構(gòu)造全等三角形的常用方法

王文付

證明線段和角相等常利用全等三角形.但是，有些問(wèn)題不能直接利用全等三角形，對(duì)它們?cè)撊绾翁幚砟?？這就需要構(gòu)造全等三角形.下面將常用的構(gòu)造方法介紹如下，希望能對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、作垂線構(gòu)造全等三角形

例1如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC.M是AC邊的中點(diǎn).AD⊥BM交BC于D，交BM于E.試說(shuō)明：∠AMB=∠DMC.

解：作CF⊥AC交AD的延長(zhǎng)線于F.如圖2.

∵∠A=90°，AD⊥BM，

∴∠FAC=∠MBA=90°-∠AMB.

∵AB=AC，∠BAM=∠ACF=90°，

∴△ABM≌△CAF.

∴∠F=∠AMB，AM=CF.

∵AM=CM，∴CF=CM.

∵∠MCD=∠FCD=45°，CD=CD，

∴△MCD≌△FCD（SAS）.

∴∠F=∠DMC.

∴∠AMB=∠DMC.

二、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形

例2如圖3，正方形ABCD中，Q在DC上，P在BC上，∠1=∠2.求證：PA=PB+DQ.

證明：△ADQ繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°到△ABM的位置，如圖4.

∴△ABM≌△ADQ.

∴∠4=∠2=∠1，∠M=∠AQD，BM=PQ.

∵AB∥CD，

∴∠AQD=∠BAQ=∠1+∠3=∠4+∠3=∠MAP.

∴∠M=∠MAP.

∴PA=PM=PB+BM.

∴PA=PB+DQ.

三、利用折疊構(gòu)造全等三角形

例3如圖5，在△ABC中，AD⊥BC，∠BAD>∠CAD.求證：AB>AC.

證明：將△ADC沿AD翻折，因∠BAD>∠CAD，故點(diǎn)C落在BD上的E點(diǎn)處，如圖6.

∴△ADC≌△ADE.

∴∠C=∠AED.

∵∠AED>∠B，

∴∠C>∠B.

∴AB>AC.

四、與中點(diǎn)連接構(gòu)造全等三角形

例4兩個(gè)全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖7所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME、MC.試判斷△EMC的形狀，并說(shuō)明理由.

解：△EMC是等腰直角三角形.

由已知條件可以得到：

DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°.

故∠DAB=90°.

如圖8，連接AM.由AD=AB，DM=MB可知△ABD為等腰直角三角形，且△AMD≌△AMB（SSS），故∠MAD=∠MAB=45°=∠MDA.

∴AM=DM.

從而∠MDE=60°+45°=∠MAC，故△EDM≌△CAM（SAS）.

因此EM=CM.又易得∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=90°，所以△EMC是等腰直角三角形.