《可能性》學(xué)習(xí)指導(dǎo)

王建波

一次，一位病人到醫(yī)生那里就診．醫(yī)生在檢查完病情后說(shuō)：“你病得很重，這種病是‘九死一生的??！”

“上帝，我快完了！”病人幾乎被嚇昏了．

“不過(guò)，你是可以活的．”

“有什么根據(jù)嗎？”

“因?yàn)槟阏业搅宋遥?/p>

“您醫(yī)術(shù)高明，我真不知道怎樣報(bào)答您……”

“不，不是因?yàn)槲裔t(yī)術(shù)高明，而是因?yàn)槲乙呀?jīng)醫(yī)治過(guò)9個(gè)患有這種病的人，他們都已經(jīng)死了——所以，你一定能活．”

“……”

醫(yī)生說(shuō)的話對(duì)嗎？

從本章起，我們將進(jìn)入一個(gè)不確定性世界，開(kāi)始接觸不確定事件，初步體會(huì)不確定事件的特點(diǎn)，并對(duì)不確定事件發(fā)生的可能性作定性認(rèn)識(shí)，知道事件發(fā)生的可能性是有大小的．我們還將體驗(yàn)一種區(qū)別于以往的確定性的思維方式——不確定性思維，并運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)一些不確定現(xiàn)象作出解釋，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中的一些實(shí)際問(wèn)題作出預(yù)測(cè)和決策．

本章教科書(shū)展開(kāi)的線索大致是：通過(guò)摸球游戲等活動(dòng)體會(huì)有些事件的發(fā)生是不確定的；對(duì)不確定事件發(fā)生的可能性作定性認(rèn)識(shí)，知道事件發(fā)生的可能性是有大小的；進(jìn)一步體會(huì)不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)，樹(shù)立正確的隨機(jī)觀念．

在學(xué)習(xí)本章時(shí)要注意以下一些方面的問(wèn)題．

1． 初步體驗(yàn)有些事件的發(fā)生是確定的，有些則是不確定的，能區(qū)分確定事件和不確定事件．

區(qū)分確定事件和不確定事件，初步體會(huì)不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)是學(xué)習(xí)概率的前提，對(duì)不確定事件特點(diǎn)的體會(huì)，應(yīng)該在同學(xué)們感興趣的游戲活動(dòng)或具體情境中逐步實(shí)現(xiàn)．

例1在一個(gè)不透明的口袋中裝著大小、外形等一模一樣的5個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)白球，它們已經(jīng)在口袋中被攪勻了．請(qǐng)判斷以下事件是不確定事件、不可能事件還是必然事件．

（1）從口袋中任意取出1個(gè)球，是白球；

（2）從口袋中同時(shí)任意取出5個(gè)球，全是黃球；

（3）從口袋中同時(shí)任意取出5個(gè)球，只有黃球和白球，沒(méi)有紅球；

（4）從口袋中同時(shí)任意取出6個(gè)球，恰好紅、黃、白三種顏色的球都有．

解：（1）不確定事件．

（2）不可能事件．

（3）不確定事件．

（4）不確定事件．

例2你認(rèn)為下面的說(shuō)法正確嗎？談?wù)勀愕睦碛桑?/p>

（1）買彩票中獎(jiǎng)的可能性太小了，是不可能事件；

（2）拋擲一枚均勻的硬幣，出現(xiàn)正面是必然事件，因?yàn)閽仈S很多次后總有一次會(huì)出現(xiàn)正面；

（3）足球運(yùn)動(dòng)員技術(shù)嫻熟，因此“10次射門(mén)命中球門(mén)次數(shù)大于1”是必然事件．

解：（1）不正確．事件發(fā)生的可能性小并不意味著不可能發(fā)生．事實(shí)上，買彩票中獎(jiǎng)的可能性雖然很小，但總是有人會(huì)中，因此是不確定事件．

（2）不正確．每一次拋擲出現(xiàn)正面或反面都是不確定事件．

（3）不正確．事件“10次射門(mén)命中球門(mén)次數(shù)大于1”發(fā)生的可能性大，但并不意味著必然發(fā)生．

上面兩個(gè)例子都是同學(xué)們生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，可以使同學(xué)們充分感受到身邊的不確定事件，并初步體會(huì)不確定現(xiàn)象的特點(diǎn)．

2．知道事件發(fā)生的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性作出描述．

例3從分別標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的10張卡片中任意取出1張，下面有6個(gè)事件：①號(hào)碼是奇數(shù)；②號(hào)碼是偶數(shù)；③號(hào)碼是10；④號(hào)碼既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)；⑤號(hào)碼既是3的倍數(shù)又是4的倍數(shù)；⑥號(hào)碼小于8．其中：

（1）有沒(méi)有必然事件？若有，是哪個(gè)事件？

（2）有沒(méi)有不可能事件？若有，是哪個(gè)事件？

（3）哪一個(gè)事件出現(xiàn)的可能性最大？

（4）哪一個(gè)事件出現(xiàn)的可能性最??？

（5）有沒(méi)有出現(xiàn)可能性一樣大的事件？若有，是哪些事件？

解：（1）沒(méi)有必然事件．

（2）事件⑤是不可能事件．

（3）事件⑥．

（4）事件⑤．

（5）可能性一樣大的事件有兩組，它們是①和②，③和④．

此例把對(duì)必然事件、不可能事件、不確定事件的判斷與對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的比較聯(lián)系在了一起，可以幫助大家更好地理解相關(guān)的概念．

例4有背面完全相同的3張卡片，正面如圖1所示，現(xiàn)讓它們背面朝上，從中任意摸出2張，下面的兩個(gè)事件中，哪個(gè)事件發(fā)生的可能性較大？

事件A：摸出的2張恰好拼成“貓捉老鼠”圖案；

事件B：摸出的2張不能拼成“貓捉老鼠”圖案．

解：可以做3張卡片試一試．當(dāng)然，也可以通過(guò)分析任意摸出2張卡片出現(xiàn)的所有可能結(jié)果，得到正確判斷．

因?yàn)閺?張卡片中任意摸出2張共有以下3種結(jié)果：圖（1）和圖（2），圖（1）和圖（3），圖（2）和圖（3）． 其中只有1種情況（摸出圖（1）和圖（3））能拼成“貓捉老鼠”圖案，其他2種均不能拼成“貓捉老鼠”圖案，不能拼成的多于能拼成的，所以事件B發(fā)生的可能性大．

確定一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的可能性的大小時(shí)，首先要明確這次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，然后看這些結(jié)果中能使該事件發(fā)生的有哪些，其個(gè)數(shù)是多還是少．

例5 在小攤上，常見(jiàn)有人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲．圖2是某攤主的轉(zhuǎn)盤(pán)示意圖，圖中C、E兩區(qū)的面積均為A區(qū)面積的2倍．?dāng)傊髡f(shuō)：“交上2元錢(qián)，便可轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)1次．如果指針指向A區(qū)，攤主返還游戲者4元；指針指向B區(qū)，攤主返還游戲者2元；指針指向其他區(qū)游戲者就什么也得不到．”攤主又說(shuō)：“因?yàn)锳區(qū)有4個(gè)，加上B區(qū)共5個(gè)，其他區(qū)合起來(lái)才3個(gè)，我吃大虧了．”攤主真吃虧了嗎？說(shuō)出你的道理．

解：根據(jù)游戲規(guī)則，如果指針指向C、E兩區(qū)，攤主將盈利2元；如果指針指向A區(qū)，攤主將虧損2元．因?yàn)镃、E兩區(qū)的面積和與4個(gè)A區(qū)的面積和相等，所以在A、C、E這幾個(gè)區(qū)域內(nèi)可視作攤主的盈利與虧損大致相當(dāng)．另外，如果指針指向B區(qū)，攤主將不虧不盈；如果指針指向D區(qū)，攤主將盈利2元．而B(niǎo)、D兩區(qū)面積相等，所以在B、D這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)攤主將會(huì)盈利．

從上面的分析可知，攤主盈利與否不能只看相關(guān)區(qū)域的數(shù)量，而要看這些區(qū)域的面積，即看指針落在不同區(qū)域的可能性大?。畯目傮w來(lái)看，攤主非但不會(huì)虧損，還將會(huì)有盈利．

此例要求我們預(yù)測(cè)一些實(shí)際問(wèn)題中的盈虧情況，其中分析事件發(fā)生的可能性大小是預(yù)測(cè)的前提．當(dāng)然，此題還牽涉有關(guān)可能性的進(jìn)一步計(jì)算，要求有些過(guò)高，但只要大家牢牢把握事件可能性大小這一核心，問(wèn)題就迎刃而解了．

3．初步體會(huì)不確定性思維與確定性思維的差異，形成正確的隨機(jī)觀念．

如何體會(huì)不確定性思維與確定性思維的差異，形成正確的隨機(jī)觀念是學(xué)習(xí)概率的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)．同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)概率的初期，難免存在一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．建議大家在面對(duì)相關(guān)問(wèn)題的時(shí)候，不妨多動(dòng)手進(jìn)行操作，通過(guò)活動(dòng)和試驗(yàn)不斷地體會(huì)概率的意義．

例6如果某彩票的中獎(jiǎng)率為1％，那么買100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)嗎？（假設(shè)該種彩票足夠多）

解： 由生活經(jīng)驗(yàn)我們不難知道，買100張這種彩票也不一定會(huì)中獎(jiǎng)．實(shí)際上，買100張彩票相當(dāng)于做了100次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是不確定的，所以做100次的結(jié)果也是不確定的．也就是說(shuō)，每張彩票既可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)，因此這100張彩票中可能沒(méi)有一張中獎(jiǎng)，也可能有許多張中獎(jiǎng)．另一方面，雖然中獎(jiǎng)張數(shù)是不確定的，但這種不確定中具有規(guī)律性．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即隨著所買彩票張數(shù)的增加，大約有1％的彩票中獎(jiǎng)．實(shí)際上，我們可以算出：買100張彩票沒(méi)有一張中獎(jiǎng)的概率為100≈ 0．366，中獎(jiǎng)的概率為1 － 100≈ 0．634．

例7 某天北京的降水概率是50％，上海的降水概率是80％．假如這天北京下雨了，上海是否一定會(huì)下雨？

解：我們考察北京歷史上的天氣記錄，如果和這天在氣壓、云層、溫度等天氣條件方面相同的天數(shù)是100天，而其中有50天降雨了，那么就說(shuō)這天北京的降水概率是50％；這天上海的降水概率是80％的道理也一樣．也就是說(shuō)，“這天降雨”是一個(gè)不確定事件，這天北京的降水概率是50％，上海的降水概率是80％，只是說(shuō)明這天上海降雨的可能性比北京大，并不表示這天北京降雨了上海就一定會(huì)降雨．如果這天北京降雨了而上海沒(méi)有降雨，這只能說(shuō)明可能性較小的事件發(fā)生了而可能性較大的事件卻沒(méi)有發(fā)生，這也正是隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性的體現(xiàn)．

通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們不僅學(xué)到了概率的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，還可從中了解不確定現(xiàn)象的基本特點(diǎn)，體會(huì)隨機(jī)的思想．在現(xiàn)實(shí)世界中，嚴(yán)格確定現(xiàn)象十分有限，不確定現(xiàn)象卻是大量的，但是在大量的不確定現(xiàn)象中卻也存在著規(guī)律性．概率就是研究大量不確定事件發(fā)生的規(guī)律的科學(xué)，我們可以通過(guò)概率內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)一步認(rèn)識(shí)自然和社會(huì)，并作出合理的預(yù)測(cè)和決策．

現(xiàn)在回到一開(kāi)始講的故事中來(lái)，試試看用我們學(xué)習(xí)到的概率的知識(shí)能不能解釋“九死一生”的真正含義．事實(shí)上，一個(gè)人患了上述那種疾病，后果有兩種可能：生和死．生也好，死也好，都可以看成不確定事件．由于這種疾病是“九死一生”的，因此，可以認(rèn)為患這種病的人活的概率是0．1，死的概率是0．9．但是，按照概率的正確含義，它只能說(shuō)明患這種病死的人相當(dāng)多，比如說(shuō)10 000個(gè)病人中，大致有1 000個(gè)能活下來(lái)，而不能保證每10個(gè)這種病人，必定是9個(gè)死1個(gè)活．那位醫(yī)生正是錯(cuò)誤地解釋了“概率”的意義，才使他所作出的結(jié)論成了笑話．

當(dāng)我們對(duì)概率知識(shí)有了一定的了解后，就不會(huì)出現(xiàn)類似上面醫(yī)生的笑話啦！

本刊快訊

2007年12月5日，在中國(guó)少年兒童報(bào)刊工作者協(xié)會(huì)第六屆理事大會(huì)上，本刊榮獲第三屆中國(guó)優(yōu)秀少兒報(bào)刊金獎(jiǎng)． 這是繼蟬聯(lián)國(guó)家科委、中共中央宣傳部、國(guó)家新聞出版總署頒發(fā)的“全國(guó)優(yōu)秀科技期刊”，榮獲國(guó)家新聞出版總署頒發(fā)的“中國(guó)期刊方陣·雙百期刊”之后，本刊獲得的又一殊榮．

本刊編輯部

2007年12月6日