論公理化方法在物理體系中的應(yīng)用

公理化方法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)很重要的方法，準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)公理化方法，不僅對(duì)于數(shù)學(xué)這門學(xué)科的發(fā)展有很重要的影響，而且還對(duì)其他自然科學(xué)學(xué)科的建設(shè)起重要作用。本文將從公理化方法的發(fā)展歷史展開闡述，對(duì)其特征進(jìn)行說明，并簡單論述公理化方法在物理體系中的應(yīng)用。

公理化方法的發(fā)展及其特征

著名數(shù)學(xué)家歐多克斯處理不可公度比時(shí)，建立了以公理為依據(jù)的演繹法。亞里斯多德集前人之大成，把其中的幾何術(shù)語揚(yáng)棄，保留下單純的邏輯關(guān)系。在他的《分析篇》中，總結(jié)、概括了邏輯學(xué)的豐富資料，在歷史上第一次對(duì)公理化方法作了論述。歐幾里德以亞里斯多德的公理化方法為工具，在希波克拉茨、歐多克斯、列昂、費(fèi)奇等許多著名科學(xué)家已做過的系統(tǒng)化、演繹化整理工作的基礎(chǔ)上，總結(jié)了人類長期以來積累的大量幾何知識(shí)，于公元前300年完成了他的名著《幾何原本》?！稁缀卧尽返恼Q生，標(biāo)志著真正的實(shí)質(zhì)性公理化方法的創(chuàng)定，從而為數(shù)學(xué)的發(fā)展樹立了一座不朽的豐碑。瑞士幾何學(xué)家蘭貝爾特沒有象薩開利那樣囿于平行公理的真實(shí)性的頑固想法，而是大膽地對(duì)平行公理的可證明性提出了懷疑，這是觀念上的一個(gè)重要突破。馬得堡的須外卡爾特和托里努斯也通過獨(dú)立的研究提出了這樣的看法，并且達(dá)到了非歐幾何的一些粗略的觀念。

一直到十九世紀(jì)，高斯、羅巴切夫斯基、倉耶等許多杰出的數(shù)學(xué)家作了大量的推導(dǎo)工作，發(fā)現(xiàn)銳角假設(shè)沒有導(dǎo)出矛盾，于是采用銳角假設(shè)的加羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了。接著到了1954年又發(fā)現(xiàn)了鈍角假設(shè)也成立的黎曼幾何。非歐幾何的建立標(biāo)志著實(shí)質(zhì)公理學(xué)向形式公理學(xué)過渡，表明人們的認(rèn)識(shí)已從直觀空間上升到抽象空間。希爾伯特在此基礎(chǔ)上，把那些在對(duì)空間直觀進(jìn)行邏輯分析時(shí)無關(guān)重要的內(nèi)容加以擯棄，著眼于對(duì)象之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)了邏輯推理，第一次提出了一個(gè)簡明、完整、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问交椒òl(fā)展史上的一個(gè)里程碑，從此開創(chuàng)了現(xiàn)代公理法思想的新階段。

協(xié)調(diào)性，獨(dú)立性和完備性構(gòu)成了公理系統(tǒng)的邏輯特征。

1.公理系統(tǒng)的無矛盾性(協(xié)調(diào)性):希爾伯特用形式公理法研究初等幾何的邏輯結(jié)構(gòu)時(shí)，首先提出了公理系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性，即無矛盾性。也就是基于他的公理系統(tǒng)作邏輯推演時(shí)是不會(huì)推出互相矛盾的命題來。否則這個(gè)公理系統(tǒng)就不能反映“真”、“假”因而也就沒有意義了。

2.公理系統(tǒng)的獨(dú)立性：在一個(gè)公理系統(tǒng)中，若一個(gè)公理A，不能從其他公理推出則稱A對(duì)于其他公理是獨(dú)立的。

3.公理系統(tǒng)的完備性：一個(gè)公理系統(tǒng)除了滿足協(xié)調(diào)性，獨(dú)立性外還應(yīng)該是完備的。即從公理系統(tǒng)出發(fā)借助于邏輯規(guī)則可以推演出一個(gè)數(shù)學(xué)分支的全部真命題。那么我們稱此公理系統(tǒng)是完備的。

公理化方法在物理學(xué)中的借鑒

在公理化方法借鑒到物理學(xué)中的例子中，牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》是經(jīng)典物理借鑒公理化方法的典型例子。牛頓在《原理》一書中：仿照歐幾里德的方法，首先提出了定義、注釋和動(dòng)力學(xué)原理。以最為經(jīng)典的牛頓力學(xué)中的牛頓運(yùn)動(dòng)三大定律為例，公理化方法(準(zhǔn)確點(diǎn)說應(yīng)該是實(shí)質(zhì)性公理化方法)在其中的應(yīng)用是十分明顯的。初始的基本概念即為：空間、時(shí)間、質(zhì)量和力；而牛頓三定律和萬有引力定律在公理化系統(tǒng)中可看作是理論出發(fā)點(diǎn)的基本公理。其中，三大定律分別為：(1)物體都要保持其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，直到外力迫使它改變?yōu)橹?。牛頓第一定律，又稱“慣性定律”。(2)物體運(yùn)動(dòng)的加速度與質(zhì)量成反比，與所受外力成正比。牛頓第二定律，在國際單位制中的數(shù)學(xué)形式是：

(3)若甲物體以一力作用于乙物體，則乙物體同時(shí)以一力作用于甲物體，二力大小相等，方向相反，分別作用的甲乙兩物體上，作用線在一條直線上。功的概念為:力在位移方向的投影與力的積或位移在力方向的投影與位移的積。變力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式是:

我們?cè)诠Φ幕靖拍钪屑尤伺ｎD第二定律就可以得到推論-功能領(lǐng)域中的基本原理。

是物體所受合外力

動(dòng)能原理：合外力對(duì)物體所做的功等于物體動(dòng)能的增量。將動(dòng)能原理應(yīng)用到系統(tǒng)中，可得到動(dòng)能原理：

利用此二原理就可以解決動(dòng)能領(lǐng)域的動(dòng)力學(xué)問題。

此外，公理化方法在物理學(xué)的其它領(lǐng)域里也有很廣泛的應(yīng)用，比如熱力學(xué)也可以建成一個(gè)公理系統(tǒng)。作為一個(gè)公理化的框架，熱力學(xué)是建立在能量、孤立系統(tǒng)等基本概念和一系列初始原理基礎(chǔ)上的。這些初始原理就是孤立系統(tǒng)存在熱力學(xué)平衡態(tài)假定、熱力學(xué)第零定律、熱力學(xué)三定律等。由此我們定義了重要的溫度概念，功、熱量、內(nèi)能的概念和火商函數(shù)，把內(nèi)能、火商和由溫度概念引進(jìn)的物態(tài)方程，聯(lián)合起來構(gòu)成了一個(gè)均勻物質(zhì)的全部平衡性質(zhì)的基礎(chǔ)，然后由這三個(gè)熱力學(xué)函數(shù)出發(fā)作數(shù)學(xué)推演，可得到物質(zhì)的各種平衡性質(zhì)的相互聯(lián)系。

由此可見，公理化方法在物理學(xué)上有著非常廣泛的應(yīng)用，盡管它有著一些缺陷與不足，如公理化方法本身的不完備性，同時(shí)物理學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型只是一種“近似的模寫”，有著一定的適用范圍和局限性。只有當(dāng)公理化方法可以與實(shí)驗(yàn)觀察到的現(xiàn)象聯(lián)系起來并得到確證時(shí)，才具有科學(xué)的意義。也就是說物理學(xué)理論體系中的公理和推論最終都要用實(shí)踐來檢驗(yàn)。但是其在經(jīng)典物理以及熱學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域內(nèi)的重要性是十分顯見的。

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