不以規(guī)矩　不成方圓

張文韜

你知道“不以規(guī)矩，不成方圓”嗎？

規(guī)，指的是圓規(guī)；矩，指的是直尺．有了它們，就能作出許多美麗的圖形，比如圖1中的五角星和太極圖．

尺規(guī)作圖時(shí)，用直尺和圓規(guī)的次數(shù)有限制，甚至直尺連刻度都不要．

[問(wèn)題與情境]

尺規(guī)作圖起源于古希臘．為什么只準(zhǔn)用圓規(guī)和沒(méi)有刻度的直尺作圖，并且只準(zhǔn)用有限次呢？

原來(lái)，古希臘數(shù)學(xué)倡導(dǎo)條件包括作圖工具盡量少，而推出的結(jié)論則盡量多．希臘是奧林匹克的發(fā)源地，奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目都有種種規(guī)則及器械的限制，以求“更快、更高、更強(qiáng)”，這與數(shù)學(xué)中約束作圖工具意義相同．

如何約束？畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，直線和圓是最基本的幾何圖形，有了尺規(guī)，思維、操作就能比試．于是，幾何學(xué)上用公設(shè)的形式規(guī)定尺規(guī)作圖，沿用至今．

作圖的每一步都得循規(guī)蹈矩（又提到規(guī)、矩），確保所求作圖形的正確性．下面以“作一條線段等于已知線段”為例來(lái)看看尺規(guī)作圖的過(guò)程和方法．

已知：線段AB（圖2）．

求作：線段A′B′，使A′B′＝AB．

作法（不要求寫出）：

（1）如圖3，作射線A′C′；

（2）以點(diǎn)A′為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線A′C′于點(diǎn)B′（如圖4）． A′B′就是所求作的線段．

證明略（證明所求作圖形的正確性，一般不必寫出來(lái)）．

作圖務(wù)必保留作圖痕跡，因?yàn)樗确从匙鞣ㄒ脖阌谟^察過(guò)程．痕跡建議畫輕一點(diǎn)、淡一點(diǎn)．

[開(kāi)眼界]

用尺規(guī)可以四等分圓，這時(shí)候，四等分圓與作正方形是一回事．如果只用圓規(guī)，又怎么四等分已知圓心的圓呢？

這個(gè)問(wèn)題出自大名鼎鼎的軍事家拿破侖．馳騁疆場(chǎng)的間隙，他對(duì)尺規(guī)作圖如癡如醉．

拿破侖是這樣來(lái)作的：既然知道圓心（記作O），那么以圓上任意一點(diǎn)A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫弧，得到點(diǎn)B；又以點(diǎn)B為圓心、以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫弧，得到點(diǎn)C；再以點(diǎn)C為圓心、以O(shè)A長(zhǎng)為半徑畫弧，得到點(diǎn)D．接著，分別以點(diǎn)A、D為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P．然后以圓上任意一點(diǎn)為圓心，以O(shè)P長(zhǎng)為半徑，照前面一樣畫弧，就能把圓四等分．連直尺都不要，是不是很奇妙？

正方形作出來(lái)了，正五邊形、正六邊形也作出來(lái)了，沒(méi)想到作正七邊形卻讓數(shù)學(xué)家束手無(wú)策，成為幾何四大名題之一．后來(lái)阿基米德證明了正七邊形根本不可能用尺規(guī)作出．是不是只要邊數(shù)為大于5的質(zhì)數(shù)的正多邊形就作不出呢？1796年，年僅19歲的高斯卻作出了正十七邊形，進(jìn)而攻克了“哪種正多邊形能用尺規(guī)作出”這個(gè)2 000年里一直懸而未決的難題，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界．

[經(jīng)典例析]

例1 已知：線段a、b（a ＞ b）（如圖5）．

求作：線段AB，使AB ＝ a － b．

一般的刻度尺、三角板，只要不用來(lái)度量長(zhǎng)度，都可以視為直尺．

作法：①作射線AD；

②在射線AD上截取AC ＝ a；

③在線段CA上截取CB ＝ b．

線段AB就是所求作的線段（如圖6）．

作圖過(guò)程未必都簡(jiǎn)單，因而作法的重要性并不亞于所求作的圖形（盡管不要求寫出，但會(huì)口述還是有必要的，這也有助于形成思維的條理性和全面性）．

例2已知：∠AOB（如圖7）．

求作：∠A′O′B′，使A′O′B′＝2∠AOB．

關(guān)鍵在于確定所求作的角的終邊位置．

作法（1）：①作射線O′A′；

②以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；

③以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；

④以點(diǎn)C′為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交第③步中所畫弧于D′；

⑤以點(diǎn)D′為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交第③步中所畫弧于E′；

⑥過(guò)點(diǎn)E′作射線O′B′．

∠A′O′B′就是所求作的角．（如圖8）

作法（2）：①以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)A′，交OB于點(diǎn)C；

②以點(diǎn)C為圓心，以A′C長(zhǎng)為半徑畫弧，交前弧于點(diǎn)B′；

③過(guò)點(diǎn)B′作射線OB′．

∠A′OB′就是所求作的角．（如圖9）

試著找出兩種作法的內(nèi)在聯(lián)系，使作圖簡(jiǎn)單明了．

例3已知：線段a、b和∠α（如圖10）．

求作：△ABC，使AB ＝ a，AC ＝ b，∠A＝∠α．

打開(kāi)思路的同時(shí)，也要注意作圖的合理性和可能性．

作法：①作∠DAE＝∠α；

②在射線AD、AE上截取AB ＝ a、AC ＝ b；

③連接BC．

△ABC就是所求作的三角形．（如圖11）

對(duì)于較復(fù)雜的作圖，不必寫出其中作線段和角等基本作圖的細(xì)節(jié)，簡(jiǎn)單概括即可．

例4已知：∠1、∠2（如圖12）．求作：

（1）∠AOB，使∠AOB ＝ ∠1 ＋ ∠2；

（2）∠COD ＝ 2∠1 － ∠2．

涉及復(fù)雜作圖時(shí)可考慮先畫一個(gè)草圖，以免出錯(cuò)．

作法：（1）①作∠AOC ＝ ∠1；

②以O(shè)C為一邊，在∠AOC的外部作∠BOC ＝ ∠2．

∠AOB就是所求作的角．（如圖13）

（2）①作∠COE ＝ 2∠1；

②以O(shè)E為一邊，在∠COE的內(nèi)部作∠DOE ＝ ∠2．

∠COD就是所求作的角．（如圖14）

弄清所求作的角應(yīng)在先作的角的內(nèi)部還是外部．兩個(gè)角相加，后作的角要作在先作的角的外部；兩個(gè)角相減，后作的角要作在先作的角的內(nèi)部，并要指明以哪條邊為一邊．

[即學(xué)即練]

1． 已知：線段a、b，如圖15．求作：

（1）線段AB，使AB ＝ a ＋ 2b；

（2）線段CD，使CD ＝ 2a － b．

2． 利用尺規(guī)，按下列步驟作圖：

①作線段AB；

②以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫?。?/p>

③以點(diǎn)B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，與前弧在AB上方交于點(diǎn)C；

④連接AC、BC．

作出的是什么圖形？

3． 已知：線段AB、∠α和∠β，如圖16．

求作：∠CAB ＝ ∠α，∠CBA ＝ ∠β．

4． 已知：∠1、∠2（∠1＜∠2），如圖17．求作：

（1）∠AOB，使∠AOB ＝ ∠2 － ∠1；

（2）∠AOB，使∠AOB ＝ 180° － （∠1 ＋ ∠2）．

[中考風(fēng)向標(biāo)]

1．（2002年·南寧市）如圖18，打臺(tái)球時(shí)，用白球沿著虛線方向擊打黑球，已知反射角等于入射角，請(qǐng)問(wèn)黑球經(jīng)過(guò)一次反彈后是否會(huì)進(jìn)入F號(hào)洞？請(qǐng)你利用尺規(guī)作圖來(lái)判斷．（保留作圖痕跡，不必證明）

本題在考查作角上別有一番新意，關(guān)鍵是理解“反射角等于入射角”．

解：將白球與黑球看做兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)作直線交臺(tái)球桌邊緣BC于點(diǎn)M，過(guò)M作直線MN⊥AC，在MN右側(cè)作∠F′MN＝∠PMN．因?yàn)樯渚€MF′過(guò)F號(hào)洞，所以黑球經(jīng)過(guò)一次反彈后會(huì)進(jìn)入F號(hào)洞．

擊球入洞需要對(duì)桿的角度進(jìn)行恰到好處的估算，其實(shí)質(zhì)是對(duì)幾何角度的估算．

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”