你來(lái)想數(shù)我來(lái)猜

李光紅

星期二下午的數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，我在黑板上畫(huà)了4個(gè)圖，每個(gè)圖中都有8個(gè)數(shù)字，如圖1.

同學(xué)們都很納悶，不知道這幾個(gè)圖有什么用.

這時(shí)，我說(shuō)：“我們先來(lái)做一個(gè)猜數(shù)字的游戲.”

同學(xué)們一聽(tīng)要做游戲，就來(lái)勁兒了，教室里立刻響起一片掌聲.

我接著說(shuō)：“同學(xué)們，你們先想好1~15中的一個(gè)整數(shù)，然后告訴我都哪幾個(gè)圖上顯示了這個(gè)數(shù)字，我就能說(shuō)出這個(gè)數(shù)字是幾.”

王浩同學(xué)首先發(fā)言：“我想好的數(shù)字在（1）（2）（3）中都有，在（4）中沒(méi)有.”

我很快報(bào)出：“你想的數(shù)字是14.”

王浩吃驚地答道：“是的.”

接著，陳亮同學(xué)發(fā)言：“我想好的數(shù)字在（2）（3）中有，在（1）（4）中沒(méi)有.”

我又準(zhǔn)確地說(shuō)出：“你想的數(shù)字是6.”陳亮點(diǎn)頭表示正確.

又有幾位同學(xué)發(fā)言，我都準(zhǔn)確無(wú)誤地說(shuō)出了他們想的數(shù)字.

大家都感到驚奇，只有班上的“數(shù)學(xué)王子”劉濤一直沒(méi)有說(shuō)話(huà)，這時(shí)他舉起了手，說(shuō)：“我看這個(gè)游戲并沒(méi)有什么新奇的地方，只要仔細(xì)按要求找一下就可以確定所想的數(shù)了.而且，因?yàn)槊總€(gè)圖只有“有”和“無(wú)”兩種狀態(tài)，所以共有2×2×2×2=16種‘有無(wú)情況，去掉‘無(wú)無(wú)無(wú)無(wú)的情況，共有15種‘有無(wú)情況.而這里的15個(gè)數(shù)字正好對(duì)應(yīng)于15種‘有無(wú)情況，如14對(duì)應(yīng)于‘有有有無(wú)，6對(duì)應(yīng)于‘無(wú)有有無(wú).”教室里又響起了掌聲.

這時(shí)，楊明說(shuō)：“可是我看李老師并沒(méi)有找，而且找起來(lái)也比較慢.”

“老師，您該不是把這15種對(duì)應(yīng)關(guān)系全記住了吧？”王浩笑著問(wèn)道.

我見(jiàn)大家討論得差不多了，就笑著說(shuō)：“同學(xué)們的積極性都很高，開(kāi)動(dòng)了腦筋，發(fā)現(xiàn)了其中隱含的規(guī)律.不過(guò)我不是用‘記的方法，而是用‘算的方法.同學(xué)們，你們知道是怎么算的嗎？”

教室里靜了下來(lái)，有的同學(xué)已經(jīng)開(kāi)始用筆算了起來(lái).

過(guò)了一會(huì)兒，陳亮舉起了手，高興地說(shuō)：“我知道了！只要把所有包含所想數(shù)字的圖中的第一個(gè)數(shù)字相加就可以得到這個(gè)數(shù)！”

大家都趕緊嘗試，很快都報(bào)以熱烈的掌聲.

緊接著，我開(kāi)始講課了.

其實(shí)，我們今天做的游戲與二進(jìn)制有關(guān).我們通常用的數(shù)字是十進(jìn)制的，也就是說(shuō)逢十進(jìn)一.任何一個(gè)十進(jìn)制的整數(shù)，總可以寫(xiě)成a0×10n+a1×10n-1+…+an - 1×101+an的形式.如2 008=2×103+ 0×102+ 0×101+ 8.我們稱(chēng)10是十進(jìn)制記數(shù)法的基數(shù).

計(jì)算機(jī)通常用的是二進(jìn)制數(shù)，這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的計(jì)算和記憶元件只有兩種不同的狀態(tài)，如“開(kāi)”、“關(guān)”.二進(jìn)制是逢二進(jìn)一的，只有0、1兩個(gè)數(shù)碼.任何一個(gè)二進(jìn)制的整數(shù)，都可以表示成a0×2n+a1×2n - 1+…+an - 1×21+an的形式.如二進(jìn)制數(shù)1010=1×23+0×22+1×21+ 0.我們稱(chēng)2是二進(jìn)制記數(shù)法的基數(shù).

為了與其他進(jìn)位制相區(qū)別，常常將基數(shù)2寫(xiě)在右下角，如10102，十進(jìn)制的基數(shù)10一般不寫(xiě).二進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)比較容易，如把10102化為十進(jìn)制數(shù)，只要把1×23+0×22+1×21+0算一下就可以了，10102=8+2=10.那么，如何把十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)呢？

可以逆向思考，先把十進(jìn)制數(shù)化為a0×2n+a1×2n - 1+…+an - 1×21+an的形式，再寫(xiě)出這個(gè)二進(jìn)制數(shù).例如，我們來(lái)看一道中考題.

題目：計(jì)算機(jī)采用的是二進(jìn)制數(shù)，它共有兩個(gè)數(shù)碼0、1.將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，只需把該數(shù)寫(xiě)成若干個(gè)2n數(shù)的和，依次寫(xiě)出1或0即可，如19=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=100112，它是二進(jìn)制下的5位數(shù)，則十進(jìn)制數(shù)2 004是二進(jìn)制下的（）.

A． 10位數(shù)B． 11位數(shù)

C． 12位數(shù)D． 13位數(shù)

這道題首先舉例說(shuō)明了十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)的方法，然后讓我們加以應(yīng)用.考慮不大于2 004且最接近于2 004的2的乘方是210，所以它是二進(jìn)制下的11位數(shù)，應(yīng)選B.

下面我們把1~15之間的整數(shù)都轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，如表1（不足4位的，在前面補(bǔ)0）.

我們?cè)賮?lái)看看前面的圖中的數(shù)字.凡是轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)以后，首位為1的，都記入圖1（1）中；第二位為1的，都記入圖1（2）中；第三位為1的，都記入圖1（3）中；末位為1的，都記入圖1（4）中.當(dāng)王浩同學(xué)說(shuō)在（1）（2）（3）中都有，在（4）中沒(méi)有時(shí)，就對(duì)應(yīng)著二進(jìn)制數(shù)1110，化為十進(jìn)制，就是1×23+1×22+1×21+0=8+4+2+0=14，也相當(dāng)于陳亮所說(shuō)的把顯示所想數(shù)字的圖中的第一個(gè)數(shù)字相加.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文