對(duì)稱給我們帶來(lái)的數(shù)學(xué)美

作者簡(jiǎn)介：王繼延，理學(xué)碩士. 曾執(zhí)教高中十余年，并任中學(xué)校長(zhǎng). 現(xiàn)為華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，國(guó)家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)核心組成員，全國(guó)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（華東師大版）常務(wù)副主編，教育部基礎(chǔ)司項(xiàng)目“全國(guó)初中畢業(yè)、升學(xué)考試評(píng)價(jià)”數(shù)學(xué)學(xué)科負(fù)責(zé)人. 作為主編或主要人員參與編寫(xiě)或翻譯多本數(shù)學(xué)教育專業(yè)著作與教材，如《全國(guó)初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)》《基礎(chǔ)教育新課程師資培訓(xùn)指導(dǎo)（初中數(shù)學(xué)）》《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)》《數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講》《數(shù)學(xué)物理方程》《文科數(shù)學(xué)-數(shù)學(xué)思想和方法》與《高中數(shù)學(xué)選修讀本》等書(shū)，在《人民教育》《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》《高等數(shù)學(xué)研究》《生態(tài)學(xué)報(bào)》《數(shù)學(xué)教學(xué)》等雜志上發(fā)表多篇文章.

同學(xué)們，對(duì)稱美嗎？請(qǐng)聽(tīng)王教授給我們一一解析對(duì)稱的數(shù)學(xué)美吧.

你看，圖1是某些名勝古跡的一些照片.

你發(fā)現(xiàn)了嗎？這三張照片中的北京天安門(mén)、河南開(kāi)封府與印度泰姬陵的圖片都是軸對(duì)稱圖形，那個(gè)印度泰姬陵與水中的倒影還恰好成軸對(duì)稱呢！生活中也有不少那樣美的圖形，如圖2的蝴蝶與螃蟹的照片.

那么這些軸對(duì)稱圖形給我們帶來(lái)什么信息呢？

讓我們從最簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形說(shuō)起吧.你看，將一條直線段繞著它的中點(diǎn)對(duì)折，兩半一定重合.線段就是一種簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形.折痕，即對(duì)稱軸，就是線段的垂直平分線.通過(guò)類似的操作實(shí)驗(yàn)，你還可以知道角是另一種簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形，折痕，即對(duì)稱軸，就是角平分線所在的直線.由這些操作，我們還可得到垂直平分線與角平分線的一些性質(zhì).

那么一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是否只有一條呢？當(dāng)然不是！你看圖3的一些圖形，有的有三條，有的則更多.

現(xiàn)在請(qǐng)你觀察一下，如下的一些漢字中，哪些是軸對(duì)稱圖形？如果是，那么它們各有幾條對(duì)稱軸？

上下目天田土呂林顯王

經(jīng)過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)操作，我們可以發(fā)現(xiàn)軸對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)是：關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的線段相等，對(duì)應(yīng)的角也相等，連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段的垂直平分線就是這一軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸.這就告訴我們，經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱這一圖形的變換，圖形的形狀與大小都沒(méi)有發(fā)生變化.

你看！圖4是一個(gè)飛機(jī)模型的一半，請(qǐng)你畫(huà)出整個(gè)飛機(jī)模型.

我們已經(jīng)看到等邊三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸.那么如果只有兩條邊相等，也就是等腰三角形，它是否是軸對(duì)稱圖形呢？做個(gè)實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)一下.畫(huà)一個(gè)等腰三角形，剪下，將其對(duì)折（如圖5），發(fā)現(xiàn)了什么？每位同學(xué)剪的等腰三角形有大有小，但有一點(diǎn)應(yīng)該是完全一樣的：對(duì)折后的兩半完全重合！

那就是說(shuō)等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，那個(gè)折痕就是它的對(duì)稱軸.據(jù)此，你還能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)：兩個(gè)底角相等，底邊上的中線、高和頂角平分線互相重合（三線合一）.當(dāng)然還有反過(guò)來(lái)的結(jié)論：兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形.這些可是十分重要的結(jié)論，需要我們理解記住，以后很多地方都會(huì)用到呢.

圖形的變換，我們今天說(shuō)了一個(gè)：軸對(duì)稱.以后還會(huì)學(xué)習(xí)和研究另外幾個(gè)，有如同軸對(duì)稱那樣使圖形的形狀與大小都不發(fā)生變化的平移與旋轉(zhuǎn)，還有保持圖形形狀不變，大小可能發(fā)生變化的相似變換.這些變換都是我們研究幾何問(wèn)題的重要工具.

好了，今天就說(shuō)到這里啦，還是讓我們一起多想想吧，生活周圍到處充滿了軸對(duì)稱給我們帶來(lái)的數(shù)學(xué)美！

練習(xí)題：

1.如圖6，在長(zhǎng)方形臺(tái)球桌面上有兩個(gè)球M、N，怎樣擊打球M，可使其撞擊一桌邊緣反彈后，正好擊中球N？（讀者還可考慮：若擊打球M，使其連續(xù)撞擊兩條或三條桌邊緣反彈后，正好擊中球N.那么該如何擊打？）

2.圖7畫(huà)著的箭頭是一個(gè)上下對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，現(xiàn)在只知道其中一個(gè)角的大小和兩條線段的關(guān)系.要求你剪兩刀，把它剪成三塊，再拼成一個(gè)正方形.想想看，該怎樣剪.

3.如圖8，一輛汽車在直線形的公路AB上由A處向B處行駛.M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊.

（1）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時(shí)，在公路的哪一段路上距離兩村莊M、N都越來(lái)越近？在哪一段路上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)？何處距離村莊N最近？

（2）在公路上是否存在這樣一點(diǎn)H，使汽車行駛到該點(diǎn)位置時(shí)，恰好與兩村莊M、N的距離相等？如果存在，請(qǐng)畫(huà)出這一點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

參考答案：

1.作點(diǎn)N關(guān)于桌邊的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接MN′，與桌邊交于點(diǎn)C.則沿著MC方向擊球，即可達(dá)到目的.

2.如圖9.

3.（1）分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，設(shè)垂足為E、F.顯然當(dāng)汽車在AE上行駛時(shí)，距離兩村莊M、N都越來(lái)越近；而當(dāng)汽車在EF上行駛時(shí)，距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M卻越來(lái)越遠(yuǎn)；當(dāng)汽車行駛到點(diǎn)F處時(shí)，距離村莊N最近.

（2）存在這樣的點(diǎn)H.作線段MN的垂直平分線，與AB的交點(diǎn)即是點(diǎn)H.