不等式中等號成立條件的解題功能

王文清

大家都知道，基本不等式中的等號，當且僅當諸數(shù)都相等時成立.事實上，我們遇到的要證明的絕大多數(shù)不等式的條件與結論都是關于所含字母的輪換對稱式，這就預示著這些字母在解題中的地位是相同的，因此，當他們取值相同時，等號可能成立.于是，可以先猜測并驗證要證明的不等式中等號成立的條件，然后，結合已知，通過拆添項、配湊等手段構造一系列基本不等式，最后通過同向不等式的運算給出證明.下面舉例說明.

利用對稱思想解決例7，用時不會超過60秒，運算量小得都沒有出錯的機會．

綜上所述，當題設條件和研究結論的形式都是關于題設全部元素對稱的時候，就沒有理由認為某個元素比其它的大或小，它們對結論的貢獻是相同的，因而地位平等，誰也無特權，故諸元素均相等時，結論不等式中的等號成立(如，例1～例5）．

這種“一視同仁”地、“公正”地看待某些對象的“非充分理由”原理，用來監(jiān)控對稱問題的結論是很有效的，即條件和研究對象的形式是對稱的，結論也應該符合對稱要求，否則可判斷結論或者不完整，或者根本就是錯誤的.對稱思想告訴我們：“沒有充分理由區(qū)別的，可能是不必區(qū)別的.”

當題設條件或研究結論至少有一個不具有對稱性時，盡力把題設條件和研究結論同時化歸為具有對稱性，也是解決這類問題的一個策略(如例6、例7）.

龐卡萊指出“在解題中、在證明中，給我們美感的東西是什么呢?是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡．”對稱給人以美的感受，對稱美是數(shù)學中最普通的美.對稱的條件能夠導致對稱的結論以及可能用對稱變換的方法去求解.使分散的條件相對集中，以溝通已知和未知的關系，打通解題途徑，起到事半功倍的效果.

利用諸元素相等時，結論不等式中的等號成立，是證明條件不等式的一種極為有效的策略和方法，是對稱思想用于指導解題的具體體現(xiàn).發(fā)現(xiàn)或制造對稱，并利用對稱性解題，是解題者對稱思想成熟的標志！

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