惠更斯及其碰撞理論

摘要：本文著重討論了碰撞問題的研究背景及惠更斯在當(dāng)時(shí)的歷史條件下如何推導(dǎo)物體發(fā)生彈性碰撞時(shí)動(dòng)能守恒?；莞篂榕鲎怖碚摰慕?duì)力學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn)。

關(guān)鍵詞：惠更斯；彈性碰撞；動(dòng)能守恒

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2008)8(S)-0003-5

1 惠更斯的生平

惠更斯（Christiaan Huygens，1629-1695）1629年4月14日生于荷蘭海牙，1695年7月8日卒于海牙。（圖1）他是17世紀(jì)著名的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，在望遠(yuǎn)鏡制造、土星觀測(cè)、碰撞理論以及在擺的研究等眾多領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)，并最早觸及波動(dòng)光學(xué)理論。

惠更斯出生在荷蘭一個(gè)貴族家庭，惠更斯的祖父和父親都曾為奧蘭治（Orange）王室服務(wù)多年，很重視子孫在文學(xué)、藝術(shù)、外語和自然科學(xué)方面的教育與培養(yǎng)。 

1645年，16歲的惠更斯進(jìn)入萊頓大學(xué)學(xué)習(xí)法律和數(shù)學(xué)， 1647年3月到1649年8月，惠更斯在布雷達(dá)大學(xué)學(xué)習(xí)法學(xué)。此后一直到1666年，惠更斯除了三次去巴黎和倫敦旅行外，一直居住在荷蘭。這段時(shí)間也是惠更斯多產(chǎn)的黃金時(shí)代，他在數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、彈性碰撞、幾何光學(xué)、制作透鏡和改革望遠(yuǎn)鏡（見圖2）等方面都有成績(jī)。1655年，他憑借自制的望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)土星除土星環(huán)外還有一顆伴星（見圖3），并命名為泰坦（Titan），即土衛(wèi)六。次年確定了獵戶座大星云的恒星組成。這些成績(jī)讓他在歐洲享有盛譽(yù)。1658年制成用擺來控制時(shí)間的擺鐘，并有以其結(jié)構(gòu)和原理為內(nèi)容的Horologium（擺鐘）一文發(fā)表。

1663年惠更斯被聘為英國(guó)皇家科學(xué)院院士，1666年被聘為法國(guó)皇家科學(xué)院的籌建成員。1666年-1681年惠更斯一直住在巴黎，此間他與德國(guó)著名數(shù)學(xué)家哲學(xué)家萊布尼茨（G#8226;W#8226;Leibniz，1646-1716）結(jié)識(shí)，并終生與之為友。

1681年惠更斯由于重病返回荷蘭治療，之后一直居住在海牙的霍夫衛(wèi)克（Hofwick）。惠更斯終生未婚，生命的最后階段陷入孤寂與憂郁，1695年7月8日辭世?；莞沟某晒?、通信、論文等匯編成一套22卷《惠更斯全集》，由荷蘭皇家科學(xué)院出版，這項(xiàng)工作從1885年開始，1950年完成，歷時(shí)66年。

在惠更斯眾多的科學(xué)工作中，本文著重討論惠更斯有關(guān)碰撞問題的研究。

2 惠更斯與碰撞問題研究

2.1 碰撞問題研究背景

兩個(gè)主題貫穿在17世紀(jì)的科學(xué)之中。一個(gè)主題是通過機(jī)械論哲學(xué)得以表現(xiàn)，極力從自然哲學(xué)體系中剔除所有帶有神秘色彩的內(nèi)容，第二個(gè)主題的歷史可以追溯到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，這一主題注重對(duì)各種現(xiàn)象進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。［1］

17世紀(jì)的人們相信運(yùn)動(dòng)來源于上帝，是上帝創(chuàng)造了物質(zhì)并使其處于運(yùn)動(dòng)之中，慣性原理是機(jī)械論哲學(xué)的基礎(chǔ)，因此就不需要任何東西來保持物體的運(yùn)動(dòng)。只有在物體發(fā)生碰撞時(shí)，運(yùn)動(dòng)才會(huì)從一個(gè)物體傳遞到另一個(gè)物體，而運(yùn)動(dòng)本身是不滅的，因此碰撞問題至關(guān)重要。

伽利略在1638年的《兩門新科學(xué)的對(duì)話》里試圖討論碰撞問題。在第四天的對(duì)話里，薩格雷多（Sagredo）對(duì)于重錘下落能產(chǎn)生巨大的力表示吃驚，薩爾維阿蒂（Salviati）說他的朋友（伽利略）對(duì)這個(gè)問題花了大量的時(shí)間研究，并以新的觀點(diǎn)解決了這個(gè)問題，而且答應(yīng)在以后的討論中將對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行解釋。但最后，并未對(duì)此問題繼續(xù)討論，這是惠更斯研究碰撞問題的一個(gè)起源?；莞瓜矚g解決經(jīng)典著作中未解決的問題。［2］

1639年，捷克的科學(xué)家馬爾西（Marci von Kronland，Johannes Marcus，1595-1667）曾對(duì)彈性碰撞進(jìn)行研究，寫成De proportion moutus。他描述了一系列的實(shí)驗(yàn)，但是由于他沒有精確測(cè)量實(shí)驗(yàn)球體的大小或重力，以及它們的運(yùn)動(dòng)方向和速度，所以馬爾西并沒有給出一般的碰撞公式。他僅僅以大的、小的，同樣大小來描述實(shí)驗(yàn)球體，雖然有很多缺點(diǎn)，但是他的定性結(jié)論一般是正確的。

笛卡爾在他1644年的《原理》里提出過八條碰撞定理，但是這些定理大多是不正確的或者表述不清楚的。例如命題四這樣敘述：如果物體C大于物體B，那么不管B以什么速度撞C，都不可能使C運(yùn)動(dòng)，B的速度越大，C的阻力也越大。笛卡爾沒有認(rèn)識(shí)到速度是有方向的，也沒有分清彈性體和非彈性體的問題。由于不同意笛卡爾的理論，也促使惠更斯研究碰撞問題。［3］

1668年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)要求一些會(huì)員研究碰撞問題，用來彌補(bǔ)力學(xué)原理在這方面的不足。沃利斯、雷恩、惠更斯三個(gè)人按各自的方式進(jìn)行了研究。沃利斯主要考察了非彈性體沿它們重心連線運(yùn)動(dòng)時(shí)的碰撞，他的論文發(fā)表在皇家學(xué)會(huì)的Phil.Trans，Vol ⅢNo.43(見圖4)。文中指出，

如果我們?cè)O(shè)兩個(gè)碰撞體的質(zhì)量為m和m1，碰撞前的速度為v和v1，碰后的速度為u，當(dāng)兩個(gè)物體開始同向運(yùn)動(dòng)時(shí)u=mv+m1v1m+m1，當(dāng)它們相向運(yùn)動(dòng)時(shí)u=mv-m1v1m+m1［4］。

雷恩通過做懸置物體實(shí)驗(yàn)，得出了彈性碰撞的經(jīng)驗(yàn)定律，但他并沒有從理論上推導(dǎo)出它們。雷恩的論文也發(fā)表在Phil.Trans，Vol ⅢNo.43(見圖5)。［5］

在1669年1月4日，奧爾登伯格收到了惠更斯沒有證明的彈性對(duì)心碰撞理論的論文，惠更斯的論文發(fā)表在Phil.Trans，Vol ⅣNo.46（見圖6）。從惠更斯的通信來看，他應(yīng)該早在1656年就得出了這些命題及相關(guān)證明。［6］

馬里奧特(Edme Mariotte，1620-1684)也做了系統(tǒng)的碰撞實(shí)驗(yàn)，1677年的論文traite de la percussion ou choc des corps中，主要論述用一個(gè)專門設(shè)計(jì)的裝置對(duì)碰撞定律進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。這種裝置由兩個(gè)球組成，球用軟粘土或象牙制成，視需要哪種碰撞類型而定，球用懸線置于一個(gè)木框架，以便處于水平接觸。這兩個(gè)球能夠沿著帶刻度的弧運(yùn)動(dòng)，并且以能夠根據(jù)初始偏轉(zhuǎn)進(jìn)行計(jì)算和控制的速度相碰撞，這樣便可以研究碰撞后的運(yùn)動(dòng)，馬里奧特證明了各條基本碰撞定律，其中包括“動(dòng)量”守恒定律。

2.2 惠更斯的碰撞論文

惠更斯在他的《論物體的碰撞運(yùn)動(dòng)》（tractatus de motu corporum ex percussione）中很詳細(xì)的論述了碰撞問題，并給予了證明。［7］在他死后，這本書于1703年首次出版，其中包含5個(gè)基本假設(shè)和13個(gè)命題。假設(shè)一，遵守慣性定律；假設(shè)二，暗含碰撞是彈性對(duì)心的碰撞。碰撞物體是兩個(gè)完全相同的彈性物體，碰撞前的速度大小相等方向相反，碰撞后以同樣大小的速度分離，碰撞都發(fā)生在兩個(gè)物體中心連線上；假設(shè)三，所有的速度都是相對(duì)地面來看的；假設(shè)四，大物體沖擊原來靜止的小物體，最后必會(huì)分給小物體一些速度，而自身失去一些速度。假設(shè)五，如果相碰撞的兩物體中的一個(gè)在碰撞后速度大小未變，則另一個(gè)必定也是如此。

惠更斯是通過敘述在船上的人觀察到的現(xiàn)象和在岸上的人觀察到的現(xiàn)象來解釋13命題的。

命題一 ：一個(gè)物體以一定的速度碰撞和它完全相同的物體，碰撞后前者靜止，而后者獲得前者碰前的速度。（即m1=m²，v1=v，v2=0，碰撞后v′1=0，v′2=v）

命題二 ：如果兩個(gè)完全相同的物體，以不等速度碰撞，撞后兩者互相交換速度。（即m1=m²，v1=a，v2=b，碰撞后v′1=b，v′2=a）

這兩個(gè)命題都以前三個(gè)假設(shè)為前提。在得出命題三之前，惠更斯補(bǔ)充了假設(shè)四。

命題三 ：大的物體被有速度的小物體碰撞，碰后大物體會(huì)運(yùn)動(dòng)（即m1>m²，v1=0，v2≠0，碰后v′1≠0），惠更斯的這一命題恰好駁斥了笛卡爾關(guān)于碰撞的第四個(gè)命題。

推出命題四之前，他又補(bǔ)充了假設(shè)五。

命題四： 碰撞前后，兩個(gè)物體的相對(duì)速度大小不變。

(船速-ω，v1=a-ω，v2=b+ω碰后v′1=-(a-ω)，v′2=-(b+ω)) 

命題五： 如果兩個(gè)物體以第一次碰后的速度大小發(fā)生二次碰撞，碰后二者將獲得第一次碰前的速度大小。（v1=a，v2=b；第一次碰后 v′1=c，v′2=d；第二次碰前v1=-c，v2=-d，第二次碰后v′1=-a，v′2=-b）

命題六： 當(dāng)兩個(gè)物體發(fā)生碰撞時(shí)，碰前總共具有的運(yùn)動(dòng)的量同碰后相比，可能增加也可能減少。運(yùn)動(dòng)的量按以下的方式被確定：對(duì)于不完全相同的物體如果有相同的速度，則大的物體運(yùn)動(dòng)的量大，對(duì)于完全相同的物體，運(yùn)動(dòng)的量取決于一個(gè)物體比另一個(gè)運(yùn)動(dòng)快多少。

很顯然，惠更斯在這里的敘述并不十分清晰，這也是在這篇論文中唯一一條不十分明確的命題。按惠更斯的敘述，我們可以這樣理解：運(yùn)動(dòng)的量可能跟物體的重量有關(guān)，也可能跟速度的差有關(guān)，還有可能跟這兩者的組合有關(guān)。畢竟，最一般的情況：重量不同，速度也不同時(shí)，他并沒有提及。但是在1652年的草稿里，他明確表示重力和速度是要乘積的，他可能是這樣認(rèn)為的，既然重量在碰撞前后是不變的，那么關(guān)鍵問題就是碰撞前后速度的變化。這種想法既跟命題六不同，也跟現(xiàn)在所說的動(dòng)量守恒不同。在給一位朋友的信中，惠更斯曾對(duì)命題六進(jìn)行修改并得出正確的結(jié)論。但在《論物體的碰撞運(yùn)動(dòng)》中并沒有采用這個(gè)結(jié)果。

命題七： 當(dāng)大物體以一定速度碰撞小物體時(shí)，小物體將獲得比大物體原速二倍略小的速度。（m1m²，v1=v，v2=0碰撞后v′2≈2v1且v′2<2v1）

命題八 ：如果兩個(gè)物體的速度和它們的質(zhì)量成反比，則碰撞后它們以碰前速度大小返回。（m1m²=v2v1碰后v′1=v1，v′2=v2）

命題九：兩個(gè)不同大小的物體，重量的比已知，如果給出兩者在碰前的速度，可以求出碰后的速度。（如果m1m²=P，v1，v2可求v′1和v′2）

命題十：大物體m1以一定速度碰撞靜止小物體m²，小物體獲得的速度v′2，小物體以同樣的速度碰撞靜止的大物體，大物體獲得的速度v′1，則v′1v′2=m²m1。

命題十一：兩個(gè)物體發(fā)生碰撞，如果它們的質(zhì)量比和速度比已知（可以用數(shù)量大小表示， 也可以用線段長(zhǎng)度表示），它們各自的質(zhì)量與速度平方的乘積之和在碰前和碰后不變，即動(dòng)能守恒。(如果m1m²=p，v1v2=q已知，可證明m1v21+m²v22=m1v′21+m²v′22)惠更斯早在1652年就給出了這個(gè)公式，但當(dāng)時(shí)他并未直接給出證明過程。

命題十二：一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體撞擊一個(gè)靜止物體，如果在運(yùn)動(dòng)過程中有另一個(gè)靜止物體作媒介，則后者獲得比沒有媒介時(shí)更大的速度，當(dāng)媒介物體質(zhì)量為其他兩物體的比例中項(xiàng)時(shí)，后者將獲得最大速度。

命題十三： 如果有一系列的媒介物體，位于一個(gè)運(yùn)動(dòng)和一個(gè)靜止的兩物體之間，當(dāng)所有的物體連續(xù)成比例時(shí)，靜止物體獲得最大速度。

2.3 惠更斯與動(dòng)能守恒

惠更斯的命題是：兩個(gè)物體發(fā)生碰撞，如果它們的質(zhì)量比和速度比已知（可以用數(shù)量大小表示， 也可以用線段長(zhǎng)度表示），它們各自的質(zhì)量與速度平方的乘積之和在碰前和碰后不變，即動(dòng)能守恒。(如果m1m²=p，v1v2=q已知，可證明m1v21+m²v22=m1v′21+m²v′22)

下面讓我們看看惠更斯是如何證明的。假設(shè)兩個(gè)物體A、B，（見圖7）

va=AD，vb=BD，此處AD，BD既表示球的運(yùn)動(dòng)方向，也表示運(yùn)動(dòng)速度的大小。碰撞后我們發(fā)現(xiàn)v′a=EA，v′b=EB，令C分AB為兩部分，使得mamb=CBCA，令CE=CD，我們只要證明CB#8226;AD2+CA#8226;BD2=CB#8226;EA2+CA#8226;EB2即可證明動(dòng)能守恒。

考慮各種情況，當(dāng)C位于AD之間，或者D位于AC之間。

當(dāng)C位于AD之間時(shí)，AD=AC+CD，AE=AC-CD因?yàn)镃E=CD，所以，AD>AE，并且BE=BC+CE，BD=BC-CE所以BE>BD。

當(dāng)D位于AC之間時(shí)，AE=AC+CE，AD=AC-CE，所以AE>AD，并且BD=BC+CD，BE=BC-CE，因?yàn)镃E=CD，所以BD>BE。

也就是說當(dāng)AD>AE時(shí)，BE>BD，當(dāng)AE>AD時(shí)，BD>BE。

因?yàn)镃E=CD，只要A被確定，AD2-AE2=4AC#8226;CD=4AC#8226;CE。（Euclid's Elements book Ⅱ，proposition 8）

對(duì)于第1和第5種情況，看成AC被E分；對(duì)于第2和第8種情況，看成AC被D分；對(duì)于第3和第4種情況，看成EC被A分；對(duì)于第6和第7種情況，是不存在AE2的，則上面提到的等式簡(jiǎn)化為AD2-AE2=AD2=4AC#8226;CD=4AC#8226;CE。

同理，DC=EC，當(dāng)B的位置被確定時(shí)，BE2-BD2=4BC#8226;CD=4BC#8226;CE

所以AD2-AE2BE2-BD2=ACBC

而當(dāng)AD>AE時(shí)BE>BD，當(dāng)AE>AD時(shí)BD>BE，

所以CB#8226;AD2+CA#8226;BD2=CB#8226;EA2+CA#8226;EB2。

3 總結(jié)

科學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)不是一蹴而就的，而是一個(gè)緩慢發(fā)展的過程。單就本文論述的碰撞問題，從1638伽利略開始思考這個(gè)問題，到1686年牛頓原理的完成，也歷經(jīng)了近半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間。

惠更斯在這一過程中起到了承前啟后的作用。那么惠更斯為什么會(huì)對(duì)碰撞問題產(chǎn)生興趣呢？一方面源于伽利略，伽利略曾試圖討論撞擊力問題；另一方面源于笛卡爾，惠更斯利用笛卡爾自己的原理論證了笛卡爾的錯(cuò)誤。笛卡爾認(rèn)為，靜止和運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的術(shù)語。既然沒有撇開物體的空間存在，我們只能說相對(duì)于另一物體，這一物體在運(yùn)動(dòng)或靜止。不幸的是，他的碰撞規(guī)則對(duì)于不同的參照系產(chǎn)生了不同的結(jié)果。一個(gè)較小的運(yùn)動(dòng)物體以原速度被一個(gè)靜止的大物體彈回，而大物體沒有任何變化。但是，如果我們更換一個(gè)參照系，考慮小物體靜止，較大的物體使它運(yùn)動(dòng)，大物體所失去的全部運(yùn)動(dòng)給了小物體，碰撞后，兩者一起運(yùn)動(dòng)。顯然正如笛卡爾斷言的那樣，如果運(yùn)動(dòng)和靜止是相對(duì)的術(shù)語，那么第二個(gè)結(jié)果與第一個(gè)結(jié)果就不一致。毫無疑問，惠更斯接受了伽利略運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性的觀點(diǎn)。

笛卡爾對(duì)碰撞問題的嘗試，是他試圖將精確的定量力學(xué)引入到他的機(jī)械論哲學(xué)中的僅有的幾次嘗試之一。他的分析建立在動(dòng)量守恒的基礎(chǔ)上。所謂動(dòng)量，他指的是一個(gè)物體的體積和它的速度的乘積，這一概念與我們現(xiàn)在的動(dòng)量概念相似，但不同的是他的“體積”不同于我們的“質(zhì)量”，并且他對(duì)“速度”的處理也不是按一個(gè)矢量對(duì)待。笛卡兒推理到：上帝是產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的最終原因，而上帝是永恒的，因此宇宙中總動(dòng)量必然保持恒定。

馬爾西、雷恩和馬里奧特都是通過實(shí)驗(yàn)來研究碰撞問題，沃利斯和惠更斯是通過理論研究，沃利斯得出了完全非彈性碰撞的速度公式，惠更斯得出了彈性碰撞的動(dòng)能守恒。但是惠更斯在完成他的碰撞理論時(shí)，有沒有明確質(zhì)量的概念，這沒有文獻(xiàn)可以表明，據(jù)一些學(xué)者推測(cè)，他大概用的是重量。［8］牛頓則明確的定義了動(dòng)量是質(zhì)量與速度矢量的乘積。在牛頓的原理里，第三定律——作用力與反作用力原理是牛頓創(chuàng)立的；然而，就動(dòng)力學(xué)而言，它可以被看作是碰撞中運(yùn)動(dòng)變化這一問題的延伸，而這種延伸是惠更斯早已證明過的。在伽利略與牛頓之間，沒有人對(duì)數(shù)學(xué)、力學(xué)的發(fā)展比惠更斯的貢獻(xiàn)更大。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 查理斯 #8226;S#8226;韋特福爾著.彭萬華譯.《近代科學(xué)的建構(gòu)機(jī)械論與力學(xué)》復(fù)旦大學(xué)出版社，2000年2月 p128.

［2］Richard J. Blackwell; Christiaan HuygenChristiaan Huygens' The Motion of Colliding Bodies Isis.Vol. 68， No. 4. (Dec.， 1977)， p574-597.

［3］亞#8226;沃爾夫.《十七世紀(jì)的科學(xué)、技術(shù)和哲學(xué)史》.商務(wù)印書館，1985. p264-265.

［4］亞#8226;沃爾夫《十七世紀(jì)的科學(xué)、技術(shù)和哲學(xué)史》.商務(wù)印書館，1985. p265.

［5］亞#8226;沃爾夫《十七世紀(jì)的科學(xué)、技術(shù)和哲學(xué)史》.商務(wù)印書館，1985. p266.

［6］the Avertissement in Oeuvres completes Vol XVI，p3-14.

［7］Oeuvres completes de Christiaan Huygens publiees par la Societe Hollandaise des Sciences volXVI ，pp29-91.A German version Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften，No 138 ，1903.

［8］Richard J. Blackwell; Christiaan HuygenChristiaan Huygens' The Motion of Colliding Bodies Isis， Vol. 68， No. 4. (Dec.， 1977)， p574-597.

［9］錢臨照.徐良英主編《世界著名科學(xué)家傳達(dá)室記.2，物理學(xué)家》.北京：科學(xué)出版社，1992.p215-255.

［10］Descartes' Laws of Motion Richard J. Blackwell Isis， Vol. 57， No. 2. (Summer， 1966)， p. 220-234.

［11］Galileo Galilei Dialogues Concerning Two New Sciences.

(欄目編輯趙保鋼)