利用一元二次方程解圖形問題

許廣躍

一元二次方程的知識不僅可以用來解決實際問題，在解決許多幾何圖形問題時，若能運用所學知識，構(gòu)造一元二次方程求解，也能起到避繁就簡的作用.現(xiàn)舉例說明.

一、用于判斷三角形的形狀

例1 已知a，b，c是△ABC的三條邊，且滿足a2+b2+c2=ab+bc+ca，試判斷三角形的形狀.

解：將a2+b2+c2=ab+bc+ca整理為主元為a的一元二次方程，得a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0.

這個方程必有實數(shù)根，故Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）=-3（b-c）2≥0.

∴（b-c）2≤0，又（b-c）2≥0，故b-c=0，即b=c.

把b=c代入原方程，得a2-2ac+c2=0.

∴（a-c）2=0，得a=c.

故a=b=c，即△ABC為等邊三角形.

二、方案設計問題

例2 將一塊長18 m、寬15 m的矩形荒地修建成一個花園，道路或四角活動地（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1 m）

（1） 設計方案1：如圖1，花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路.

（2） 設計方案2：如圖2，花園中每個角的扇形都相同.

以上兩種方案是否都符合條件？若符合，請計算出圖1中的小路的寬和圖2中扇形的半徑；若不符合條件，請說明理由.

解：（1） 符合條件.設小路寬為x m.

可列方程18x+16x－x2＝ ×18×15.整理，得x2－34x+180＝0.

解這個方程，得x＝ ，取x≈6.6.即路寬6.6 m.

（2）符合條件.設扇形半徑為r m，則3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半徑為7.6 m.

三、動態(tài)幾何問題

例3 如圖3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，點P從點A出發(fā)沿邊AC向點C以1 cm/s的速度移動，點Q從C點出發(fā)沿CB邊向點B以2 cm/s的速度移動.

（1） 如果P，Q同時出發(fā)，幾秒鐘后，可以使得△PCQ的面積為8 cm2？

（2） 點P，Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半？若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由.

解：因為∠C＝90°，所以AB＝ ＝ ＝10 （cm）.

（1） 設x s后，可使△PCQ的面積為8 cm2.

所以AP＝x cm，PC＝（6－x） cm，CQ＝2x cm.

根據(jù)題意，得 （6－x）?2x＝8.

整理，得x2－6x+8＝0.解這個方程，得x1＝2，x2＝4.

所以P，Q同時出發(fā)，移動2 s和4 s時△PCQ的面積為8 cm2.

（2）設點P移動x s時，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半.

根據(jù)題意，得 （6－x）?2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.

由于此方程沒有實數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于△ABC面積一半的時刻.

四、平分幾何圖形的周長與面積問題

例4 如圖4，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，點E在下底邊BC上，點F在腰AB上.

（1） 若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示△BEF的面積.

（2） 是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由.

（3） 是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由.

分析： 為了能正確求得圖形的面積，不妨過點F作FG⊥BC于G，過點A作AK⊥BC于K.這樣，由三角形的面積公式即可列出含x的代數(shù)式.

解：（1） 由已知條件，可得梯形周長為24，高為4，面積為28.

過點F作FG⊥BC于G，過點A作AK⊥BC于K.

由 = ，可得FG＝ ×4.

所以S△BEF ＝ BE?FG＝－ x2+ x（7≤x≤10）.

（2） 存在.由（1）得－ x2+ x＝14.解這個方程，得x1＝7，x2＝5（舍去）.

當BE=7時，F(xiàn)G= ×4=4，BF+BE=12.

所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE＝7.

（3） 不存在.假設存在，應該有S△BEF ∶S多邊形AFECD＝1∶2和（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2同時成立.

由面積比例式，得－ x2+ x＝ .整理，得3x2－36x+70＝0.

由周長比例式，得BF+x= ×24=8.可知3≤x<8.

而方程3x2-36x+70=0的根不在這個范圍內(nèi)，所以不存在這樣的實數(shù)x.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1∶2的兩部分.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>