一組正方形試題的共性

謝　勇

隨著課標(biāo)教材的逐步使用，中考中與直線形相關(guān)的證明探索類(lèi)題目日漸增多，在日常教學(xué)中，有必要對(duì)其相關(guān)變化規(guī)律作以研究.本文就一組正方形試題的共性作些探討.

如圖1，AE⊥BE于E，AD⊥DC于D，BC⊥DC于C，D、E、C三點(diǎn)在一條直線上，則△ADE∽△ECB，若附加上條件AD=EC或DE=CB或AE=EB，則有△ADE≌△ECB.

接下來(lái)，我們將圖1中的△BEC沿直線CD向左平移使C、E兩點(diǎn)重合得圖2，取BF與AC的交點(diǎn)為G，則有△ADC∽△FGC∽△FCB∽△CGB.若附加上條件AD=FC或DC=CB或AC=FB，則有△ADC≌△FCB.

這兩種圖形常見(jiàn)于與三角形全等和相似有關(guān)的題目之中，其中相關(guān)結(jié)論的考查應(yīng)用頻繁出現(xiàn)在我們的視野里.由于正方形的四個(gè)角為直角可以提供線段之間的垂直條件，四條邊相等又可以提供線段相等的條件，所以正方形能很好地作為上述圖形條件的顯示載體，可以將三角形的全等和相似知識(shí)糅合進(jìn)來(lái)，這就是本文所要描述的共性特點(diǎn).那么，又如何以正方形為載體，把上述共性融進(jìn)不同的題目之中呢?下面通過(guò)幾道具體實(shí)例的解答點(diǎn)評(píng)予以說(shuō)明.

圖3例1 如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，點(diǎn)P是BC邊上不與點(diǎn)B、C重合的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長(zhǎng)為xcm，CQ的長(zhǎng)為ycm.

⑴求點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中y的最大值；

點(diǎn)評(píng) 此題由正方形條件提供了AB⊥BC、DC⊥BC，得出結(jié)論△ABP∽△PCQ成立所需的條件，接下來(lái)應(yīng)用相似三角形產(chǎn)生的相似比即可建立起y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式，結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，是文首知識(shí)的簡(jiǎn)單體現(xiàn)，表現(xiàn)出推陳出新的特點(diǎn)，以變化的形態(tài)有機(jī)的將幾何與代數(shù)結(jié)合起來(lái).

例2 如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，則可得結(jié)論：①AF=DE，②AF⊥DE.(不需要證明)

(1)如圖5，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立?(請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”)

(2)如圖6，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論①、②是否仍然成立?若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖7，在(2)的基礎(chǔ)上，連結(jié)AE和EF，若點(diǎn)M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種?并寫(xiě)出證明過(guò)程.

簡(jiǎn)解 ⑴成立.

⑵成立.

證△ADF≌△DCE，得∠AFD=∠DEC，AF=DE.又∠DEC+∠CDE=90°，

所以∠AFD+∠CDE=90°，

所以∠FGD=90°，即AF⊥DE.

⑶正方形.

證明：由三角形的中位線定理知MQ∥ED，MQ=12ED；NP∥ED，NP=12ED；MN∥AF，MN=12AF.所以MQ平行且等于NP，

所以四邊形MNPQ是平行四邊形.

又由AF=ED得MQ=MN，所以平行四邊形MNPQ是菱形.又AF⊥DE，結(jié)合平行直線最終可證得∠QMN=90°.所以菱形MNPQ是正方形.

點(diǎn)評(píng) 在本題圖4中，以正方形的形態(tài)提供了條件AD=CD和DF=CE，而將AF⊥DE作為結(jié)論予以探討，和文首知識(shí)相比具有互逆思考的特點(diǎn)，體現(xiàn)出文首所敘知識(shí)的通性、通法的地位，具有豐富的變化內(nèi)涵.接下來(lái)，運(yùn)用特殊與一般的思想在⑴、⑵兩問(wèn)中將本題圖4中的條件一般化，讓學(xué)生分析其中的共性，探求其中不變的數(shù)學(xué)結(jié)論，富有層次感.至第⑶問(wèn)，又設(shè)置出探究中點(diǎn)四邊形的問(wèn)題，將變化推到一個(gè)新的高度.從而較好地體現(xiàn)出分析問(wèn)題要按照由淺入深、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的步驟去進(jìn)行的思考特點(diǎn)，同時(shí)又展示出如何在變化中尋求共性的探究思考解決問(wèn)題的模式.

例3 已知：如圖8，在正方形ABCD中，AD=12，點(diǎn)E是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)C、D重合)，AE的垂直平分線FP分別交AD、AE、BC于點(diǎn)F、H、G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

⑴設(shè)DE=m(0

點(diǎn)評(píng) 從左側(cè)看此例圖形，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含有文首圖2那樣的基本圖形.待過(guò)點(diǎn)G作GM⊥AD于M后，借助由正方形提供的AD=AB=GM，就可證得△GFM≌△AED，據(jù)此再把條件放進(jìn)由全等三角形和相似三角形得出的相等線段和相似比中，就可一直轉(zhuǎn)化思考下去.此例綜合程度要比前兩例高些，思考起來(lái)需要學(xué)生不只是簡(jiǎn)單地對(duì)文首基本圖形結(jié)論作以了解即可，而要能對(duì)在其上覆蓋一層“外衣”后的形貌有較強(qiáng)的辨析能力，教師在教學(xué)中應(yīng)著重滲透和牽連呈現(xiàn)的也在這方面.

以上所選例題都是課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題，我們可從中感受到問(wèn)題解決過(guò)程中所蘊(yùn)涵的知識(shí)原始生成狀態(tài)以及日常數(shù)學(xué)教學(xué)中的通性、通法的體現(xiàn)，啟示教師要將最基礎(chǔ)的知識(shí)和最基本的技能有條理地滲透下去，于此基礎(chǔ)上方可求新、求異.

作者簡(jiǎn)介：謝勇，1978年5月生，中學(xué)二級(jí)教師. 參與湖北省中小學(xué)校長(zhǎng)協(xié)會(huì)科研課題"中學(xué)生心理健康調(diào)查分析"及湖北省教育科學(xué)"十一五"規(guī)劃課題"當(dāng)代中學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)方式研究"課題的研究. 近年來(lái)在《中學(xué)數(shù)學(xué)教育》、《中小學(xué)教學(xué)研究》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》等期刊報(bào)紙上發(fā)表多篇教育教學(xué)論文.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”