正五邊形尺規(guī)作圖探討

張明文

談到幾何則離不開幾何圖形的研究，在初等幾何中，所接觸到的問題一般可以分為兩類：一類是先假設(shè)給出符合一定條件的圖形，然后研究這個(gè)圖形有哪些性質(zhì)，如證明題、計(jì)算題等；另一類是預(yù)先給出一些條件，要求作出具備這些條件的圖形，這便是作圖題.

平面幾何中的所謂基本作圖，就是作圖工具習(xí)慣上限用直尺和圓規(guī)兩種，也稱尺規(guī)作圖．其中，直尺假定直而且長(zhǎng)，但上面無任何刻度，圓規(guī)則假定其兩腿足夠長(zhǎng)并能開閉自如.在現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，各種常見幾何圖形的尺規(guī)作圖是重中之重.

根據(jù)我長(zhǎng)期的初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形等常見正多邊形的尺規(guī)作圖中，最難學(xué)習(xí)掌握的就是正五邊形．正五邊形與它自己的外接圓或內(nèi)切圓的聯(lián)系關(guān)系比較難找，在此，我把自己在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中總結(jié)的幾種常用正五邊形畫法介紹給大家，以供參考.

1．已知正五邊形外接圓半徑R作正五邊形

方法１：“徑分三等份，一垂兩連弦，連接五個(gè)點(diǎn)”，是每個(gè)中學(xué)生受益匪淺的正五邊形近似畫法的口訣.“徑分三等份”是指把正五邊形的任一條外接圓直徑（一般選用豎直的一條直徑）分成相等的三等份；“一垂兩連弦”是指過任意一個(gè)三等份點(diǎn)作三等份直徑的垂線與外接圓有兩個(gè)交點(diǎn),再分別將這兩個(gè)交點(diǎn)與直徑的另一個(gè)三等份點(diǎn)連接與圓相交得到兩條弦；“連接五個(gè)點(diǎn)”是指順次連接圓上的五個(gè)交點(diǎn)就得到近似正五邊形.作圖步驟如下．

（1）作已知半徑為R的正五邊形外接圓O,再作一條豎直的直徑FD,利用尺規(guī)作圖法把直徑FD分為相等的三等份,三等份點(diǎn)分別為P、Q；（2）過Q點(diǎn)作垂直于直徑FD的弦CE,連接CP交圓O于A,連接EP交圓O于B；（3）順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn)，則五邊形ABCDE為所求正五邊形.如圖１．

這種作圖方法得到的邊BC=CD=DE=ＡＥ,而ＡＢ比其它四邊略長(zhǎng),經(jīng)計(jì)算，ＡＢ所對(duì)應(yīng)的圓心角為77.885°，而BC，CD，DE，ＡＥ對(duì)應(yīng)的圓心角為70.529°，與標(biāo)準(zhǔn)的正五邊形每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角都為72°略有差距,所以說此種方法為近似畫法,它對(duì)于精度要求不高的作圖非常實(shí)用.

方法２：（1）作已知半徑為R的正五邊形外接圓O，并作互相垂直的直徑MN和BF；（2）平分半徑ON于P，使OP=PN；（3）以P為圓心，PB為半徑畫弧與OM交于Q，BQ即為正五邊形的邊長(zhǎng)；（4）以BQ為弦長(zhǎng)，在圓周上截得A、B、C、D、E各點(diǎn)，順次連接這些點(diǎn)，五邊形ABCDE即為所求正五邊形．如圖２．

方法３：（1）作已知半徑為R的正五邊形外接圓O，任選一半徑OA（一般選水平方向)，過點(diǎn)Ｏ作OA的垂線OP交圓O于P；（2）平分半徑OP于M，使OM=MP；（3）作∠OMA的角平分線MN交OA于點(diǎn)N；（4）過N作OA的垂線NB交圓O于點(diǎn)B，AB即為正五邊形的邊長(zhǎng)；（5）以AB為弦長(zhǎng)，在圓周上截得C、D、E各點(diǎn)，順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn)，五邊形ABCDE即為所求正五邊形.如圖３．

2.已知正五邊形的邊長(zhǎng)為l作正五邊形

方法１：（1）作線段AB等于１，并分別以A、B為圓心，１為半徑畫弧與AB的中垂線交于P；（2）以P為圓心，取AB的2/3長(zhǎng)度為半徑在ＡＢ的中垂線上向外側(cè)取點(diǎn)D，使DP=2/3AB；（3）以D為圓心，已知邊長(zhǎng)AB為半徑畫弧，分別與前兩弧相交于C、E；（4）順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn)，即近似作得所求正五邊形ABCDE.如圖４．

方法２：（1)作線段AB等于１，過B作AB的垂線BM，使BM=1/2AB；（2）以M為圓心，MB為半徑畫弧交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F；（3）分別以A、B為圓心，AF為半徑畫弧相交于點(diǎn)D；（4）分別以A、B為圓心，AB為半徑畫弧與步驟3的圓弧相交于點(diǎn)E、C；（5）順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn),五邊形ABCDE即為所求正五邊形.如圖５．

方法３：（1）作線段AB等于１，作AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)O，并且截取ON＝3AO，連接NA、NB；（2）以A、B為圓心，AB為半徑作弧分別交NA、NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Ｅ、Ｃ；（3）以Ｅ為圓心，AB為半徑作弧交MN于點(diǎn)Ｄ；（4）順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn)，則ABCDE為近似正五邊形.如圖６．