編擬、選擇數(shù)學(xué)題應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題

陳　杰

作為數(shù)學(xué)教師，我們幾乎每天都要把一些題目呈現(xiàn)給學(xué)生.尤其是進(jìn)入中考復(fù)習(xí)階段，每節(jié)課都要進(jìn)行一定數(shù)量的習(xí)題訓(xùn)練或測(cè)試.只有高質(zhì)量的習(xí)題才能更好地發(fā)揮訓(xùn)練、測(cè)試功能.有的老師們自己編擬試題，更多的老師是直接引用各種資料上的試題.由于某些資料上的試題質(zhì)量良莠不齊，在編擬試題、選擇試題時(shí)，稍不注意，就會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的問(wèn)題，影響了學(xué)生學(xué)習(xí)、測(cè)試的效果.本文談一談選擇、編擬數(shù)學(xué)試題、習(xí)題應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題，為老師們提個(gè)醒.

1 注意試題科學(xué)、嚴(yán)密

例1 東梅體育商店為推銷(xiāo)某一品牌的運(yùn)動(dòng)服，先進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：

(1)以x作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，p作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把上表中的數(shù)據(jù)在圖中(圖略)的直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)，觀察連接各點(diǎn)所得的圖形，判斷p與x的函數(shù)關(guān)系，并求出p與x的函數(shù)表達(dá)式.

(2)略；(3)略.

有的習(xí)題條件多余造成自相矛盾，有的習(xí)題文字?jǐn)⑹銎缌x、題意不清，這里就不一一舉例了.盡管這類(lèi)題目少之又少，但還是要認(rèn)真選擇，以防萬(wàn)一.

2 要防止知識(shí)、要求超標(biāo)

例3 (Ⅰ)請(qǐng)將下表補(bǔ)充完整：

(Ⅳ)試寫(xiě)出利用你在填上表時(shí)獲得的結(jié)論解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)時(shí)的解題步驟.

說(shuō)明 不要把高中知識(shí)作為學(xué)生探究的素材，這樣會(huì)擴(kuò)大學(xué)生學(xué)習(xí)的范圍，增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān).各種資料上這類(lèi)習(xí)題也有，選用時(shí)，請(qǐng)注意試題所涉及的內(nèi)容和難度不要超出《課標(biāo)》的規(guī)定.

3 考查目標(biāo)要明確

3.1 每道試題都要有明確的考查(訓(xùn)練)目標(biāo)

例4 為了配合“八榮八恥”宣傳教育，針對(duì)闖紅燈現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生的實(shí)際情況，八年級(jí)某班開(kāi)展了一次題為“紅燈與綠燈”的課題學(xué)習(xí)活動(dòng)，他們將全班學(xué)生分成8個(gè)小組，其中第①～⑥組分別負(fù)責(zé)早、中、晚三個(gè)時(shí)段闖紅燈違章現(xiàn)象的調(diào)查，第⑦小組負(fù)責(zé)查閱有關(guān)紅綠燈的交通法規(guī)，第⑧小組負(fù)責(zé)收集有關(guān)的交通標(biāo)志.數(shù)據(jù)匯總?cè)缦拢?/p>

標(biāo)志含義： 標(biāo)志含義：

(3)早晨、中午、晚上三個(gè)時(shí)段每分鐘車(chē)流量的極差是，這三個(gè)時(shí)段的車(chē)流總量的中位數(shù)是.

(4)觀察表中的數(shù)據(jù)及條形統(tǒng)計(jì)圖，寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的一種現(xiàn)象并分析其產(chǎn)生的原因.

(5)通過(guò)以上調(diào)查、統(tǒng)計(jì)、分析，向交通管理部門(mén)提一條合理化建議.

說(shuō)明 本題中問(wèn)題(1)、(2)考查的都是非數(shù)學(xué)內(nèi)容.數(shù)學(xué)教學(xué)具有德育教育的作用.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，其情感、態(tài)度、價(jià)值觀也必定會(huì)發(fā)生一些變化.教學(xué)時(shí)，不能忽視情感、態(tài)度、價(jià)值觀等目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).但是否要出一道試題考查德育目標(biāo)呢?筆者認(rèn)為對(duì)“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”等目標(biāo)的考查，最好伴隨著對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、能力的考查之中實(shí)現(xiàn).

3.2 要重視核心內(nèi)容的考查

例5 某農(nóng)場(chǎng)中學(xué)八年級(jí)的同學(xué)就每年過(guò)生日時(shí)，你是否會(huì)向母親道一聲“謝謝”這個(gè)問(wèn)題對(duì)本年級(jí)66名同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果如下：

(1)請(qǐng)你整理上述數(shù)據(jù)，填寫(xiě)下表.(頻率保留四個(gè)有效數(shù)字)

(2)選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖描述這組數(shù)據(jù).

(3)通過(guò)對(duì)這組數(shù)據(jù)的分析，你有何感想?(用一、兩句話(huà)表示即可)

回答內(nèi)容頻 數(shù)頻 率是有時(shí)否 說(shuō)明 學(xué)生解答本題時(shí)，首先要計(jì)數(shù)——整理數(shù)據(jù)，這一過(guò)程思維量不大，耗時(shí)較多.問(wèn)題(2)“選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖描述這組數(shù)據(jù)”應(yīng)是本題考查重點(diǎn)的內(nèi)容.如果學(xué)生數(shù)據(jù)整理時(shí)馬虎出錯(cuò)，即使學(xué)生明白其中的道理，會(huì)畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖，其結(jié)果也會(huì)受(1)的影響.本題在學(xué)習(xí)新課時(shí)，作為練習(xí)題可以，但總復(fù)習(xí)時(shí)作為測(cè)試題，不太理想.選題時(shí)，要重視考查學(xué)生對(duì)本學(xué)科核心內(nèi)容的掌握.

4 盡可能少出死記硬背的知識(shí)題

例6 要證明一個(gè)四邊形是菱形，可以先證明這個(gè)四邊形是形，再證明這個(gè)四邊形是(只須填寫(xiě)一種方法).

說(shuō)明 這類(lèi)題目?jī)H考查學(xué)生對(duì)某一知識(shí)的記憶水平，學(xué)生只需把記憶的文字復(fù)述出來(lái)即可，思維量極低.在平時(shí)偶爾讓學(xué)生練一下，未嘗不可.但用于測(cè)試，會(huì)助長(zhǎng)死記硬背的傾向.

例7 某次歌唱比賽中，6位評(píng)委對(duì)某位選手的打分如下：

9.6，9.4，9.2，9.6，9.5，9.4.

(1)求這6個(gè)分?jǐn)?shù)的平均分；

(2)如果規(guī)則規(guī)定，去掉一個(gè)最高分和最低分，余下的分?jǐn)?shù)的平均分為選手的最后得分，求這位選手的最后得分.

說(shuō)明 對(duì)于本題，學(xué)生只需套用平均數(shù)公式即可完成，不能考查出學(xué)生對(duì)平均數(shù)概念的深層次理解，而且2個(gè)問(wèn)題在思維層次方面沒(méi)有多大變化.好的習(xí)題，各個(gè)小問(wèn)題的設(shè)計(jì)，應(yīng)是層層深入，思維量逐層加大.

一般來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)類(lèi)的試題，指明要求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差等，其思維量極低，記住公式即可.對(duì)統(tǒng)計(jì)中用于刻畫(huà)數(shù)據(jù)“平均水平”的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)以及刻畫(huà)數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的統(tǒng)計(jì)量——極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差等概念的考查，重點(diǎn)不應(yīng)是概念的記憶與運(yùn)用，而應(yīng)側(cè)重于考查學(xué)生在具體問(wèn)題情況下自主選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量解決問(wèn)題，作出決策的能力.要體現(xiàn)“輕模仿，重理解”，注重能力立意.

5 要設(shè)計(jì)好問(wèn)題情境

新課程提倡培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力.應(yīng)用題是學(xué)習(xí)、考查的重點(diǎn)之一.問(wèn)題的實(shí)際情境應(yīng)來(lái)自于學(xué)生能夠理解的生活現(xiàn)實(shí)，符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

5.1 避免“假”應(yīng)用題

例8 某學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍多2個(gè)，籃球數(shù)與排球數(shù)的差是16，那么，該校的籃球數(shù)、排球數(shù)分別是多少?

說(shuō)明 對(duì)于這類(lèi)應(yīng)用題，學(xué)生只需進(jìn)行簡(jiǎn)單的文字翻譯就可解決，思維量極低，故稱(chēng)為“假”應(yīng)用題，剛剛學(xué)習(xí)應(yīng)用題時(shí)，可用于引導(dǎo)學(xué)生列方程，但作為測(cè)試題，難度太小.

5.2 問(wèn)題情境應(yīng)真實(shí)、合理

例9 甲、乙、丙三人競(jìng)選班長(zhǎng)，甲當(dāng)班長(zhǎng)的可能性為.

說(shuō)明 學(xué)生競(jìng)選班長(zhǎng)的過(guò)程中，人為的因素太多，每一個(gè)人當(dāng)選班長(zhǎng)的概率不可能是三分之一.本題脫離實(shí)際，學(xué)生無(wú)法回答.我們初中階段所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象都是基于簡(jiǎn)單隨機(jī)事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的，每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性都相同的.

5.3 問(wèn)題情境不能離學(xué)生的生活實(shí)際太遠(yuǎn)

圖1 例10 2005年10月，繼楊利偉之后，航天員費(fèi)俊龍、聶海勝又遨游了太空，這大大激發(fā)了王紅庭同學(xué)愛(ài)好天文學(xué)的熱情.他通過(guò)上網(wǎng)查閱資料了解到，金星和地球的運(yùn)行軌道可以近似地看作是以太陽(yáng)為圓心的同心圓，且這兩個(gè)同心圓在同一平面上(如圖1所示)，由于金星和地球的運(yùn)轉(zhuǎn)速度不同，所以二者的位置不斷發(fā)生變化，當(dāng)金星、地球距離最近時(shí)，此時(shí)叫“下合”；當(dāng)金星、地球距離最遠(yuǎn)時(shí)，此時(shí)叫“上合”；在地球上觀察金星的視線(xiàn)恰好與金星軌道相切時(shí)，此時(shí)分別叫“東大距”和“西大距”，已知地球與太陽(yáng)相距約15(千萬(wàn)km)，金星與太陽(yáng)相距約10(千萬(wàn)km)，分別求“下合”、“東大距”、“西大距”、“上合”時(shí)，金星、地球的距離(可用根號(hào)表示).

(注：在地球上觀察金星，當(dāng)金星分別在太陽(yáng)的左、右兩側(cè)且視線(xiàn)恰好在與金星軌道相切的位置時(shí)，分別叫做西大距、東大距)

說(shuō)明 本題中的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)較多，閱讀量較大，不利于展示學(xué)生的“數(shù)學(xué)”學(xué)習(xí)水平.學(xué)生解題時(shí)真正的難度是閱讀文字、理解題意，而一旦理解了題意，其數(shù)學(xué)模型又較簡(jiǎn)單.創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境最好是學(xué)生身邊的、熟悉的，不能讓非數(shù)學(xué)的文字、術(shù)語(yǔ)影響了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握.文字的閱讀量也不宜過(guò)大?

6 要注意試題的呈現(xiàn)方式

很多教師更多關(guān)心試題考查的內(nèi)容，卻往往忽視了試題的呈現(xiàn)方式.其實(shí)，試題的呈現(xiàn)方式也是一個(gè)很重要的問(wèn)題，會(huì)直接影響訓(xùn)練、測(cè)試的效果.

例11 不查表，估計(jì)2002的大小應(yīng)在( )

A.42～43之間 B.43～44之間

C.44～45之間 D.45～46之間

說(shuō)明 學(xué)生試著求出42，43，44，45，46等數(shù)的平方，就可看出2002的大小范圍——解題時(shí)不需全部求出.若改為：不查表，與2002最為接近的整數(shù)是.學(xué)生須先估計(jì)，再探究，其訓(xùn)練的效果更好一些!

例12 觀察下列方程：(1)2x2-1=0，(2)2x2-5xy+6y2=0，(3)7x2-6x=0，(4)(x-1)2=x2-4. 其中一元二次方程的共有( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

說(shuō)明 本題的選擇支為“正確的答案有幾個(gè)”，這種設(shè)問(wèn)方法有一定的缺陷.如果學(xué)生對(duì)某兩個(gè)選擇支都判斷錯(cuò)誤，仍有可能選到正確的答案.新課標(biāo)要求適當(dāng)?shù)拍?，不要在概念上鉆牛角尖，但不等于不能考查學(xué)生對(duì)概念的掌握情況.怎么考，有些中考試題中的開(kāi)放題應(yīng)是不錯(cuò)的探索.可見(jiàn)，編擬試題時(shí)，選擇好考查內(nèi)容，還要考慮通過(guò)何種方式向?qū)W生呈現(xiàn).

7 避免硬性拼湊的試題

例13 有下類(lèi)說(shuō)法或解法：①用換元法解方程x2+x+1=0，設(shè)y=x2+x，則原方程可以化為y+1=2y；②平分弦的半徑垂直于弦，并且平分弦所隊(duì)的一條弧；③平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)；④“對(duì)頂角相等”的逆命題是真命題.其中正確的有( )

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

說(shuō)明 本題選擇支的內(nèi)容雜亂，把不相關(guān)的內(nèi)容拼湊在一起，只為多考查幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而沒(méi)有充分發(fā)揮選擇題的優(yōu)勢(shì).編擬選擇題時(shí)，最好圍繞一個(gè)問(wèn)題情境，從不同角度提出具有迷惑性的選擇支，考查學(xué)生思維的水平，診斷學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況.且本題的選擇支設(shè)計(jì)不合理.

圖2 例14 如圖2，在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，將該矩形沿著B(niǎo)D折疊，點(diǎn)C落在C′處，BC′交AD于點(diǎn)E.sin∠ABE=35，關(guān)于x的方程x2-8(b-1)x+4a2-48=0的兩個(gè)實(shí)根之差的平方小于128.

證明 若a，b都為整數(shù)，則反比例函數(shù)y=a+bx的解析式為xy=3.

說(shuō)明 本題中矩形的長(zhǎng)a、寬b與關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有什么內(nèi)在的聯(lián)系，只是用了同樣的字母.通常，我們利用知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系編擬試題，可以較好地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的深度和靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.但如此把不相關(guān)的內(nèi)容拼湊在一起，其綜合性和思維的深度降低，感覺(jué)也不自然.所以，在編擬習(xí)題時(shí)，應(yīng)注意知識(shí)之間內(nèi)在、合理的聯(lián)系，避免硬性拼湊.

8 避免試題的知識(shí)點(diǎn)過(guò)于集中、難度過(guò)大、缺乏梯度

圖3例15 如圖3，點(diǎn)A、B、D都在x軸上，以AB為直徑的⊙O1與以DO1為直徑的⊙O2交于點(diǎn)C、C1，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，1OA-1OB=14，拋物線(xiàn)y=ax2-2ax+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，直線(xiàn) l過(guò)C，D兩點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn) P 的坐標(biāo)；

(2)判斷點(diǎn) P 與直線(xiàn) l 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)求過(guò)點(diǎn) P 并與⊙O1相切的直線(xiàn)的解析式.

說(shuō)明 本題集中了代數(shù)、幾何較多的知識(shí)點(diǎn)，難度較大，梯度較大.試題的最佳“境界”是起步低，層次多.方法活，重本質(zhì).入手易，滿(mǎn)分難.

我們?cè)诰庍x試題時(shí)，除了要努力避免出現(xiàn)上述各類(lèi)問(wèn)題外，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注考查學(xué)生對(duì)核心觀點(diǎn)、重要的數(shù)學(xué)思想方法、基本概念、常用方法的掌握情況，還要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程與教育價(jià)值.學(xué)生的認(rèn)知風(fēng)格、數(shù)學(xué)思維特征、數(shù)學(xué)表示的偏好存在差異.好的試題，對(duì)不同的學(xué)生來(lái)說(shuō)可以有不同的解法，達(dá)到不同的層次.

作者簡(jiǎn)介：陳杰，1966年10月生，威海市教育教學(xué)研究中心，初中數(shù)學(xué)教研，中學(xué)高級(jí)教師. 主要研究中考數(shù)學(xué)命題和課堂教學(xué). 先后在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教育》、《中國(guó)電化教育》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》、《山東教育》等國(guó)家級(jí)、省級(jí)雜志上發(fā)表論文十余篇.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”