找準(zhǔn)全等三角形對(duì)應(yīng)元素的訣竅

作者簡(jiǎn)介：史永軍，男，中學(xué)高級(jí)教師，現(xiàn)在萊西市教體局普教教研室任初中數(shù)學(xué)教研員．2003年被教育部北京師范大學(xué)基礎(chǔ)教育課程研究中心聘為新世紀(jì)版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)委員會(huì)委員．曾被評(píng)為青島市初中數(shù)學(xué)教學(xué)能手、青島市青年教師優(yōu)秀專業(yè)人才、萊西市優(yōu)秀教師、萊西市十佳青年教學(xué)能手、萊西市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員．先后有十多篇教育教學(xué)論文在國(guó)家級(jí)或省級(jí)刊物上發(fā)表或獲獎(jiǎng),輔導(dǎo)過(guò)的三十多名學(xué)生在全國(guó)、山東省、青島市等競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)．

全等三角形是平面幾何的重要內(nèi)容，它為初中幾何解決線段和角的相等的問(wèn)題提供了重要工具，也為后面的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)．要學(xué)好全等三角形，必須學(xué)會(huì)找準(zhǔn)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素（對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角）的方法．本文談幾點(diǎn)意見，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．

[問(wèn)題與情境]

同學(xué)們，你們都見過(guò)大風(fēng)車吧！“大風(fēng)車轉(zhuǎn)起來(lái)，各地的朋友來(lái)相會(huì)．”現(xiàn)在請(qǐng)你仔細(xì)地觀察圖1中這個(gè)大風(fēng)車，看看它是由哪些圖形組成的，這些圖形有什么特點(diǎn)．很顯然，它是由4個(gè)三角形組成的，這4個(gè)三角形是全等的.

生活中，我們可以發(fā)現(xiàn)很多圖案是由全等三角形組成的（如圖 2）.

[開眼界]

魔術(shù)師的地毯

一個(gè)魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為 8 m 的正方形地毯找一個(gè)地毯匠，要他把地毯改成長(zhǎng)為 13 m、寬為 5 m 的長(zhǎng)方形地毯．地毯匠算了算，面積由 64 m2 改成 65 m2，認(rèn)為這是不可能的事情，可是魔術(shù)師卻說(shuō)：“你按我的辦法剪裁，保證沒(méi)有問(wèn)題．”魔術(shù)師拿出一張圖給地毯匠看．按圖 3 中粗線裁剪后，得到兩個(gè)全等的直角梯形和兩個(gè)全等的直角三角形，然后按照?qǐng)D 4 就可以拼成一個(gè)（5 × 13） m2長(zhǎng)方形．地毯匠橫看豎看，始終看不出破綻，但又不敢下剪刀，聰明的同學(xué)們，你們明白究竟是怎么回事嗎？

提示：如果你仔細(xì)地畫一個(gè)大一點(diǎn)的圖出來(lái)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在 5 × 13 的長(zhǎng)方形中，中間接縫是有空隙的，這個(gè)空隙的面積恰好是 1 平方單位.

[經(jīng)典例析]

例1 如圖 5，△AOC△BOD，∠A和∠B是對(duì)應(yīng)角，AO和BO是對(duì)應(yīng)邊，請(qǐng)寫出其他的對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊.

分析：找全等三角形的對(duì)應(yīng)元素（對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)邊），應(yīng)按照如下規(guī)律．

（1） 根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素來(lái)找．

① 已知對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊；② 已知對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；③ 已知對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角．

（2） 根據(jù)兩個(gè)全等三角形的位置來(lái)找．

① 有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；② 有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；③ 有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角．

（3） 根據(jù)大小來(lái)找．

① 一對(duì)最長(zhǎng)的邊是對(duì)應(yīng)邊，一對(duì)最短的邊是對(duì)應(yīng)邊；② 一對(duì)最大的角是對(duì)應(yīng)角，一對(duì)最小的角是對(duì)應(yīng)角．

（4） 根據(jù)兩個(gè)全等三角形的位置關(guān)系，分析其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過(guò)哪種全等變換（平移、旋轉(zhuǎn)、翻折）形成的，從而找出對(duì)應(yīng)關(guān)系.

① 翻折法：一個(gè)三角形沿某條直線翻折與另一個(gè)三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)元素；② 旋轉(zhuǎn)法：三角形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度能與另一三角形重合，從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)元素；③ 平移法：沿某一方向平移使兩三角形重合來(lái)找對(duì)應(yīng)元素．

點(diǎn)撥：因?yàn)椤鰽OC △BOD，所以，將△AOC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后，能與△BOD完全重合，不難找到其對(duì)應(yīng)元素.

解：∠C和∠D、∠COA和∠DOB是對(duì)應(yīng)角.AC和BD、CO和DO是對(duì)應(yīng)邊.

此題同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為∠C與∠B是對(duì)應(yīng)角，∠A與∠D是對(duì)應(yīng)角.

例2 如圖 6，△ADE△CBF，AD =CB.求證：AE∥CF.

點(diǎn)撥：欲證明AE∥CF，只需證明∠AED = ∠CFB，∠AED = ∠CFB可由△ADE△CBF推出.根據(jù)已知條件，只需將△ADE向右平移BD長(zhǎng)，便可使△ADE與△CBF完全重合.

證明：△ADE△CBF → ∠AED = ∠CFB → AE∥CF.

有的同學(xué)通過(guò)∠A = ∠C，證得AE∥CF，你認(rèn)為對(duì)嗎？事實(shí)上，雖然能證出∠A = ∠C，但∠A與∠C既不是同位角，也不是內(nèi)錯(cuò)角，因而得不到AE∥CF.

例3 如圖 7，已知△ABC△BAD，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)B、D.如果AB ＝ 7 cm，BC ＝ 5 cm，AC ＝ 10 cm，那么BD等于（）.

A. 10 cmB. 7 cmC. 5 cmD. 無(wú)法確定

點(diǎn)撥：本題的解答關(guān)鍵是正確找出BD的對(duì)應(yīng)邊.可將△BAD向右翻折，與△ABC重合，便可得到BD的對(duì)應(yīng)邊是AC.

解：選 A.

本題的已知條件AB ＝7 cm、BC ＝ 5 cm看似多余，其實(shí)旨在考查同學(xué)們能否正確找出BD的對(duì)應(yīng)邊，具有一定的迷惑性.

例4 如圖 8，已知△ABC△CDA，AB與CD平行嗎？

點(diǎn)撥：本題結(jié)論未定，屬于探索性命題，需要進(jìn)行探究.只需將△ABC繞AC的中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，便可得到∠BAC與∠ACD重合.

解：AB與CD平行.△ABC△CDA → ∠BAC = ∠ACD → AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

解答探索性命題時(shí)，不要先猜出一個(gè)結(jié)論，再去推理論證，應(yīng)從已知條件入手進(jìn)行推理論證，得到結(jié)論.

[即學(xué)即練]

1. 如圖 9，△ABD△CDB，且AB、CD是對(duì)應(yīng)邊，下面4個(gè)結(jié)論中不正確的是（）.

A. △ABD和△CDB的面積相等

B. △ABD和△CDB的周長(zhǎng)相等

C. ∠A + ∠ABD = ∠C + ∠CBD

D. AD∥BC且AD = BC

2. 如圖10，矩形ABCD沿AM折疊,使D點(diǎn)落在BC上的N點(diǎn)處,如果AD = 7 cm，DM = 5 cm，∠DAM = 39°,則AN = cm，NM = cm，∠NAB = .

3. 如圖11，△ABC△DEF，∠A = 50°，∠B = 35°，ED = 8，則∠F = ，AB =.

4. 如圖12，已知△ABC△EFC，且CF = 5 cm，∠EFC = 65°，則∠B = ，BC = ．

5. 如圖13，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1 + ∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，你發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律是（）．

A. ∠A = ∠1+∠2

B. 2∠A = ∠1 + ∠2

C. 3∠A = 2∠1+∠2

D. 3∠A = 2（∠1+∠2）

6． 如圖 14，將一張長(zhǎng)方形紙片按圖示的方式折疊，BC、BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為（）．

A． 60° B． 75° C． 90° D．95°

7． 如圖15，△ABC△A1B1C，且∠A∶∠ABC∶∠ACB = 1∶3∶5，則∠A1CB1與∠ABC的比等于（）．

A．3∶1 B．5∶1 C．5∶3 D．5∶2

8. 如圖 16，把△ABP 繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACE．問(wèn)：△ABP與△ACE是什么關(guān)系？若∠BAP ＝ 40°，∠B ＝ 30°，求∠CAE、∠E和∠BAE的度數(shù).

9. 已知：如圖17，△ABC△ADE，BC的延長(zhǎng)線交DA于F，交DE于G，∠ACB = 105°，∠CAD ＝ 10°，∠D = 25°．求∠EAC、∠DFB、∠DGB的度數(shù)．

[中考風(fēng)向標(biāo)]

1. （2006年·廣東）如圖 18，若△OAD△OBC，且∠O = 65°，∠C = 20°，則∠OAD = ．

解析：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)該性質(zhì)可得∠OAD = ∠OBC.借助三角形的內(nèi)角和可求得∠OBC的度數(shù).因?yàn)椤鱋AD△OBC，所以∠OAD = ∠OBC.由∠O = 65°，∠C = 20°，可得∠OBC = 180° - 65° - 20° = 95°. 所以∠OAD = 95°.

2. （2006年·濟(jì)南市）如圖 19，一張長(zhǎng)方形紙片沿AB對(duì)折，以AB的中點(diǎn)O為頂點(diǎn)，將平角五等分，并沿五等分線折疊，再?gòu)狞c(diǎn)C處剪開，使展形后的圖形為正五邊形，則剪開線與OC的夾角∠OCD為（）.

A. 126°B. 108°C. 90°D.72°

解析：此題初看很難，俗話說(shuō)，實(shí)踐出真知，我們不妨動(dòng)手試一試，把正五邊形按折痕折疊后進(jìn)行對(duì)比即可找出展開圖中是那個(gè)位置的角.選 C.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”