基于ＭＡＴＬＡＢ的無嚙合力齒輪泵結構優(yōu)化設計

周毅鈞　欒振輝　唐　瓊

（安徽理工大學機械工程學院，安徽淮南232001）

摘要： 針對普通齒輪泵存在較大的不平衡徑向力等問題，介紹了無嚙合力齒輪泵的設計思想 、結構原理和特點,以無嚙合力齒輪泵體積最小為目標建立無嚙合力齒輪泵的優(yōu)化數(shù)學模型,應用MATLAB優(yōu)化工具箱進行無嚙合力齒輪泵的結構參數(shù)優(yōu)化設計，在滿足約束條件下對其 主要參數(shù)進行運算，得出了優(yōu)化結果，提高了設計精度和設計效率。

關鍵詞：無嚙合力齒輪泵；MATLAB；優(yōu)化設計

中圖分類號：TH325文獻標識碼：A[WT]文章編號：16721098(2008)02005104

Optimized Design of A Gear Pump without Meshforce

Based on MATLAB

ZHOU Yijun,LUAN Zhenhui,TANG Qiong

(School of Mechanical Engineering , Anhui University of Science and Technology ,Huainan Anhui 232001, China) Abstract: High unbalanced radial force and other problems occur in traditional g ear pumps.In the paper a gear pump without meshforce design idea,structure pr inciple and characteristics were presented. A optimized design mathematic algori thm aiming at minimum cubage of the gear pump was established.Its contracture p arameters were optimized with optimization toolbox in MATLAB.The primary parame ters were optimized by calculation on the condition of constraints satisfied. Th e design precision and efficiency were improved.

Key words:gear pump without meshforce; MATLAB; optimizeddesign

1結構原理

無嚙合力齒輪泵是在齒輪傳動與齒輪泵工作原理相結合的基礎上提出的一種新型液壓動力元 件， 其設計思想是將動力傳遞與吸排液分開設計， 使傳遞動力的嚙合力由同步齒輪承擔，而吸排液齒輪只承受液壓力。 其結構原理如圖1所示, 主要由傳動軸1、 同步齒輪3、隔板 4、 吸排液齒輪(7)、 軸承5、 泵體6及前后泵蓋等組成。 原動機動力由傳動軸輸入， 經(jīng) 同 步齒輪傳遞給吸排液齒輪， 吸排液齒輪通過花鍵套裝在傳動軸上。 按照齒輪泵工作原理，一對吸排液齒輪可實現(xiàn)液體的吸入與排出。 因此， 吸排液齒輪只承受因吸排液而產(chǎn)生的 液壓力［1］。[LL]1. 傳動軸；2. 前蓋；3. 同步齒輪；4. 隔板；5. 軸承

6. 泵體；(7). 吸排液齒輪；8. 后蓋；9. 從動軸

圖1無嚙合力齒輪泵的結構原理對于普通齒輪泵，由于動力傳遞和吸排液共用同一對齒輪，使得齒輪（軸）上同時作用嚙合 力和液壓力，尤其是從動齒輪（軸），在嚙合力與液壓力的共同作用下，承受著很大的徑向 載荷，致使支撐從動齒輪（軸）的軸承過早失效，并且隨著齒輪泵工作壓力的提高，從動齒 輪（軸）上的徑向載荷也越大。提高齒輪泵的工作壓力是齒輪泵的一個發(fā)展方向，而提高工 作壓力所帶來的問題是：① 軸承壽命大大縮短；② 泵泄漏加劇，容積效率下降。產(chǎn)生 這兩個問題的根本原因在于齒輪上作用了不平衡的徑向力，并且工作壓力越高，徑向力越大 。

國內外學者針對以上兩個問題所進行的研究是：① 對齒輪泵的徑向間隙進行補償；②減小齒輪泵的徑向液壓力，如優(yōu)化齒輪參數(shù)、縮小排液口尺寸等；③ 提高軸承承載能力 ，如采用復合材料滑動軸承代替滾針軸承等。但這些措施都沒有從根本上解決問題。

對于無嚙合力齒輪泵，采用將動力傳遞與吸排液分離的設計思想。傳遞動力的嚙合力由同步 齒輪承擔，其設計方法與一般的傳動齒輪的設計方法相同，主要考慮輪齒的強度及齒面硬度 。液壓力由吸排液齒輪承擔，其設計方法以考慮齒輪精度、輪齒表面粗糙度及耐磨性為主， 其材料除了采用普通齒輪泵所選用的高性能合金鋼以外，還可以采用普通鋼材（經(jīng)表面處理 ）、耐磨鑄鐵、陶瓷及高分子材料等。由于吸排液齒輪所受徑向載荷降低，減小了齒頂圓與 泵體之間的間隙，提高了泵的容積效率，為齒輪泵的高壓化創(chuàng)造了有利的條件。

無嚙合力齒輪泵是作者在齒輪傳動與齒輪泵工作原理相結合的基礎上提出的一種新型液壓動 力元件，目前，國內外尚無關于無嚙合力齒輪泵的研究報告。

2結構優(yōu)化設計

齒輪泵工作性能好壞直接影響到整個機械設備的工作效率，其結構設計顯得非常重要，對于 無嚙合力齒輪泵同樣如此。為了提高無嚙合力齒輪泵的性能，有必要對其進行結構的優(yōu)化設 計。無嚙合力齒輪泵中的一對吸排液齒輪是其關鍵零件,其基本參數(shù)是齒輪泵設計的開始， 也是其它零件設計的依據(jù)。設計齒輪泵時，按常規(guī)算法，經(jīng)常要計算很多參數(shù)，尤其是齒輪 參數(shù)，工作量大且易出差錯。運用Matlab優(yōu)化工具箱對無嚙合力齒輪泵的吸排液齒輪參數(shù)進 行優(yōu)化，建立數(shù)學模型，在約束條件下，求解最優(yōu)值。可以方便地對無嚙合力齒輪泵進行優(yōu) 化設計。

2.1目標函數(shù)

無嚙合力齒輪泵的初始參數(shù)為理論排量玵=50 mL/r、壓力16 MPa、轉速1 500 r/min，以無嚙合力齒輪泵體積最小為目標。為了計算的 方便，以圖2所示的截面積近似計算無嚙合力齒輪泵的體積，則無嚙合力齒輪泵的體積表達 式為

V=H(π玆2+2Rmz)

式中：玍為無嚙合力齒輪泵的體積；H為泵體的軸向尺寸（僅考慮吸排液齒輪）；m為齒輪 模數(shù)；R為無嚙合力齒輪泵齒輪齒頂圓半徑；z為齒輪齒數(shù)。

圖2無嚙合力齒輪泵截面圖

考慮齒輪根切涉及到齒輪變位，在這里采用“增一齒修正法”，即珃用(z+1)代入計算， 則

V=H［π玆2+2Rm(z+1)］

齒輪的寬度為獴，無嚙合力齒輪泵是采用浮動軸套進行軸向間隙補償?shù)模瑸橛嬎愫啽?，設 軸套的寬度近似等于B，故H=3B。

因此，選取玬、z、B為設計變量，x=［x1,x2,x3］琓=［m,z,B］琓為設計 變量，故無嚙合力齒輪泵優(yōu)化設計的目標函數(shù)為

f(x)=V=[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x2+2)

2.2函數(shù)的約束條件

(1) 齒數(shù)、模數(shù)的約束條件由普通齒輪泵排量的近似公式玵=2π珃m2B可知，排量q與模數(shù)m的平方成正比，與 齒數(shù)z的一次方成正比。而反映齒輪泵結構大小的尺寸——齒輪分度圓直徑（Df=mz）與m 、z的一次方成正比。所以在設計齒輪泵時，若要增大排量，采用增大模數(shù)的辦法比增加 齒數(shù)更為有利。若要保持排量不變，要使泵的體積很小，則應增大模數(shù)并減小齒數(shù)。

減少齒數(shù)可減小泵的外形尺寸，但齒數(shù)也不能太少，否則不僅會使流量脈動嚴重，甚至會使 齒輪嚙合的重疊系數(shù)ε＜1。用于工程機械及礦山機械的中高壓和高壓齒輪泵，對流量 的均勻性要求不是太高，但要求結構尺寸小、作用在齒輪上的徑向力小，從而延長軸承的壽 命，就采用較少的齒數(shù)（珃=9～15）［2］。齒輪最小齒數(shù)珃﹎in應避免 產(chǎn)生嚴重根切。所以取

z≥8（1）

考慮到增大模數(shù)比減少齒數(shù)更有利，所以取

m≥2（2）

將式（1）、式（2）寫成不等式的約束形式為

g1(x)=8-x2≤0（3）

g2(x)=2-x1≤0（4）

(2) 排量及其誤差條件根據(jù)理論推導，無嚙合力齒輪泵的理論排量為

qB=2π玬2Bz（5）

用設計變量表示即為

qB=2π玿21x2x3（6）

所以有

g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2π玿21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （7）

(3) 輪齒強度約束由齒輪的接觸應力和彎曲應力應不大于許用值得

g4(x)=σH-［σH］≤0(8)

g5(x)=σF-［σF］≤0(9)

接觸應力σH和σF彎曲應力的計算公式分別為

σH=2.5ZuZE[KF(][SX(]2KT[]φdd琜SX)][KF)](10)

σF=[SX(]2KTYFYS[]φdm瑉2[SX)](11)

式(10)～式(11)中： ［σH］為σH的許用值，?。郐襀 ］=1 282.5 MPa；［σF］為σF的許用值，?。郐襀］=385.7 MPa；獽 為載荷系數(shù)，取獽=2.225；玓u為齒數(shù)比系數(shù)，玓u=[KF(][SX(]u+1[]u[SX)][KF )]=1.414；ZE為材料系數(shù)，取ZE=189.8；φd為齒寬系數(shù)，取φd=1；YF為齒形 系數(shù)，取YF=3；YS為齒根應力集中系數(shù)，取YS=1.5；T為傳動扭矩，計算得T=137N?m。

將上述數(shù)值代入式(8)～式(9)中并化簡可得

g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(12)

g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(13)

(4) 齒寬約束齒寬過大會增大軸承負荷和增高齒面軸向接觸精度，所以一般限制齒寬獴＜9m

g6(x)=x3-9x1≤0(14)

(5) 齒頂圓齒厚約束齒輪泵采用正變位齒輪，齒頂趨于變尖，一般要求齒頂圓齒厚玸滿足：s≥0.15 m，即

g7(x)=0.15x1-s≤0(15)

由機械原理知玸=π玬/2，代入式(15)并化簡可得

g7(x)=x1-4.71≤0(16)

無嚙合力齒輪泵優(yōu)化設計的數(shù)學模型寫為如下優(yōu)化函數(shù)形式

玬in玣(x)=玬in｛[SX(]3[]4[SX)]x21x3［(π+4)x2+(2π+4)］(x 2+2)｝(17)

g1(x)=8-x2≤0（18）

g2(x)=2-x1≤0（19）

g3(x)=[JB(｜][SX(]50000-2π玿21x2x3[]50000[SX)][JB)｜]-0.05≤0 （20）

g4(x)=[SX(]1[]x1x2[SX)]-5.99≤0(21)

g5(x)=[SX(]6.71[]x22x1[SX)]-1≤0(22)

g6(x)=x3-9x1≤0(23)

g7(x)=x1-4.71≤0(24)

3用MATLAB優(yōu)化求最優(yōu)值

MATLAB優(yōu)化工具箱提供了對各種優(yōu)化問題的一個完整的解決方案。其內容涵蓋線性規(guī) 劃、二 次規(guī)劃、最小二乘問題，非線性方程求解、多目標決策、最小最大問題，以及半無界問題等 的優(yōu)化問題。其簡潔的函數(shù)表達式、多種優(yōu)化算法的任意選擇、對算法參數(shù)的自由設置，可 使用戶方便靈活地使用優(yōu)化函數(shù)。本例中有3個設計變量，在設計中利用優(yōu)化工具箱中的fim incon()函數(shù)求解多維約束的最小值問題。通過調用MATLAB最優(yōu)化工具箱中的fmincon()函數(shù) ，可用來解決同時存在等式約束及不等式約束時的最優(yōu)化問題，即使實際優(yōu)化問題無可行解 ，也會給出一個對約束的破壞影響最小的解［3］。

將不同的設計初始點代入優(yōu)化設計程序，可得到優(yōu)化設計結果如表1所示。

表1無嚙合力齒輪泵優(yōu)化結果

設計變量玿1[]x2[]x3代表參數(shù)玬珃玔]獴玔BHDWG2]最佳參數(shù)值[]5[]11[]29[BG)F]

目前，國內外尚無關于無嚙合力齒輪泵的相關研究，因此表1的優(yōu)化結果亦不具有可比性 。按“無嚙合力泵的體積最小”作為優(yōu)化目標來進行優(yōu)化,可以達到使無嚙合力齒輪泵的結 構緊湊、性價比高等目的。

4結論

本文應用MATLAB優(yōu)化工具箱進行無嚙合力齒輪泵結構參數(shù)優(yōu)化設計，減小齒輪及齒輪 泵尺寸 、提高齒輪傳動質量，編程工作量小，求解優(yōu)化問題簡單方便，提高了設計效率。同時，與 傳統(tǒng)的求解結果相比，也提高了設計精度和可靠性。

參考文獻：

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(責任編輯：李麗)