一類含變時滯的退化中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性

杜　珺　蔣　威

（1. 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230039；2. 淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系， 安徽淮南232001）

摘要： 討論了一類含變時滯和非線性不確定項(xiàng)的退化中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，借助于新 算子的穩(wěn)定性，將含變時滯和非線性不確定項(xiàng)的一般中立型系統(tǒng)推廣到退化系統(tǒng)中，利用李 亞 普諾夫方法和線性矩陣不等式給出了一個新的依賴時滯的穩(wěn)定性判據(jù)，相比已有文獻(xiàn)具有較 低的保守性，最后通過Matlab實(shí)現(xiàn)可以驗(yàn)證該判據(jù)的有效性和先進(jìn)性。

關(guān)鍵詞：退化中立型時滯系統(tǒng)；線性矩陣不等式；魯棒穩(wěn)定性

中圖分類號： O175.13文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A[WT]文章編號：16721098(2008)02008405

Robust Stability of Degenerate Neutral Systems with

Timevarying Delay and Nonlinear Uncertainties

DU Jun1，2,JIANG Wei1

(1. School of Mathematics, Anhui University, Hefei Anhui 230039, China; 2. Depar tment of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University, Huain an Anhui 232001, China) Abstract: In the paper Robust stability of degenerate neutral systems with time varying delay and nonlinear uncertainties was discussed. The neutral system withtimevarying delay and nonlinear uncertainties was generalized to the degenera t e system in terms of the stability of a new operator . A new delaydependent st a bility criterion is presented by Lyapunov method and linear matrix inequalities.It is less conservative than previous methods. Its validity and advancement canbe proved by LMI Toolbox in Matlab.

Key words:degenerate neutral system;LMI;Robust stability

眾所周知，時滯是造成動力系統(tǒng)不穩(wěn)定的根源之一，而且時滯廣泛存在于許 多工業(yè)和工程系統(tǒng)中，如通訊網(wǎng)絡(luò)、工業(yè)生產(chǎn)和生物研究等等。但在許多實(shí)踐過程中，系統(tǒng) 的穩(wěn)定性是一個非常必要的條件，因而近年來，人們對各種各樣的時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析做 了大量的工作［12］。而作為一類特殊類型的中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更得到了許 多學(xué)者的廣泛關(guān)注［34］。但這些文獻(xiàn)大多關(guān)于一般中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，而 相應(yīng)的退化中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析所見文獻(xiàn)較少。

本文主要研究具有參數(shù)不確定性的非線性退化中立型時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，旨在通過一個 新算子獶的穩(wěn)定性，并利用一個新的Lyapunov能量函數(shù)得到具有較低保守性的時滯依賴 型穩(wěn)定性的充分性判據(jù)。通過和現(xiàn)有的結(jié)論相比較，本文不僅將一般系統(tǒng)推廣到退化系統(tǒng)中 ［5］，而且大大降低了保守性。

1問題描述

考慮如下含變時滯和非線性不確定項(xiàng)的退化中立型系統(tǒng)

是連續(xù)初始向量值函數(shù)，n維向量f(x(t),t)和g(x(t-τ(t)),t)分 別是關(guān)于當(dāng)前狀態(tài)x(t)和滯后狀態(tài)x(t-τ(t))У姆竅咝圓蝗范ㄏ睿滿足И衪＞0

‖f(x(t),t)‖≤α‖x(t)‖

‖g(x(t-τ(t)),t)‖≤β‖x(t-τ(t))‖(3)

其中α，β為已知常數(shù)。E，C，A，B，F(xiàn)，G是已知的n維常數(shù)矩陣且E滿足秩(E)=r＜n進(jìn)一步考慮系統(tǒng)中含有不確定性，用以下形式給出

其中獳，B，F(xiàn)，G是已知的n維常數(shù)矩陣， Δ獳(t) , Δ獴(t), Δ獸(t), Δ獹(t)是隨時間t變化的n維矩陣，滿足

包含不確定性的實(shí)矩陣，滿足

∑i(t)∑琓i(t)≤I(i=1,2,3,4)(5)

本文將給出一個判定條件來判斷上述系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先引入一個新的玭維向量y(t)， 給出式（1）的等價(jià)形式，即

引理1令f(x),y1(t),y2(t),…，yk(t)是某些非 負(fù)泛函或非負(fù)函數(shù)，且定義以下兩個條件［6］ (2) 存在標(biāo)量ε1≥0,ε2≥0,…，εk≥0,使得

S(ε，x)=f(x)-∑[DD(]k[]j=1[DD)]εjyj(x)≥0,則由條件（2）可推出條件（1）。 в捎謚泉(E)=r＜n，故存在非奇異矩陣P1,Q 1使得

P1EQ1=[JB(［]E1000P1CQ1=[JB(［]C11C12 C21C2（8）若В麮2｜≠0時，則存在適當(dāng)維數(shù)的非奇異常數(shù)矩陣P2,Q2使得

P2EQ2=[JB(［]E1000P2CQ2=[JB(［]C100C2

其中C1=C11-C12C-12C21А

為方便起見，定義算子獶∶C(［-h,0］,R琻)→R琻為D(xt)=Ex( t)-Cx(t-h)，算子D的穩(wěn)定性定義為若齊次差分方程［7］А

D(xt)=0,t≥0,x0=φ∈｛Ψ∈C(［-h,0］,R琻)∶DΨ=0｝У牧憬庖恢陸ソ穩(wěn)定，則稱算子D∶C(［-h,0］,R琻)→R琻是穩(wěn)定的。

引理2定義算子D～(xt)∶C(［-h,0 ］,R琻)→R琻為［8］

D～(xt)=x(t)-Cx(t-h)

若А珻‖＜1，則算子D～(xt)是穩(wěn)定的，其中‖? ‖是任意矩陣范數(shù)。

引理3若式（8）中E1，C1，C2滿足‖E -11C1‖＜1且｜C2｜≠0，則 算子D是穩(wěn)定的［9］。

2主要結(jié)果

首先考慮式（1）。由于式（1）和式（6）的等價(jià)性，故對式（1）的穩(wěn)定性分析可以轉(zhuǎn)化為 對式（6）的穩(wěn)定性分析。對式（6）有以下定理。

定理1若算子D穩(wěn)定且存在實(shí)數(shù)矩陣P 2, P3, X12, X13,X23和對稱正定矩陣P1, X11, X22, X33,Q, R和標(biāo)量ε1≥0，ε2≥0使得下列線性矩陣不等式[JB(［][HL(6]∑11[]∑12[]∑13[]P琓2C[]P琓2F[]P琓 2G

*[]-P3-P琓3+τ[TX-]X33+R[]P琓3B[]P琓3C[]P琓3F[]P T3G

則式（6）是漸近穩(wěn)定的。

證明構(gòu)造以下Lyapunov泛函

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)+V5(t)

其中

現(xiàn)在考慮玍對時間t的導(dǎo)數(shù)，有

V[DD(-*2]?1(t)=2［x琓(t)y琓(t)］[JB(［][HL (2]P1[]P琓20[]P琓3[HL)][JB)］][JB(［]x[DD(-1*9]?(t)0[JB)］]=

2［x琓(t)y琓(t)］[HL(2]P1[]P琓20[]P琓3[HL)][ZK)]

y(t)

-Ey(t)+Cy(t-h)+Ax(t)+Bx(t-τ(t))+

由引理1得И笑恰0都有V[DD(-*2]?(t)≤η琓∑0η＜0，再由式(9)得：存在標(biāo)量γ＞0，使得V [DD(-*2]?(t)≤-γ‖x(t)‖ 而由引理3保證了D(xt)=Ex(t)-Cx(t-h)У奈榷ㄐ裕因此式（6）是漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)定理1，給出含不確定項(xiàng)的退化中立型系統(tǒng)式（1）和式（2）的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。

定理2若算子D穩(wěn)定且存在實(shí)數(shù)矩陣P 2,P3,X12 ,X13,X23、對稱正定矩陣P1,X11 ,X22,X33,Q,R和標(biāo)量ε i≥0(i=1,2,3,4,5,6)В使得式(10)和下列線性矩陣不等注1利用Matlab線性矩陣不等式工具箱［9］，在不 需要任何參數(shù)的條件下能直接驗(yàn)證線性矩陣不等式（9）和式（11）的可行性［10］ 。

注2如果將定理1和定理2中的條件Е覽DD(-*2] ?(t)≤τ[DD(-1*9]＾＜1改為τ[DD(-*2]?(t)≤τ[DD(-1*9]＾В則定理1和定理2的結(jié) 果仍然成立。

3結(jié)論

本文主要利用線性矩陣不等式和Lyapunov方法獲得了一類含變時滯和非線性不確定項(xiàng)的退化 中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性的新判據(jù)。借助新的算子獶的穩(wěn)定性，將含變時滯和非線性不 確定項(xiàng)的一般中立型系統(tǒng)推廣到相應(yīng)的退化系統(tǒng)中，相比于已有文獻(xiàn)具有較低的保守性，最 后通過Matlab實(shí)現(xiàn)可以驗(yàn)證該判據(jù)的有效性和先進(jìn)性。

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(責(zé)任編輯：何學(xué)華)