體育賽事中的概率

余錦銀

體育賽事中的“分組問(wèn)題”、“輸贏的預(yù)測(cè)”、“結(jié)束場(chǎng)數(shù)的判定”等都要用排列組合和概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)通過(guò)計(jì)算獲得其結(jié)果.

1 比賽中分組問(wèn)題的概率計(jì)算.

例18個(gè)籃球隊(duì)中有2個(gè)強(qiáng)隊(duì)，先任意將這8個(gè)隊(duì)分成兩個(gè)組（每組4個(gè)）進(jìn)行比賽，求這兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)被分在一個(gè)組內(nèi)的概率.

法一（直接法）：

兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組，包括互斥的兩種情況：兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組或B組，2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在A組，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面包括2個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為C26C48；對(duì)等的有2個(gè)強(qiáng)隊(duì)都分在B組，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面包括2個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為C26C48，則2個(gè)強(qiáng)隊(duì)分在同一組的概率為2·C26C48=37

法二（間接法）：

“兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)被分在一個(gè)組”的對(duì)立事件為“2個(gè)組中各有1個(gè)強(qiáng)隊(duì)”，而2個(gè)組中各有一個(gè)強(qiáng)隊(duì)，可看成“從8個(gè)隊(duì)中抽取4個(gè)隊(duì)，里面恰有1個(gè)強(qiáng)隊(duì)”這一事件，其概率為C12C36C48=47

，所求事件的概率為：1-47=37

點(diǎn)評(píng) 如何認(rèn)識(shí)兩個(gè)強(qiáng)隊(duì)被分在一個(gè)組內(nèi)？如何完成？不同的思維過(guò)程將會(huì)產(chǎn)生不同的解法.

2 比賽中輸贏問(wèn)題的概率計(jì)算

例2 甲、乙兩名圍棋手進(jìn)行比賽，已知甲每一局獲勝的概率為35，乙每一局獲勝的概率為25，比賽可采用三局二勝制或五局三勝制，請(qǐng)你預(yù)測(cè)在那一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？

解 三局兩勝制中甲獲勝分為：甲前兩局全勝或前三局中前兩局中一負(fù)，第三局必勝，則概率P1=0.62+C12×0.6×0.4×0.6=0.648;

五局三勝制中甲獲勝分為：甲前三局全勝；或四局中前三局兩勝一負(fù)，且第四局必勝；或五局中前四局二勝二負(fù)，第五局必勝，則概率P2=0.63+C23×0.62×0.4×0.6+C24×0.62×0.42×0.6=0.68256;

由以上的計(jì)算知，在五局三勝制中甲獲勝的可能性大.

點(diǎn)評(píng) 認(rèn)識(shí)三局二勝制、五局三勝制所進(jìn)行的場(chǎng)數(shù)，用互斥事件分類，每類都用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，用分步乘法原理計(jì)算概率.

例3 某廠進(jìn)行乒乓球比賽，A勝B的概率為0.4 ,B勝C的概率為0.5,比賽沒(méi)有平局，按如下順序進(jìn)行：第1局 A與B；第2局，第1局勝者與C；第3局，第2局勝者與第1局戰(zhàn)敗者；第4局，第3局勝者與第2局?jǐn)≌?求B連勝4次的概率.

解 理解順序和連勝4次的意義，相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件的概率，分步研究：

第1局中B勝A的概率為1-0.4=0.6；第2局中B勝C的概率為0.5；第3局中B勝A的概率為1-0.4=0.6；第4局中B勝C的概率為0.5，這4步相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，由乘法公式得B連勝4次的概率為 0.6×0.5×0.6×0.5=0.09.

結(jié)論1 設(shè)排球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，若有一隊(duì)勝四場(chǎng)則比賽宣告結(jié)束（不出現(xiàn)和局）.通常，若兩隊(duì)技術(shù)水平相差懸殊，則需要比賽的場(chǎng)數(shù)更少；若兩隊(duì)技術(shù)水平相當(dāng)，則需要比賽的場(chǎng)數(shù)更多，試用概率知識(shí)解釋這一事實(shí).

解析 設(shè)在每場(chǎng)比賽中A勝B的概率為p，B勝A的概率為q=1-p(0≤p≤1)，進(jìn)行n場(chǎng)比賽，可看做是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中A隊(duì)B隊(duì)比賽k場(chǎng)的概率為Cknpkqn-k.

設(shè)比賽宣告結(jié)束時(shí)，比賽場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量ξ.因?yàn)橛幸魂?duì)勝4場(chǎng)比賽才宣告結(jié)束，所以比賽至少要進(jìn)行4場(chǎng)，即ξ≥4；又如果比賽進(jìn)行7場(chǎng)，兩隊(duì)中總有一隊(duì)要?jiǎng)?場(chǎng)，這時(shí)比賽必定結(jié)束，所以ξ≤7，ξ的取值集合為{4,5,6,7}.

“ξ=k”表示比賽k場(chǎng)即決出勝隊(duì)，即A在第k場(chǎng)取勝，在前k-1場(chǎng)中又勝了3場(chǎng)，或者B在第k場(chǎng)取勝，而在前k-1場(chǎng)中又勝了3場(chǎng)，從而P(ξ=k)=C3k-1p4qk-4+C3k-1pk-4·q4，k=4,5,6,7.

因?yàn)閜+q=1

所以P(ξ=4)=1-4pq+2p2q2,P(ξ=5)=4pq-12p2q2,P(ξ=6)=10p2q2-20p3q3,P(ξ=7)=20p3q3.

E(ξ)=4P(ξ=4)+5P(ξ=5)+6P(ξ=6)+7P(ξ=7)=20p3q3+8p2q2+4pq+4

設(shè)t=pq=14-（p-12)2,0≤t≤14，當(dāng)t接近于0時(shí)，說(shuō)明雙方水平相差懸殊，當(dāng)t接近于14時(shí)，說(shuō)明雙方水平相當(dāng).

因?yàn)镋(ξ)=f(t)=20t3+8t2+4t+4，在［0,14］上是增函數(shù)，所以當(dāng)雙方水平的差距逐漸縮小時(shí)，比賽的平均場(chǎng)數(shù)則逐漸增多. 特別地，當(dāng)某隊(duì)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)時(shí)，即t=0，E(ξ)=4，只需平均比賽4場(chǎng)；當(dāng)兩隊(duì)水平一樣時(shí)，即t=14,E(ξ)=5.8125(場(chǎng))，需要平均比賽約6場(chǎng).

3 比賽的平均場(chǎng)數(shù)的確定

例4 設(shè)籃球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，每場(chǎng)比賽均有一隊(duì)獲勝，若有一隊(duì)獲勝4場(chǎng)，則比賽宣告結(jié)束.假定A、B在每場(chǎng)中勝的概率均為12，那么比賽平均需要幾場(chǎng)才能結(jié)束？

解 理解一隊(duì)獲勝4場(chǎng)，比賽平均需要場(chǎng)數(shù)就是求以“場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量”的數(shù)學(xué)期望.設(shè)場(chǎng)數(shù)為隨機(jī)變量ξ,P(ξ=4)=2×C44(12)4=216,

P(ξ=5)=2C34(12)3(12)(12)=416,

P(ξ=6)2×C35(12)3(12)2(12)=516,

P(ξ=7)=2C36(12)3(12)3(12)=516.

則結(jié)束比賽的平均場(chǎng)數(shù)Eξ=5.8125，由于兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，故平均要進(jìn)行六場(chǎng)比賽才能結(jié)束.

例5 如果甲、乙兩名乒乓球選手進(jìn)行比賽，而且他們的水平相當(dāng)，規(guī)定“七局四勝制”，若已知甲先勝兩局.

（1）求乙取勝的概率； （2）試確定比賽的平均場(chǎng)數(shù).

解 注意前提甲先勝兩局，先分類后分步確定.

（1）甲先勝兩局，乙取勝再勝4局；3，4，5，6四局中勝3局且第7局必勝，其概率P=(12)4+C34(12)3(12)(12)=316

（2）設(shè)在甲勝兩局的前提下，結(jié)束比賽再需要場(chǎng)數(shù)為η.

P(η=2)=(12)2=14,

P(η=3)=C12×12×12×12=14,

P(η=4)=C13×12×(12)2×12+(12)4=14(系兩類)，

P（η=5）=C14×(12)1×(12)3×12+C34(12)3×(12)×(12)=14(系兩類)，

于是，結(jié)束比賽的平均場(chǎng)數(shù)為E(η+2)=Eη+2=72+2=112，由于兩隊(duì)實(shí)力相當(dāng)，故平均要進(jìn)行六場(chǎng)比賽才能結(jié)束.

結(jié)論2 A、B兩隊(duì)之間要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，若在每場(chǎng)比賽中A勝B的概率為p，且0

析 賽制通常有：一局一勝制、三局兩勝制、五局三勝制、七局四勝制等.

解 設(shè)一局一勝制中，A勝的概率為p1，則p1=p.

設(shè)三局兩勝制中，A勝的概率為p2，則p2=p2（頭兩局A勝）+C12p(1-p)·p(頭兩局只勝一局且第三局A勝)=p2+2p2-2p3=3p2-2p3，因?yàn)閜1>0，p2>0，當(dāng)p∈(0,0.5)時(shí)，有p2p1=3p-2p2∈(0,1)，所以p2

設(shè)五局三勝制中，A勝的概率為p3，同理，p3=p3+C24p2(1-p)2·p=p3+6p3(1-p)2.

p3-p2=p2［p+6p(1-p)2］-p2(3-2p)=3p2［2p3-4p2+3p-3］，令f(p)=2p3-4p2+3p-3,則f′(p)=6p2-8p+3，此時(shí)，f′(p)=0的判別式Δ=(-8)2-4×6×3=-8<0，所以f′(p)恒正，所以f(p)在p∈(0,0.5)單調(diào)遞增，所以f(p)min=f(0)=-3<0，所以p3-p2<0,所以p3

設(shè)七局四勝制中，A勝的概率為p4，同理有p4=p4+C36p3(1-p)3·p=p4+20p4(1-p)3

p4-p3=p3［p+20p(1-p)3］-p3［1+6(1-p)2］=p3(1-p)(20p3-40p2+26p-7)，令g(p)=20p3-40p2+26p-7,則g′(p)=60p2-80p+26,令g′(p)=0得p=80±(-80)2-4×60×262×60=20±1030>0.5，即函數(shù)g(p)的兩個(gè)極值點(diǎn)在區(qū)間(0,0.5)外，所以g(p)在p∈(0,0.5)單調(diào)，g(0)=-7<0，g(0.5)=-1.5<0，所以g(p)在p∈(0,0.5)恒負(fù)，此時(shí)1-p>0，所以p4-p3<0，故p4

綜上所述，p4

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們舉辦的各級(jí)各類比賽，都是為了選出優(yōu)勝者，選出冠亞軍，其實(shí)，賽出的冠軍，實(shí)力并不一定是真正的第一，要想通過(guò)比賽選出名副其實(shí)的第一，理論上比賽場(chǎng)數(shù)越多越好，但場(chǎng)數(shù)過(guò)多又需投入太多人力物力，為了兼顧這兩方面的平衡，現(xiàn)在很多國(guó)際賽制已由五局三勝制改為七局四勝制.

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