第20題是一道存在性問(wèn)題，先定義“相關(guān)弦”，再進(jìn)行知識(shí)遷移，與拋物線(xiàn)知識(shí)、二次函數(shù)知識(shí)綜合運(yùn)用，在第1小問(wèn)中，巧妙地利用兩式相減，設(shè)而不求的方法求得斜率第2小問(wèn)，利用了分類(lèi)討論的思想來(lái)探討存在性問(wèn)題，這道題把高中要掌握的主要知識(shí)點(diǎn)和常用解題方法進(jìn)行了整合，是一道不錯(cuò)的題，美中不足的是計(jì)算量太大，從而造成本題得分率低理科第19題是考生常見(jiàn)題，2003年考過(guò)同種類(lèi)型，本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之利用正、余弦定理解斜三角形問(wèn)題一般與三角函數(shù)，數(shù)列、方程等知識(shí)結(jié)合，往往與生產(chǎn)生活實(shí)際相連.考查能否將諸如測(cè)量、航海、天體運(yùn)行、物理及幾何等方面的相關(guān)問(wèn)題，應(yīng)用解三角形的知識(shí)進(jìn)行求解.考查是否掌握應(yīng)用解三角形知識(shí)解實(shí)際問(wèn)題的解題步驟.從而考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，應(yīng)予以高度重視；文科第20題與理科第18題可從近幾年的高考解答題中看出：有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；此類(lèi)型試題是容易丟分的高檔題型．求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的思維方向是轉(zhuǎn)化與化歸，這樣處理問(wèn)題的目的是化陌生為熟悉，當(dāng)然首選方向是化成等差或等比數(shù)列，也可通過(guò)構(gòu)造把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，根據(jù)不同的遞推公式，采用相應(yīng)的變形手段，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的．比如文科本題解答中體現(xiàn)了由特殊到一般的思想：先求a3,a4,由此得到靈感求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，第2問(wèn)也是如此，先求出W1=0,W2=1,W3=32,W4=32,W5=54,W6=1516再猜想證明當(dāng)k≥6時(shí)，Wk＜1.理科第21題，主要考查求對(duì)數(shù)函數(shù)與分式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性的判定以及單調(diào)性的應(yīng)用，是高考考查的重點(diǎn)，考題可以以中檔或大題形式出現(xiàn). 利用導(dǎo)數(shù)去判別函數(shù)的增減性,是通過(guò)從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判別函數(shù)單調(diào)性的方法,關(guān)鍵是先求導(dǎo)，解不等式得單調(diào)區(qū)間，或者證明導(dǎo)數(shù)與0的大小關(guān)系來(lái)判別單調(diào)性. f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f ′(x)＞0,則f(x)是增函數(shù)；若f ′(x)＜0,則f(x)是減函數(shù). 可導(dǎo)函數(shù)的最值可通過(guò)(a,b)內(nèi)的極值和端點(diǎn)的函數(shù)值比較求得，但不可導(dǎo)函數(shù)的極值有時(shí)可能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得，因此，一般的連續(xù)函數(shù)還必須和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，而文科題型相似，但要簡(jiǎn)單得多

2008年湖南高考數(shù)學(xué)“陷井題”如下：理科第4題正態(tài)分布的概率問(wèn)題，從2007年湖南考過(guò)，到今年已是第二次考了，在全國(guó)范圍內(nèi)，好象是必考題一樣，有些省還作為大題考但作為必考題的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，是歷來(lái)高考的必考內(nèi)容（2008年湖南理科未考），文科第13題出現(xiàn)了，其常見(jiàn)的題型為選擇與填空題,屬基礎(chǔ)考查題.求解中需要注意二項(xiàng)式展開(kāi)式中的冪指數(shù)的運(yùn)算及符號(hào)的運(yùn)算,注意演算中的細(xì)節(jié),防止出錯(cuò).對(duì)于正態(tài)分布大綱要求較低；理科第6題是考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類(lèi)題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用，要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng). 本人認(rèn)為本題改為求函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcosx在區(qū)間［π４,π2］上的最小值更好，可以考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，利用三角函數(shù)圖象求值域的功底有些學(xué)生在求得

f(x)=cos2π3cos2x+sin2π3sin2x+12=cos2π3-2x+12 后，不考慮定義域，憑余弦函數(shù)的有界性，瞎猜cos2π3-2x≤1赾os2π3-2x+12≤32，從而歪打正著選C，所以，本題求最大值，有失考查知識(shí)點(diǎn)的公平性，讓一些人蒙混過(guò)關(guān)；理科第7題著重考查向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加的形式：AB+BC+CD+…+PQ+QR=AR，但這時(shí)必須“首尾相連”．由此得出：“首尾相連”的封閉圖形的向量和為零向量，本題兩次用到了這個(gè)結(jié)論；理科第10題、理科第15題、文科第15題、均是在多個(gè)知識(shí)交匯處出的創(chuàng)新題，今年大多數(shù)題均是綜合題，多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合；文科第10題關(guān)鍵是考慮隱含條件：雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1

(a＞0，b＞0)的右支上的點(diǎn)橫坐標(biāo)大于a，從而利用雙曲線(xiàn)的性質(zhì)構(gòu)造不等式求解雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍

總之本套試卷很好地代表了高考的命題趨勢(shì)和方向

2 失分探究

本套試卷側(cè)重于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的考查,注重通性通法,沒(méi)有過(guò)份地強(qiáng)調(diào)解題技巧,也沒(méi)有刻意地去追求知識(shí)的覆蓋面,對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考查,形式靈活、思路清晰.從總體的答題情況來(lái)看,學(xué)生的掌握情況還是不錯(cuò)的,得分也較理想.通過(guò)本次測(cè)試反映出此試卷的區(qū)分度較為理想,試題的測(cè)試效果明顯,同時(shí)反映出學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能等方面的掌握情況較好試卷難度適中,同時(shí)有一定的創(chuàng)新度既體現(xiàn)了主干知識(shí)、新知識(shí)重點(diǎn)考，更體現(xiàn)了主干知識(shí)、新知識(shí)交匯考

通過(guò)對(duì)學(xué)生的答題情況的統(tǒng)計(jì)來(lái)看，出錯(cuò)的題目主要有：選擇題的第4題（理科），多數(shù)考生因?yàn)閷?duì)正態(tài)分布的概率不熟，盲目亂填致錯(cuò)；第7題（理科），沒(méi)有想到封閉圖形的向量和為零向量，從而做不下去，亂選草草收?qǐng)?；?0題（理科）、第15題（文科）、第15題（理科）知識(shí)遷移創(chuàng)新能力不夠，不知要表達(dá)什么樣的意思，意思都不能理解，如何做？第17題（理科），第18題（文科），均是立體幾何題，不善于用空間向量去解，導(dǎo)致計(jì)算量大而出錯(cuò)；第18題（理科），第20題（文科）均是數(shù)列綜合題，三角函數(shù)、不等式、數(shù)列一混用，再加計(jì)算量大，就拿不到滿(mǎn)分了；第19題（理科），少數(shù)學(xué)生建模能力太差；第20題（理科），少數(shù)學(xué)生不會(huì)用整體代換、設(shè)而不求等方法來(lái)解，蠻算容易出錯(cuò)文、理科的押軸題不是太難，只是計(jì)算量大，學(xué)生不會(huì)分步得分，有些甚至放棄，太可惜了

3 卷百分比

湖南省2008年高考數(shù)學(xué)試卷繼續(xù)保持2007年文、理科數(shù)學(xué)試題“異”大于“同”的特色湖南省2008年高考數(shù)學(xué)考試大綱中的基本理念決定了高考數(shù)學(xué)命題必須突出能力立意，在注重考查數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時(shí)，要著重考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，也就是重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

今年文、理科數(shù)學(xué)試卷題型基本相似，難度上“異”大于“同”.理科的第9題與文科的第9題相同（5分），相同率占全卷分值的3.3%；理科與文科的第2題、3題、5題接近（15分），理科第7題與文科第11題、理科第10題與文科第15題接近（10分），共25分，接近率占全卷分值的16.7%；理科的第16題與文科的第16題（6分），理科的第17題與文科的第18題（12分），理科的第18題與文科的第20題（12分），理科的第20題與文科的第19題（13分），理科的第21題與文科的第21題（13分），共54分，這六道題題型類(lèi)似，難度不同，類(lèi)似率占全卷分值的36%；文、理科數(shù)學(xué)試卷題型相似率56%，難度上“異”大于“同”.

緊跟形勢(shì)，與時(shí)俱進(jìn)，加大了與大學(xué)接軌知識(shí)點(diǎn)和閱讀教材的知識(shí)點(diǎn)的考查力度

實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布，總體分布研究中，選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布 高考中要求我們了解正態(tài)分布的意義及主要性質(zhì)即可正因?yàn)槿绱?，即使現(xiàn)實(shí)生活中很有用的知識(shí)，因?yàn)楦呖伎疾楦怕史浅Ｐ。ㄐ「怕适录行┥踔脸霈F(xiàn)在閱讀教材中，高考考試大綱不作大的要求，平時(shí)少數(shù)同學(xué)甚至個(gè)別老師便置之不理，但這些知識(shí)點(diǎn)的確有用，又不能違背高考考試大綱，又要讓少數(shù)同學(xué)甚至個(gè)別老師引起重視，不要一切為了“高考轉(zhuǎn)”……為了解決上述矛盾，2006年湖北省高考數(shù)學(xué)理科第19題考查“正態(tài)分布”的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題，利用“正態(tài)分布”引導(dǎo)考生學(xué)以致用, 考查學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，這是“正態(tài)分布”這一知識(shí)點(diǎn)第一次出現(xiàn)在高考試題大題中. 2007年湖南省高考數(shù)學(xué)理科第5題考查“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布”的概率問(wèn)題，利用“正態(tài)分布”引導(dǎo)考生學(xué)以致用, 考查學(xué)生運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力2008年湖南省高考數(shù)學(xué)理科第4題又考查了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布”的概率問(wèn)題；2008年湖南理科第10題、文科第15題的取整函數(shù)，以及加大了向量、導(dǎo)數(shù)的工具性作用等等跡象，表明了高考的選拔性作用，為大學(xué)中可繼續(xù)性學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)

4 湖南2009屆高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)建議4.1 重視對(duì)《考試大綱》的研究

從宏觀上準(zhǔn)確掌握《考試大綱》序言中的精神和考試性質(zhì)，準(zhǔn)確掌握考試的內(nèi)容，做到復(fù)習(xí)不超綱；至少要對(duì)近5年（湖南高考自主命題后4年：2004年———2005年）湖南高考題認(rèn)真分析，明確考試要求：考試內(nèi)容的知識(shí)要求、能力要求和個(gè)性品質(zhì)要求

4.2 近五年湖南數(shù)學(xué)高考試題的特點(diǎn)

4.2.1 強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的更新，減少對(duì)單純知識(shí)、公式的記憶要求，降低對(duì)運(yùn)算復(fù)雜性、技巧性的要求

4.2.2 考查時(shí)注意通性通法，淡化特殊技巧

4.2.3 “觀察、猜測(cè)、抽象、概括、證實(shí)”是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)重要途徑

4.2.4 以多元化、多途徑、開(kāi)放式的設(shè)問(wèn)作為背景，命題時(shí)注意試題的多樣性，設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容

4.2.5 命題時(shí)堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度”的原則，把握好提出問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的深度和廣度，切合我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際

4.2.6 高考命題為文理科考生分別取材，提供新穎、別致的場(chǎng)景和刺激材料，區(qū)別對(duì)待，體現(xiàn)尊重個(gè)性、尊重差異的思想

4.3 第一階段復(fù)習(xí)方法建議

4.3.1 狠抓基礎(chǔ)，構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)

以課本為主，重新全面梳理知識(shí)、方法，注意知識(shí)結(jié)構(gòu)的重組與概括，揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出思想方法

4.3.2 突出重點(diǎn)、狠抓落實(shí)、夯實(shí)基礎(chǔ)

系統(tǒng)地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理、歸納、溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，形成縱向、橫向知識(shí)鏈，構(gòu)造知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從知識(shí)的聯(lián)系和整體上把握基礎(chǔ)知識(shí)

認(rèn)真領(lǐng)悟并熟練掌握數(shù)學(xué)思想，正確應(yīng)用它們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題

發(fā)揮選擇題，填空題的思維訓(xùn)練和能力訓(xùn)練功能

4.4 第二階段復(fù)習(xí)的原則與策略

4.4.1 注重知識(shí)重組的原則

4.4.2 嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的原則

4.4.3理論聯(lián)系實(shí)際的原則

4.4.4關(guān)注“熱點(diǎn)問(wèn)題”原則

4.4.5形成思維體系和方法的原則

4.5 三個(gè)階段復(fù)習(xí)安排，各有側(cè)重

高考復(fù)習(xí)的三階段安排已經(jīng)是一個(gè)常規(guī)，第一個(gè)階段全面復(fù)習(xí)，第二階段專(zhuān)題講座，第三階段模擬訓(xùn)練

4.5.1 全面復(fù)習(xí)

抓住以下幾點(diǎn)：①概念的準(zhǔn)確理解和實(shí)質(zhì)性理解；②基本技能、基本方法的熟練和初步應(yīng)用；③公式、定理的正逆推導(dǎo)運(yùn)用，變形和巧用

4.5.2 專(zhuān)題講座

專(zhuān)題的選取可包括：

①全面復(fù)習(xí)過(guò)程中反映出來(lái)的弱點(diǎn)；

②教材體系中的重點(diǎn)；

③近年高考試題中的熱點(diǎn)；

④基本數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)介紹

⑤解題應(yīng)試技巧

⑥綜合專(zhuān)題

4.5.3 模擬訓(xùn)練

組織精選模擬試題建立：“一周一套題，一天一道題”

組織好每套試卷的評(píng)講基本項(xiàng)目包括：①本題考查了哪些知識(shí)點(diǎn)？②怎樣審題？怎樣打開(kāi)思路？③主要運(yùn)用了哪些方法和技巧？關(guān)鍵步驟在哪里？最本質(zhì)的步驟有哪些？④指出學(xué)生答題中的典型錯(cuò)誤，分析其知識(shí)、邏輯上、心理上和策略上的原因；⑤介紹、表?yè)P(yáng)學(xué)生中的優(yōu)秀、新穎解法；⑥試題評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)及分步得分要領(lǐng)；⑦應(yīng)試策略和技巧；⑧題目的縱橫聯(lián)系等

建立考情檔案，進(jìn)行綜合指導(dǎo)

4.6 對(duì)于教師的要求

首先要堅(jiān)持探究，課堂最常見(jiàn)方式是一題多解其次，該刪除的內(nèi)容就刪除不講，沒(méi)有必要深入添講；其二對(duì)學(xué)生解題的規(guī)范要求，應(yīng)該從平時(shí)就加以注意，將寫(xiě)得規(guī)范與否提高到邏輯推理能力的是否強(qiáng)弱的高度來(lái)對(duì)待；最后，知識(shí)點(diǎn)要全面覆蓋按照我們的教學(xué)進(jìn)度，所有新的內(nèi)容在高一高二都已經(jīng)全部結(jié)束了所以高三一輪復(fù)習(xí)應(yīng)該全部都覆蓋尤其是今年的高考題，要求概念一定要深入理解絕對(duì)不能知其然不知其所以然

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文