基于ＡｕｔｏＣＡＤ探究一般位置直線求實(shí)長(zhǎng)的方法

[摘要]在機(jī)械制圖畫法幾何部分，當(dāng)空間直線處于一般位置直線時(shí)，其投影就無法反映該直線的實(shí)際長(zhǎng)度，特別在求平面圖形的實(shí)際形狀時(shí)都會(huì)經(jīng)常面對(duì)這樣的問題，而現(xiàn)在好多教材都因?yàn)椤稒C(jī)械制圖》教學(xué)課時(shí)的不斷壓縮而刪減甚至取消了相關(guān)內(nèi)容，使學(xué)生在該知識(shí)點(diǎn)上形成了缺憾，本文將求一般位置直線實(shí)長(zhǎng)的不同圖解方法集錦在一起，從原理、要領(lǐng)和CAD作圖技巧方面加以探究。

[關(guān)鍵詞]AutoCAD 直角三角形法 換面法 旋轉(zhuǎn)法 實(shí)長(zhǎng)

前言：在機(jī)械制圖的畫法幾何部分，當(dāng)對(duì)直線進(jìn)行投影時(shí)，由于一般位置直線與投影面都是傾斜的，所以在正常的三面投影體系中，一般位置直線的投影都無法反映其真實(shí)長(zhǎng)度。通過計(jì)算固然可以求得實(shí)長(zhǎng)，但《機(jī)械制圖》更講究用圖解的方法來解決問題，本文力圖說明幾種解決此類問題方法的精華所在，并結(jié)合現(xiàn)代繪圖軟件AutoCAD克服以往手工繪圖解決此類問題時(shí)容易出現(xiàn)的弊端，諸如視覺誤差、測(cè)量誤差和作圖誤差使得求解不夠精準(zhǔn)。為了簡(jiǎn)化問題，這里多以兩面投影體系進(jìn)行闡述。

直角三角形法

1.原理：如圖1所示，在將一般位置直線AB向水平投影面做正投影時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)由直線AB的實(shí)長(zhǎng)、水平投影ab以及A、B兩點(diǎn)的Z軸坐標(biāo)之差組成了一個(gè)直角三角形，且直線實(shí)長(zhǎng)與水平投影之間的夾角就是空間直線與水平投影面的真實(shí)夾角角。而直線的水平投影ab和其端點(diǎn)的△Z在兩面投影中都是已知的，所以借助ab作為直角邊，以△Z做另一個(gè)直角邊，就能完成直角三角形，斜邊就是直線AB的真實(shí)長(zhǎng)度，斜邊與水平投影之間的夾角就是空間直線AB與H面的夾角角。同理，在將直線AB向V面和W面作投影時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)各自的直角三角形。原理相同。

2.要領(lǐng)：必須分清直角三角形幾何要素的“黃金搭檔”：一定是直線的某個(gè)投影（如H面投影）+與該投影所在投影面垂直軸線的直線兩端點(diǎn)之坐標(biāo)差（Z軸坐標(biāo)差）+直線的實(shí)長(zhǎng)+空間直線與該投影所在的投影面的夾角（角）。在一般位置直線的三面投影中會(huì)有三組這樣的“黃金搭檔”，另兩組“黃金搭檔”分別是：（1）a'b'+△Y+AB+，(2) a“b”+△X+AB+?！包S金搭檔”也是“鐵板搭檔”，切忌“亂點(diǎn)鴛鴦譜”！只要牢記“鐵板搭檔”，利用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)就會(huì)變得易如反掌。

3.應(yīng)用AutoCAD求直線實(shí)長(zhǎng)的技巧：在以往用手工做直角三角形時(shí)，不管是邊長(zhǎng)的測(cè)量、轉(zhuǎn)移還是直角的繪制，很難保證尺寸的精準(zhǔn)程度，所求結(jié)果往往存在誤差，那么，有了AutoCAD答案將非常精準(zhǔn)，如圖2所示，做出△Z，以△Z為長(zhǎng)度畫直線，用移動(dòng)命令以b'為基點(diǎn)將其移動(dòng)到a點(diǎn)，再用旋轉(zhuǎn)命令的參照方式將其以a點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與ab方向一致，再次用旋轉(zhuǎn)命令將其以a點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)-90度構(gòu)成另一個(gè)直角邊，連接斜邊即可。

換面法

1.原理：如圖3所示，在V-H兩面投影體系中，一般位置直線AB的兩面投影都無法反映其實(shí)際長(zhǎng)度，原因如前所述，如果直線與投影面不是傾斜的而是平行的，問題就能迎刃而解，這正是換面法的基本思路。在圖3中，新建一個(gè)投影面V1，使其與原有的H面垂直，與空間一般位置直線平行，那么，直線AB在新的V1，-H兩面投影體系中就變成了投影面平行線了，必然在V1，面中的投影就反映了直線AB的實(shí)長(zhǎng)，同時(shí)，在V1面中還反映了直線AB與水平投影面的真實(shí)夾角角。當(dāng)然，這里僅僅介紹了第一次變換，那么只要抓住下面的要領(lǐng)，進(jìn)行第二次甚至更多次變換，其方法是不變的。還可以讓V面不動(dòng)，變換H面，這里就不再贅述。

2.要領(lǐng)：以圖3為例，變換的是V面，不變的是H面，可以看出：A、B兩點(diǎn)到H面的距離是固定不變的，而這不變的距離又分別在V面和V1面各出現(xiàn)了一次，這正是換面法的精髓所在，在圖4的展開圖中，我們稱其為舊投影到舊軸的距離=新投影到新軸的距離，這也是換面法恒定不二的法則。作圖要領(lǐng)：確定不變投影面，即H面，在不變投影面中作直線投影的平行線作為新軸，過不變投影面中直線投影的端點(diǎn)向新軸作垂線，實(shí)現(xiàn)舊投影到舊軸的距離=新投影到新軸的距離，就可以在V1面中求得A、B兩點(diǎn)的新投影a1'b1'，這也正是直線AB的實(shí)長(zhǎng)。

應(yīng)用AutoCAD求直線實(shí)長(zhǎng)的技巧：在圖4中，使用直線命令+捕捉工具欄的平行工具，畫一條與ab平行的直線“新軸”，過a作“新軸”的垂線，過a'作“舊軸”的垂線即舊投影到舊軸的距離，用移動(dòng)命令將該垂線以a'點(diǎn)為基點(diǎn)移動(dòng)到ax1點(diǎn)，再用旋轉(zhuǎn)命令的參照將其以ax1點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與ax1 a方向一致，再次用旋轉(zhuǎn)命令將其以ax1點(diǎn)為基點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，就得到a1'。B點(diǎn)的作法相同。連接a1'b1'就得到了直線AB在V1投影面的投影a1'b1'，也正式直線AB的實(shí)長(zhǎng)，同時(shí)可以求出角。

旋轉(zhuǎn)法

1.原理：空間一般位置直線在兩面投影體系中，投影無法反映該直線的實(shí)長(zhǎng)，原因如前所述。如圖5所示，我們運(yùn)用“山不轉(zhuǎn)水轉(zhuǎn)”的相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，設(shè)想A點(diǎn)不動(dòng)，空間直線AB以Aa為軸線旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AB旋轉(zhuǎn)到與V面平行的位置時(shí)，直線AB就變成投影面的平行線了，再將AB向V面作正投影，就能得到該直線的實(shí)長(zhǎng)了?？臻g直線AB運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，該直線的兩面投影在作如下運(yùn)動(dòng)：（1）水平投影ab以a點(diǎn)為圓心，以ab為半徑作擺動(dòng)，直至與投影軸平行，即ab1的位置；（2）正面投影：a' 點(diǎn)不動(dòng)，由于空間直線AB在旋轉(zhuǎn)的過程中，B點(diǎn)的高度始終不變，所以，b'點(diǎn)在作與投影軸平行方向的平移至b1'，最后連接a b1'就得到直線AB旋轉(zhuǎn)以后的正面投影，也正是該直線的實(shí)長(zhǎng)，而a b1'與投影軸之間的夾角正是空間直線AB與H面的夾角角。直線AB除了以Aa為軸線旋轉(zhuǎn)外，還可以分別以Bb、Aa'、Bb'為軸線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，原理相同，這里不再贅述。

2.要領(lǐng)：（1）首先需要確定空間直線旋轉(zhuǎn)的軸線，從而明確空間直線旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，它的兩面投影各自的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，就能迅速準(zhǔn)確地求出空間直線旋轉(zhuǎn)以后的新投影，進(jìn)而完成空間直線實(shí)長(zhǎng)和空間直線與投影面的夾角的求解。（2）如果想求空間直線與H面的夾角，就必須以直線的某個(gè)端點(diǎn)向H面作投影線作為旋轉(zhuǎn)軸線，同理，如果想求空間直線與V面的夾角，就必須以直線的某個(gè)端點(diǎn)向V面所作的投影線作為旋轉(zhuǎn)軸線。

3.應(yīng)用AutoCAD的技巧：以圖6為例，確定以Aa為旋轉(zhuǎn)軸線，那么，在水平投影中，過a點(diǎn)作投影軸ox的平行線，再以a點(diǎn)為圓心以ab為半徑畫圓弧與過a 點(diǎn)的水平線相交得b1，過b1點(diǎn)作ox軸的垂線（投影連線），在正面投影中，過b'點(diǎn)作ox軸的平行線與b1點(diǎn)的投影連線相交求得b1'點(diǎn)，連接a b1'就得到空間直線的實(shí)長(zhǎng)。同時(shí)求得角。

總結(jié)

綜上所述，三種求一般位置直線實(shí)長(zhǎng)的方法各有千秋，直角三角形法簡(jiǎn)單、快捷、直觀，換面法稍顯麻煩，但是，用換面法經(jīng)過兩次變換解決一般位置平面圖形的實(shí)際形狀時(shí)，就彰顯了它的優(yōu)勢(shì)，當(dāng)圓錐表面的素線處于一般位置直線時(shí)，用旋轉(zhuǎn)法求其實(shí)長(zhǎng)會(huì)特別簡(jiǎn)捷，但應(yīng)注意，以上三種方法在求空間直線與投影面的夾角時(shí)，一次只能求出一個(gè)夾角。

中圖分類號(hào)： TB237 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

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作者單位：西安航空技術(shù)高等專科學(xué)校機(jī)械工程系陜西西安

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