用遞推數(shù)列解決兩類問題

通過確立序列得到相鄰各項之間的一般關(guān)系以及初始值來確定通項或整個序列的思想稱為遞推思想.適用于定義在自然數(shù)集上的一類函數(shù)，它不僅是得到數(shù)列通項公式的重要方法，更是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想.以排列、組合為背景的大多試題往往具有題意簡潔、趣味性較強的特點，能更好地考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.本文就利用遞推關(guān)系解決這樣的兩類問題：一是有關(guān)“傳球方法數(shù)”的一般計數(shù)方法；二是有關(guān)“錯裝信封”的概率求法.

問題1 甲、乙、丙三人練習(xí)傳球,當(dāng)球從某人手中傳到另一人手中時,稱為一次傳球,但不能自己傳給自己. 從甲開始,傳球5次后,球仍回到甲手中,共有多少種不同傳球方法?

分析 由于所涉及傳球次數(shù)較小,故利用枚舉法最適合;但是不利于發(fā)現(xiàn)一般的結(jié)論,因此本文對第二次接球的人是否為甲進行分類討論,從而找到相鄰兩次傳球之間的遞推關(guān)系.

解 形如甲×甲××甲型傳球有2×2=4種；形如甲×乙××甲型傳球有1+2=3種；形如甲×丙××甲型傳球有1+2=3種；故共有10種不同傳球方法.

評注 上述解法利用甲×甲和甲×#(#:表示這次接球的人不是甲)把5次傳球降為3次傳球問題.利用同樣的思路我們可以得到如下傳球n次的一般計數(shù)方法.

【傳球問題】 包含甲、乙在內(nèi)的m(m≥3)個人練習(xí)傳球,設(shè)傳n球次,當(dāng)球從某人手中傳到另一人手中時,稱為一次傳球,但不能自己傳給自己.

Ⅰ.球首先從甲手中傳出,經(jīng)過n次傳球后,仍回到甲手中,共有多少種不同方法?

Ⅱ.球首先從乙手中傳出,經(jīng)過n次傳球后,傳到甲手中,共有多少種不同方法?

分析 由于經(jīng)過n次傳球后要求回到甲手中與經(jīng)過n-2次傳球后的情形有比較密切的關(guān)系,故我們可以先尋找它們之間的遞推關(guān)系.

解 a璶表示球首先從甲手中傳出, 經(jīng)過n次傳球后,仍回到甲手中的方法種數(shù)；

b璶表示球首先從乙手中傳出, 經(jīng)過n次傳球后,傳到甲手中的方法種數(shù)；

由上述記法,易知球從除甲之外的任何一人手中傳出,經(jīng)過n次傳球后,傳到甲手中的方法種數(shù)均為b璶.

一方面,對每個傳球的人來說,每次傳球的方法有(m-1)種,所以經(jīng)過n次傳球后,傳到甲手中的方法種數(shù)為(m-1)n.而經(jīng)過n次傳球后,傳到甲手中有以下兩類情形：一類是球從甲手中傳出,共有a璶種方法;另一類是球從非甲手中傳出,共有C1璵-1·b璶種,故有等式(m-1)n=a璶+(m-1)·b璶①

另一方面a璶種方法,又可以分為以下兩種情形:

第一種甲經(jīng)過2次傳球后,回到甲手中,形如 甲×甲……則共有C1璵-1·a璶-2；

第二種甲經(jīng)過2次傳球后,未回到甲手中,形如 甲××……則共有A2璵-1·b璶-2；

故又有等式a璶=(m-1)a璶-2+(m-1)(m-2)b璶-2…………②聯(lián)立①②可得

a璶=a璶-2+(m-2)(m-1)n-2，即a璶-a璶-2=(m-2)(m-1)n-2且a1=0,a2=m-1，由累加法易得:

當(dāng)n為偶數(shù)時a璶-a2=(m-1)n-(m-1)2m

當(dāng)n為奇數(shù)時a璶-a1=(m-1)n-(m-1)m,故有a璶=(m-1)n+(-1)n(m-1)m代入①式得b璶=(m-1)n-(-1)nm.

問題2 某人給4位朋友寫信,寫好4封信與4枚信封后,交給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯了信封的概率是多少?

分析 A、B、C、D表示寫給4位朋友的信封;與之對應(yīng)的4封信分別用小寫的a、b、c、d表示.由枚舉法容易得到所有的信裝錯了信封共有9種情形.

解 不妨設(shè)a裝進B信封,此時裝信工作分為以下兩類:

一是b裝進A信封,有1種情形;二是b不裝進A信封,有2種情形.故a裝進B信封共有3種情形,同理可知c或d裝進B信封也各有3種情形,因此4封信都裝錯了信封的概率為: P4=94!=924=38

評注 利用上述解法的思路可以得到如下更為一般情形的概率算法.

【錯裝信封問題】 某人給n位朋友寫信，寫好了n枚信封與n封信后，交給粗心的秘書，求所有的信裝錯了信封的概率是多少？

分析 由題意易知,錯裝n封信的前提一定要保證前面的n-1封信必須裝錯,故錯裝n封信的情形與錯裝n-1、n-2封信的情形有較密切的關(guān)系,所以應(yīng)先尋找他們之間的關(guān)系式.

解 A、B、C、D……表示寫給n位朋友的信封;與之對應(yīng)的n封信分別用小寫的a、b、c、d……表示.a璶表示n封信中沒有一封配對的裝法種數(shù)；則P璶=a璶n!表示“所有的信都裝錯了信封的概率”.

不妨設(shè)a裝進B信封,可以分為以下兩類:

鞏固練習(xí)：

1．甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，從甲開始，問傳球6次后仍傳給甲的方法數(shù)是多少?

2．甲、乙、丙三人練習(xí)傳球，從乙開始，問傳球6次后傳給甲的方法數(shù)是多少?

3．甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，從甲開始，問傳球5次后仍傳給甲的方法數(shù)是多少?

4．甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，從乙開始，問傳球5次后傳給甲的方法數(shù)是多少?

5．某人給5位朋友寫信,寫好5封信與5枚信封后,交給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯了信封的概率是多少?

6．某人給6位朋友寫信,寫好6封信與6枚信封后,交給秘書,求粗心的秘書把所有的信裝錯了信封的概率是多少?

參考答案:

有關(guān)排列、組合這一章內(nèi)容在高考所占比重不大,但試題一般都以實際應(yīng)用題形式出現(xiàn),主要考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,還能較好區(qū)分出學(xué)生的思維品質(zhì)；而且試題都具有一定的靈活性、機敏性和綜合性，在“倡導(dǎo)創(chuàng)新體系，提倡素質(zhì)教育”的今天,本章考題是最好的體現(xiàn).通過對一些趣味性較強且具有一定規(guī)律性的問題進行歸納總結(jié),一是有利于激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣；二是提倡學(xué)生自主學(xué)習(xí),對于一些問題能做到事半功倍之效.

參考文獻

[1] 賈鳳山.《走向高考》, 人民日報出版社,2007,4.

[2] 顏培強. 利用遞推思想解決計數(shù)問題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2004,3.

[3] 鄒明.一類染色問題的計數(shù)公式[J]. 中等數(shù)學(xué) ,2005,1.

作者簡介 劉華湘,男,1979年3月生于福建省龍巖市.2002年畢業(yè)于福建省廈門市集美大學(xué)師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,畢業(yè)后至今一直任教于福建省晉江市養(yǎng)正中學(xué).

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