與垂直平分線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算題

鄧　凱

與垂直平分線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算題主要有兩類(lèi)，一類(lèi)是關(guān)于邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的計(jì)算，一類(lèi)是關(guān)于角的計(jì)算．要熟練解決與垂直平分線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算題，關(guān)鍵是要掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)以及有關(guān)的結(jié)論．

如圖1所示，在△ABC中，DE是BC邊上的垂直平分線(xiàn)，有以下結(jié)論（根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)很容易證明）.

1．關(guān)于邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的結(jié)論：

（1）BE=CE；（2）BD=CD=1/2BC；（3）AB=AE+CE；（4）△AEC的周長(zhǎng)=AC+AB；（5）△ABC的周長(zhǎng)=△AEC的周長(zhǎng)+BC．

2．關(guān)于角的結(jié)論：

（1）∠BED=∠CED；（2）∠B=∠BCE=1/2∠AEC．

一、關(guān)于邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的計(jì)算題舉例

例1如圖2，在△ABC中，AC的垂直平分線(xiàn)交BC于E，交AC于D.△ABE的周長(zhǎng)是16 cm，AC=6 cm.（1）求AB+BE+EC的長(zhǎng)度；（2）求△ABC的周長(zhǎng)．

解析：（1）因DE是AC的垂直平分線(xiàn)，故AE=CE.

∵△ABE的周長(zhǎng)是16 cm，

∴AB+BE+EC=AB+BE+AE=16（cm）.

（2）由（1）的結(jié)論及AC=6 cm，可求得△ABC的周長(zhǎng)=AB+BE+EC+AC=22（cm）.

點(diǎn)評(píng)：這是一道與垂直平分線(xiàn)有關(guān)的經(jīng)典題．解題時(shí)，需要運(yùn)用AE=CE這一結(jié)論．與此題類(lèi)似，還可以作出邊AB、BC的垂直平分線(xiàn)，并設(shè)計(jì)出類(lèi)似的問(wèn)題．

例2如圖3，在△ABC中， AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.△BCE的周長(zhǎng)等于16 cm.（1）若BC=7 cm，求AC的長(zhǎng)；（2）若AC的長(zhǎng)為9.6 cm，求BC的長(zhǎng)．

解析：（1）∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，

∴AE=BE.

∴AC=AE+EC=BE+EC=16-7=9（cm）．

（2）由（1）可知BC=16-9.6=6.4（cm）.

點(diǎn)評(píng)：這道題的兩個(gè)小題，解決思路是“互逆”的，但所用的基本結(jié)論是一樣的．

與垂直平分線(xiàn)相關(guān)的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的計(jì)算題，往往只涉及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的基本應(yīng)用，一般運(yùn)用上述結(jié)論即可解決．

練習(xí)

1. 如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB、AC于D、E.如果AC=5 cm，BC=4 cm，則△BEC的周長(zhǎng)是（）.

A． 9 cm B． 13 cm C． 14 cm D． 13 cm或14 cm

2. 如圖3，在△ABC中，已知AC=27.AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.△BEC的周長(zhǎng)等于40.求BC的長(zhǎng).

二、關(guān)于角的計(jì)算題舉例

例3如圖4，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線(xiàn).（1）試分別寫(xiě)出與∠B、∠C相等的角；（2）若∠BAC=100°，則∠EAG等于多少？

解析：（1）∵DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線(xiàn)，

∴AE=BE，AG=CG.

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

（2）由（1）可知，∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=∠BAC-（∠B+∠C）=100°-（180°-100°）=20°.

點(diǎn)評(píng)：這是一道典型的與垂直平分線(xiàn)有關(guān)的角的計(jì)算題.與上面邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的計(jì)算題一樣，關(guān)于角的計(jì)算題，依然涉及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)需要運(yùn)用到垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)中關(guān)于角的基本結(jié)論.

練習(xí)

3. 如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB、AC于D、E.若∠BEC=100°，則∠A=______．

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC.AB的垂直平分線(xiàn)與AC相交于E點(diǎn)，連接BE.若∠CBE∶∠EBA=1∶4，則∠A=_____，∠ABC=___.

三、綜合題舉例

例4如圖5，在△ABC中， AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB、BC于點(diǎn)D、E， AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC、BC于點(diǎn)F、G. 且BC=12，∠BAC=120°.（1）求△AEG的周長(zhǎng)；（2）求∠EAG的大?。唬?） 若AB=AC，試判斷△AEG的形狀.

解析：（1）∵DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線(xiàn)，

∴AE=BE，AG=CG.

∴△AEG的周長(zhǎng)=BE+EG+CG=BC=12.

（2）∵DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線(xiàn)，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

∴∠EAG=120°-（∠B+∠C）=120°-（180°-120°）=60°.

（3）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°.

∴∠AEG=∠AGE=60°.

∴△AEG為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：這道題既有邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)的計(jì)算，也有角的計(jì)算，是一道與垂直平分線(xiàn)相關(guān)的綜合計(jì)算題．其中涉及到的解題思路（如求∠EAG），在前面的例題中已有體現(xiàn)．

例5如圖6，在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB、BC于點(diǎn)D、E．若BE=2，∠B =15°，求直角邊AC的長(zhǎng)．

解析：如圖7，連接AE.

∵DE是AB的垂直平分線(xiàn)，

∴AE=BE=2，且∠AEC =2∠B=30°.

在Rt△AEC中，由“直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，可求得AC=1.

點(diǎn)評(píng)：這道題相對(duì)于例4來(lái)說(shuō)，不僅有與垂直平分線(xiàn)相關(guān)的計(jì)算，而且還有與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用.

練習(xí)

5. 如圖4，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線(xiàn).若BC=a，請(qǐng)用含a的式子表示△AEG的周長(zhǎng).

6. 如圖8，△ABC中， AB的垂直平分線(xiàn)分別交AB、BC于點(diǎn)D、E， AC的垂直平分線(xiàn)分別交AC、BC于點(diǎn)F、G.（1）若∠BAC =75°，求∠EAG的大??；（2）若BC=20，GE=8，求△AEG的周長(zhǎng).

7. 如圖3，在△ABC中，AC=a，AB的垂直平分線(xiàn)DE交AC于點(diǎn)E.若△BCE的周長(zhǎng)為m，求證：BC=m-a.

綜上所述，與垂直平分線(xiàn)相關(guān)的計(jì)算題，基本題型變化不大.此時(shí)，只要牢牢把握住垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)和基本結(jié)論，就能順利地解決問(wèn)題.