向量錯解診斷

陳定昌

從概念看：向量知識中的概念較多，且給出概念的角度交叉而多變，容易因概念模糊而發(fā)生錯誤．

例1給出下列命題：

①零向量與任意向量平行，且與任意向量的數(shù)量積為零向量；

②零向量和單位向量均只有一個；

③設(shè)A，B，C為不同的三點，且存在實數(shù)λ，μ，λ+μ＝1，＝λ+μ，則A，B，C三點共線；

④若a＝ｂ＝1，ｃ＝2ａ+3ｂ，ｄ＝3ａ-2ｂ，則ｃ⊥ｄ．

其中正確命題的序號是

（填上所有正確命題的序號）．

錯解： ①②③④

正解： ③

診斷： 在“平行向量”的定義中，有“零向量”與任一向量平行的規(guī)定.而在“向量數(shù)量積”的概念中規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為零，而不是零向量.故命題①的前半部分是正確的，但后半部分是錯誤的，故①為假命題．

課本對“相等向量”的定義中，有“零向量與零向量相等”的規(guī)定，即所有的零向量都是相同的，故零向量只有一個.我們知道，單位向量是指“長度等于1個單位的向量”，方向不受限制，所以單位向量有無數(shù)個.②也為假命題．

由=λ+μ，λ+μ＝1，得=λ+（1-λ），進(jìn)而有=λ，且由已知得≠0，≠0，故根據(jù)共線向量定理可知A，B，C三點共線.所以③是真命題．

對于命題④，錯解誤以為兩單位向量是兩坐標(biāo)軸正方向上的單位向量：若ａ，ｂ分別是ｘ軸與ｙ軸方向上的單位向量，則ｃ＝（2，3），ｄ＝（3，-2）， ∵ 2×3+3×（-2）＝0， ∴ c⊥d．但已知中并未給出類似條件，故不能用此結(jié)論來判斷，因而④又是一個假命題．

預(yù)防措施： 從給出向量有關(guān)概念的四個角度來梳理概念，可大大減少此類錯誤的發(fā)生．

角度一：大?。＃┡c方向．弄清概念是只針對大小定義的，還是對大小和方向都有定義的．如單位向量僅有關(guān)于大小的定義，而實數(shù)與向量的積既有關(guān)于大小的定義，又有關(guān)于方向的規(guī)定．

角度二：非零向量與零向量．弄清定義是僅對非零向量而言的，還是兼及非零向量與零向量的，特別要注意對零向量的規(guī)定．如例1中提到的“平行向量”與“向量數(shù)量積”的概念．

角度三：“起點”與“終點”．在向量的加減運算中要弄清是“同一起點”“去掉起點”還是“起點與終點合一”的．如向量加法的“三角形”法則與“平行四邊形”法則．

角度四：“基向量表示”與向量的坐標(biāo)表示.弄清各種表示法的性質(zhì)，相互之間有什么聯(lián)系與區(qū)別．

從性質(zhì)看： 向量的方向性決定了向量運算的性質(zhì)與實數(shù)運算性質(zhì)的不同．一些同學(xué)由于對實數(shù)運算的性質(zhì)非常熟悉，而對有關(guān)向量運算性質(zhì)的了解不夠深入，所以在進(jìn)行向量運算時，時常會受實數(shù)運算性質(zhì)的干擾導(dǎo)致錯誤．

例2已知命題：

①若a≠0，b∈R，且ba=0，則b=0；

②若a·b=0，則a=0或b=0；

③若a+b=a+ｂ，則a與b方向相同；

④（a·b）ｃ-（a·ｃ）ｂ＝0；

⑤（a+b）（a2-a·b+ｂ2）＝a3+ｂ3．

其中正確的命題個數(shù)為

（A） 1 （B） 2

（C） 4 （D） 5

錯解： D

正解： A

診斷： ①真．由“實數(shù)與向量的積”的定義可知（與實數(shù)運算中的“a≠0，ba=0，則b=0”類似）．

②假．錯因：與實數(shù)的性質(zhì)：“當(dāng)a，b都是實數(shù)時，若ab=0，則a=0或b=0”進(jìn)行了錯誤類比．根據(jù)“兩向量垂直”的定義，當(dāng)a≠0，b≠0，而a⊥b時，也有a·b=0.

③假．錯因：未考慮零向量的向量本質(zhì)．當(dāng)a或b中有一個為零向量時，該等式也成立，但此時兩向量的方向不相同．

④假．（a·b）ｃ的結(jié)果是與c方向相同的向量，而（ａ·c）b的結(jié)果是與b方向相同的向量，因此向量的乘法不能像實數(shù)乘法那樣隨意交換因子．

⑤假．錯因：盲目類比實數(shù)運算中的“立方和公式”．事實上，從形式上看，等式的左邊為向量，而右邊為非零實數(shù)，故兩邊不可能相等．

預(yù)防措施： 經(jīng)常進(jìn)行類比思考，弄清楚向量運算性質(zhì)與實數(shù)運算性質(zhì)的相同、相近和不同點，明確要注意的問題，可較快提高在這個方面的“抗錯”能力．

從應(yīng)用看：用向量知識求解綜合性問題或?qū)嶋H問題時，弄清問題中的向量的意義乃是解決問題的關(guān)鍵，不然的話，就容易出錯.

例3將函數(shù)ｙ＝-2（ｘ-2）2-1的圖像按向量ａ平移，使得拋物線的頂點在ｙ軸上，且在ｘ軸上截得的弦長為4，則向量ａ=.

錯解： （2，9）

正解： （-2，9）

診斷： 圖像按向量ａ＝（ｍ，ｎ）平移的意義，是圖像向左右與上下進(jìn)行的平移.當(dāng)ｍ＜0時向左平移ｍ個單位，當(dāng)ｍ＞0時向右平移m個單位；當(dāng)ｎ＜0時向下平移ｎ個單位，當(dāng)ｎ＞0時向上平移ｎ個單位，也即是用（ｘ-ｍ，ｙ-ｎ）代替原函數(shù)式中的（ｘ，ｙ）.

本題可從將圖像先左右平移后上下平移來考慮，將ｙ＝-2（ｘ-2）2-1的圖像向左平移2個單位，則拋物線的頂點在ｙ軸上，此時函數(shù)變?yōu)椋?2ｘ2-1；再將拋物線ｙ＝-2ｘ2-1向上平移9個單位，滿足“在ｘ軸上截得的弦長為4”，若圖像是按向量ａ進(jìn)行平移的，則ａ＝（-2，9）．錯解不清楚按向量平移的幾何意義，從而誤以為ａ的橫坐標(biāo)就是2．

預(yù)防措施： 在審題時注意問題本身的向量意義，可有效防范此類錯誤的發(fā)生.一般情況下，對以向量形式給出條件的問題，首先應(yīng)弄清向量的幾何意義；而考慮用向量知識求解問題時，則應(yīng)首先理解問題中已知條件、所求結(jié)論的向量意義．

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