構(gòu)造平行四邊形解題

王競進

平行四邊形是基本的幾何圖形之一，它的應(yīng)用十分廣泛.在解題時，如能根據(jù)圖形特征，添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形，?？苫y為易，使問題快速獲解.

例1如圖1，?ABCD中，E、F為對角線AC上的兩點，且AE=CF.M、N分別為邊AD、BC上的點，且MD=NB.MN與EF相交于O.求證：EF和MN互相平分.

分析1：據(jù)圖形特征，要證明EF和MN互相平分，易于聯(lián)想到平行四邊形對角線的性質(zhì)，于是可連接EM、MF、FN、NE，證明四邊形MENF為平行四邊形即可.

證明1：如圖2，連接EM、MF、FN、NE.因四邊形ABCD為平行四邊形，由∠MAE=∠NCF，AM=CN，AE=CF，可得△AEM≌△CFN.

∴EM=NF，∠MEA=∠NFC.所以∠MEF=∠NFE.

∴EM∥NF，四邊形MENF是平行四邊形.

∴EF和MN互相平分.

分析2：結(jié)合已知條件，若連接AN、CM，易證四邊形ANCM亦為平行四邊形（一組對邊平行且相等），從而可得AC、MN互相平分.再由AE=CF可知OE=OF，進而結(jié)論獲證.

證明2：如圖3，略.

例2如圖4，已知AC= AB=BD，AE=BE，求證：CD=2CE．

分析：由結(jié)論，可延長中線CE至點F，使EF=CE，連接AF、BF，則構(gòu)造了?AFBC（因?qū)蔷€互相平分），再證明△DBC≌△FBC，進而推得結(jié)論．

證明：如圖5，延長CE到F，使EF=CE，連接AF、BF.又因AE=BE，

∴四邊形AFBC是平行四邊形.

∴AC∥BF，AC=BF．

∵AC=BD，∴BD=BF．

∵AC= AB，∴∠ACB =∠ABC．

又∠DBC=∠ACB+∠BAC=∠ABC+∠ABF=∠FBC，BC= BC，

∴△DBC≌△FBC．故CD=CF=2CE．

點評：本題也可證CD的一半等于CE.設(shè)CD中點為F，連接BF.易知BF=AC=BE.因BF∥AC，故∠FBC=∠ACB=∠ABC.故△CBE≌△CBF.

例3如圖6，李家莊有一個四邊形的池塘ABCD，在它的四個角A、B、C、D處均種有一棵樹.李家莊準備開挖池塘養(yǎng)魚，想使池塘面積擴大一倍，又想保持四棵樹不動，并且擴建后仍為四邊形.請問：能否實現(xiàn)這一想法？試說明理由.

分析：先把這個不規(guī)則的四邊形通過連對角線，分割成四個三角形，然后再分別構(gòu)造平行四邊形把其面積擴大一倍，使問題得以解決.

解：如圖7所示，連接AC、BD，分別過點A、C作BD的平行線，分別過點B、D作AC的平行線，得?EFGH，即為擴建后符合要求的池塘.

點評：利用平行四邊形面積是一條對角線所分割出的三角形的面積的2倍，可幫助解決這類構(gòu)造性問題，如前文中的例4.

不能看書

一群年輕人在一家旅館的客房內(nèi)豪飲狂歡.旅館的招待員走過來對他們說道：“你們不要這樣大喊大叫了！隔壁那位先生說他不能看書了.”“你去告訴他，”一個毛頭小伙子說，“他應(yīng)該感到慚愧，我五歲就能看書了.”