“追及相撞問題”解題方法的探討

“追及問題”是對(duì)研究單個(gè)物體（或質(zhì)點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)的延續(xù)和拓展，這類問題常涉及的是兩個(gè)或兩個(gè)以上物體（或質(zhì)點(diǎn)）在某段時(shí)間內(nèi)發(fā)生的相關(guān)運(yùn)動(dòng)。兩物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)所涉及的追及、相遇、相撞的問題，通常歸為追及問題。追及問題主要研究同向追及問題，同向追及問題的特征是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體同時(shí)不同地（或同地不同時(shí)）出發(fā)作同向運(yùn)動(dòng)，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。追及問題中的相撞問題是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)問題，該類問題與生活實(shí)際聯(lián)系密切，是能力考查不可或缺的命題素材，應(yīng)引起足夠的關(guān)注。分析該類問題需要學(xué)生有正確的時(shí)間和空間觀念（物體的運(yùn)動(dòng)過程總與時(shí)間的延續(xù)和空間位置的變化相對(duì)應(yīng)），要求我們必須理解掌握物體的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)及規(guī)律，具有較強(qiáng)的綜合素質(zhì)和能力。這類問題的求解方法多種多樣，討論這類問題不僅可以幫助學(xué)生進(jìn)一步熟悉、掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)中的規(guī)律和公式，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的物理思維能力很有好處。

在教學(xué)過程中碰到這樣的一道習(xí)題：夜間天黑，甲火車以10m/s速度勻速前進(jìn)，在其后面行駛的乙火車不小心誤入同一軌道，且以30m/s速度追向甲火車。當(dāng)乙火車距離甲火車250m遠(yuǎn)時(shí)，乙火車司機(jī)發(fā)現(xiàn)前面的甲火車。經(jīng)過2s的時(shí)間反應(yīng)后，乙火車司機(jī)立即剎車。已知乙火車剎車后的加速度大小為1m/s2，試問是否會(huì)發(fā)生撞車事故？這是典型追及問題中的碰撞問題，學(xué)生處理起來難度較大，分析原因主要是很多同學(xué)沒有抓住“撞”的條件，當(dāng)然該題增加了反應(yīng)時(shí)間也增加了不少難度。下面從多種角度入手來解決問題，以期開拓學(xué)生視野。

1 比較位移

分析 設(shè)不發(fā)生撞車事故，則乙車最大末速度為10m/s，則：

2as=v2t-v20，

s=v2t-v202a=102-3022×(-1)=400m，

s乙=v0t反+s=60m+400m=460m，

=vt+v02=20m/s。

若不發(fā)生撞車事故，需要?jiǎng)x車最短時(shí)間：

t=s=20s，

t總=20s+2s=22s，

s甲=v甲t總=10×22m=220m，

s乙＜s甲+250m，所以不會(huì)發(fā)生撞車事故。

2 比較加速度

分析 假設(shè)乙火車追上甲火車且剛好不相撞，則s乙=s甲+250m且乙的末速度:

vt=v甲=10m/s，

v0t反+v0+vt2t=v甲(t反+t)+250m，

解得：t=21s。

則剛好不撞上乙車剎車的加速度為：

a=vt-v0t=-0.95m/s2，

0.95m/s2＜1m/s2即｜a｜＜a甲， 所以不會(huì)發(fā)生撞車事故。

3 比較時(shí)間

分析 反應(yīng)時(shí)間2s后兩車相距為：

s0-(v乙t反-v甲t反）=210m。

假設(shè)甲、乙車相遇，而乙車速度降至：

vt=v甲=10m/s，

s乙=v2t-v202a=102-3022×(-1)=400m。

則在此過程中甲走過的位移為：

s甲=400m-210m=190m，

那么t乙=vt-v0a=20s，t甲=s甲v甲=19s。

t乙＞t甲，即當(dāng)乙車沒有趕上甲車時(shí)速度已經(jīng)減至10m/s，兩車不會(huì)相撞。

4 圖像法

分析 甲乙車的速度圖像如圖所示，在速度圖1中圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示位移，乙車速度減為vt=v甲=10m/s時(shí)，乙車發(fā)生的位移s乙=30×2+10+302×20=460m；

甲車發(fā)生的位移：

s甲=10×(2+20)=220m則s乙-s甲=240m，小于甲乙間的距離，所以不會(huì)相撞。

5 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法：

分析 選甲車作為參考系，將甲車當(dāng)作靜止，乙車向前運(yùn)動(dòng)相對(duì)甲的速度是：

v=30m/s-10m/s=20m/s。

乙相對(duì)甲靜止時(shí)，

s總=s反應(yīng)+s剎車=v×t反+-v22a

=20×2m+-2022×(-1)m

=240m。

240m＜250m，所以不會(huì)發(fā)生撞車事故。

在上述求解方法中，位移法最為“傳統(tǒng)”，但較容易被學(xué)生理解和接受；而相對(duì)運(yùn)動(dòng)法，在思維上有一定難度，但求解過程特別簡單；其他三種方法對(duì)思維的要求介于位移法和相對(duì)運(yùn)動(dòng)法之間，一旦學(xué)生掌握了分析思路，還是能夠理解的。

解決這類問題最關(guān)鍵的就是要抓住“撞”的條件，這個(gè)條件是什么呢？首先，后面的車要追上前面的車，追上了也不一定會(huì)撞，只有后車的速度比前車速度大，才會(huì)撞上。所以這里既要滿足位置關(guān)系，也要滿足速度關(guān)系。撞與不撞的臨界條件就是“即將靠近時(shí)（s乙=s甲+250m），追趕者速度等于被追趕者速度（vt=v甲=10m/s）”，在這里也可以看做是“追上或者追不上”的問題。

現(xiàn)實(shí)生活中的追及問題有：①勻速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻加速運(yùn)動(dòng)的物體②勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻速運(yùn)動(dòng)的物體③減速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻速運(yùn)動(dòng)的物體④勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追趕勻加速運(yùn)動(dòng)的物體等四種情況。從時(shí)間和空間的角度來看，追及問題其實(shí)質(zhì)就是指同一時(shí)刻能否同時(shí)到達(dá)空間同一位置?？梢姡芳皶r(shí)若能相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系：一是追及位置與各物體的初始位置之間存在著一定的位移關(guān)系（若同地出發(fā)，相遇時(shí)位移相等為空間條件）；二是追及時(shí)物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系，若物體同時(shí)出發(fā)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若兩者先后出發(fā)相差Δt，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為t1-t2=Δt。要使物體追及就必須同時(shí)滿足上述位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系。進(jìn)一步拓展，有以下兩種情況：

(1)如果是討論從同一地同時(shí)出發(fā)的兩物體相遇運(yùn)動(dòng)問題，它們相遇的臨界條件是：

s后=s前，v后=v前。如果題目中討論的是追及問題，那么當(dāng)兩車位置相同時(shí)v后≥v前就是追上；如果題目中討論的是車輛是否相撞問題，那么當(dāng)兩車位置相同時(shí)當(dāng)v后＞v前就是撞上，如果v后=v前應(yīng)該算恰好沒有撞上。

（2）如果是討論從不同地同時(shí)出發(fā)的兩物體相遇運(yùn)動(dòng)問題，它們相遇的臨界條件其實(shí)是相同的，不過位置相同即位移關(guān)系是s后=s前+Δs，這里Δs指開始相距的距離。

(欄目編輯羅琬華)