用探究方法求滿(mǎn)足某條件的點(diǎn)

徐　強(qiáng)

探究類(lèi)問(wèn)題是近年來(lái)中考中的一個(gè)熱點(diǎn)和亮點(diǎn)之一，由于解決這類(lèi)問(wèn)題既要有較強(qiáng)的想象能力，也要有基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能靈活運(yùn)用的應(yīng)變能力(遷移能力)，有時(shí)還需加上一定的猜想能力. 因此，在解題時(shí)，稍有不慎，往往就會(huì)出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解. 那么，如何完整合理地解決這類(lèi)問(wèn)題呢?本文就列舉關(guān)于滿(mǎn)足某條件的點(diǎn)的探究題為例，談點(diǎn)探究方法，供參考.

1 作弧探究法

例1 在等邊△ABC所在的平面內(nèi)，同時(shí)滿(mǎn)足△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)?

解 根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等性質(zhì)，所以在如圖1中，分別畫(huà)出線段AB、BC、AC的中垂線，則三條中垂線的交點(diǎn)就是符合條件的一個(gè)P1點(diǎn)，再以A為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與直線AP1交于P2，與直線CP1交于P3，與直線P1A交于P4. 同樣，以點(diǎn)B、點(diǎn)C分別為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧后則又可得到符合條件的另6個(gè)點(diǎn). 因此，滿(mǎn)足題中條件的點(diǎn)有10個(gè).

例2 如圖2，正方形ABCD所在平面上有點(diǎn)P，(如圖中所畫(huà)的點(diǎn)P1)使△PAB、△PBC、△PCD、△PAD都是等腰三角形，問(wèn)具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P有多少個(gè)?在圖中畫(huà)出來(lái).

解 在圖中分別過(guò)正方形對(duì)邊中點(diǎn)作直線EF、GH，再以點(diǎn)A、點(diǎn)C分別為圓心，以正方形ABCD的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則可得正方形內(nèi)部與兩條對(duì)邊中點(diǎn)的連線交點(diǎn)P2、P3、P4、P5，在兩條直線外部可得交點(diǎn)P6、P7、P8、P9. 因此，具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)P共有9個(gè).

例3 直線y=x-1與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，△ABC為等腰三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C最多有個(gè).

A.4 B.5 C.7 D.8

解 先作出直線y=x-1在坐標(biāo)軸中的圖像. 如圖3，因?yàn)锳(0，-1)，B(1，0)，所以O(shè)A=OB，則點(diǎn)O處就是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C，另外，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑時(shí)，畫(huà)弧與坐標(biāo)軸相交的有三個(gè)C2、C3、C4；同樣以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧又可得另三個(gè)交點(diǎn)C5、C6、C7. 因此，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C最多有7個(gè)，故選C.

2 分類(lèi)討論法

圖4例4 如圖4，點(diǎn)M是直線y=2x+3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，y軸上是否存在點(diǎn)P，使以M、N、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到(-1，1)時(shí)，y軸上存在點(diǎn)P(0，1)，此時(shí)有MN=MP，能使△NMP為等腰直角三角形，在y軸和直線上還存在符合條件的點(diǎn)P和點(diǎn)M，請(qǐng)你寫(xiě)出其它符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

解 由題意，根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到(-1，1)時(shí)，ON=1，MN=1，因?yàn)镸N⊥x軸，所以由ON=MN可知，(0，0)就是符合條件的一個(gè)P點(diǎn). 又當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到第三象限時(shí)，要MN=MP，且PM⊥MN，設(shè)點(diǎn)M(x，2x+3)，則有-x=-(2x+3)，解得x=-3，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(0，-3).

如若MN為斜邊時(shí)，則∠ONP=45°，所以O(shè)N=OP，設(shè)點(diǎn)M(x，2x+3)，則有-x=-12(2x+3)，化簡(jiǎn)得-2x=-2x-3，這方程無(wú)解，所以這時(shí)不存在符合條件的P點(diǎn).

又當(dāng)點(diǎn)M在第二象限，MN為斜邊時(shí)，這時(shí)NP=MP，∠MNM=45°，設(shè)點(diǎn)M(x，2x+3)，則OP=ON，而OP=-12MN，所以有-x=-12(2x+3)，解得x=-34，這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，34).

因此，其他符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)是(0，0)，(0，34)，(0，-3).

3 推理論證法

例5 如圖5，矩形ABCG(AB

A.0 B.1 C.2 D.3

解 此題實(shí)質(zhì)是直線BD與以AE為直徑的圓的位置關(guān)系問(wèn)題.

連結(jié)AE，并設(shè)矩形長(zhǎng)為a，寬為b，由勾股定理，則AE=(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2 . 所以此圓半徑長(zhǎng)為12AE，即122a2+2b2. 因?yàn)閳A心到直線BD的距離等于梯形ABDE的中位線長(zhǎng)，即12(a+b)，比較2a2+2b2與(a+b)的大小，只要比較2a2+2b2與(a+b)2的大小. 因?yàn)?a2+2b2-(a+b)2=(a-b)2. 因?yàn)閍≠b，且a>b，所以(a-b)2>0，則BD與以AE為直徑的圓有兩個(gè)交點(diǎn)，即使∠APE為直角的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故應(yīng)選C.

例6 如圖6，在直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=x2-x-6與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C. 如果點(diǎn)M在y軸右側(cè)的拋物線上. S△AMO=23S△COB，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)是.

解 因?yàn)閥=0時(shí)，x2-x-6=0，解這方程得x₁=-2，x₂=3. 所以A(-2，0)，B(3，0). 所以O(shè)A=2，OB=3，又由y=x2-x-6，當(dāng)x=0時(shí)，y=-6，所以O(shè)C=6. 因?yàn)镺C⊥OB，S△AMO=23S△COB，所以S△AMO=23×12OC. OB=6，設(shè)M(x璏，y璏). 則S△AMO=12×OA×|y璏|=6，因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以當(dāng)y璏=-6時(shí)，有x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=1或x璏=0(已有點(diǎn)C，不合題意，舍去)，所以M1(1，-6).

又當(dāng)y璏=6時(shí)，x2璏-x璏-6=-6，解得x璏=4或x璏=-3(不合題意，舍去)，所以M2(4，6).

因此，符合條件的點(diǎn)M有(1，-6)和(4，6).

4 綜合法

例7 在勞技課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L(zhǎng)為17厘米，寬為16厘米的長(zhǎng)方形紙上，剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為10厘米的等腰三角形(要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方形的邊上)，請(qǐng)你幫助同學(xué)們畫(huà)出示意圖，并計(jì)算剪下的等腰三角形的面積.

解 因?yàn)榈妊切蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，另兩個(gè)頂點(diǎn)又在長(zhǎng)方形邊上，17>10，16>10，所以如圖7①就是符合條件的一種情況，這時(shí)三角形的面積為S△=12×10×10=50(cm2).

又當(dāng)?shù)妊切我谎c長(zhǎng)方形雙重合量，如圖7②，因?yàn)锳D=17，所以ED=7，因?yàn)镋F=10，由勾股定理得DF=51，所以S△=12×10×51=551(cm2).

同樣，AE落在AB邊上時(shí)，以點(diǎn)E為圓心，以10cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)F，則△AEF就是符合條件的三角形，此時(shí)三角形面積為12AE·BF，因?yàn)锽E=6，EF=10，所以BF=8，所以S△=12×10×8=40(cm2)(如圖7③).

由此看來(lái)，找三角形可轉(zhuǎn)化為一邊先確定，再找出符合條件的另一個(gè)頂點(diǎn).

作者簡(jiǎn)介：徐強(qiáng)，1978年10月，中教二級(jí)，大學(xué)本科，主要研究初中數(shù)學(xué)的解題方法的總結(jié)以及怎樣培養(yǎng)學(xué)生的探究.歸納等各種數(shù)學(xué)思想.

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