中考規(guī)律探索題中的新類型

規(guī)律探索題主要考查學(xué)生的觀察、聯(lián)想、實(shí)驗(yàn)、推理和總結(jié)應(yīng)用能力.2007年中考試題中的規(guī)律探索題對(duì)學(xué)生觀察角度要求比較高，有些規(guī)律需要從多個(gè)角度進(jìn)行聯(lián)想，需要作進(jìn)一步的分析驗(yàn)證才能找到規(guī)律；有些是與其他幾何知識(shí)結(jié)合，具有一定的數(shù)學(xué)思想，規(guī)律探索題在題型、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)上與往年相比有較大的創(chuàng)新，思考視野更開闊，知識(shí)交叉應(yīng)用層面也更具有思想性.以下幾例是2007年部分地市有關(guān)規(guī)律的中考題，本人作了分析，供大家參考.

⒈探求圖表填數(shù)規(guī)律

例1：（2007年廣西壯族自治區(qū)）填在下面3個(gè)田字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，C =．

分析：本題表格內(nèi)數(shù)的分布規(guī)律是：左上、右上、左下3格數(shù)構(gòu)成奇數(shù)順序排列，右下格內(nèi)的數(shù)等于上行格內(nèi)數(shù)之和與左下格內(nèi)數(shù)的積，這里求C與求A、B是兩個(gè)不同的思考角度，對(duì)部分學(xué)生是一個(gè)考驗(yàn).可得A=7，B=9，C=108.

例2：（2007年內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市）觀察表1，尋找規(guī)律．表2是從表1中截取的一部分，其中a，b，c的值分別為（）.

A．20，25，24B．25，20，24

C．18，25，24D．20，30，25

分析：從表1可看出格內(nèi)數(shù)的規(guī)律：格內(nèi)數(shù)等于行標(biāo)乘以列標(biāo).表2格中數(shù)16、20可看作為4×4、4×5，即這二數(shù)分別是第四列中的第四行和第五行數(shù)；表2中30看作第五列第六行數(shù)，本題關(guān)鍵是分解16、20、30時(shí)行數(shù)、列數(shù)能對(duì)上號(hào)；可得a=5×4=20，b=5×5=25，c=4×6=24.

2.探求數(shù)字排列規(guī)律

例3：（2007年山東省濟(jì)南市）世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示，則排在第10行從左邊數(shù)第3個(gè)位置上的數(shù)是（）.

本題的規(guī)律要從呈三角形的數(shù)之間的和差關(guān)系中找，很多學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)一下子不適應(yīng).

3.利用構(gòu)造探求規(guī)律

分析：對(duì)問（1）：思維角度1：用高斯方法求1＋2＋3＋4＋……＋n的和，考慮n的奇偶性，需要用分類方法討論.這對(duì)部分學(xué)生來說有難度，同時(shí)讓學(xué)生感覺解題方法枯燥無味；思維角度2：采用題目引導(dǎo)的用數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造平行四邊形方法求和，這是比較直觀，容易理解，同時(shí)具有趣味性的好方法.如圖2構(gòu)造平行四邊形，因?yàn)榻M成此平行四邊形的小圓圈共有n 行，每行有（n＋1）個(gè)，所以組成此平行四邊形的小圓圈共有n（n+1）個(gè)．要算 4.探求圖形變換規(guī)律

例5：（2007年江蘇省連云港市）如圖5-1，在6×6的方格紙中，給出如下3種變換：P變換，Q變換，R變換．將圖形F沿x軸向右平移1格得圖形F1，稱為作1次P變換；將圖形F沿y軸翻折得圖形F2，稱為作1次Q變換；將圖形F繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得圖形F3，稱為作1次R變換．規(guī)定：PQ變換表示先作1次Q變換，再作1次P變換；QP變換表示先作1次P變換，再依1次Q變換；Rn變換表示作n次R變換．解答下列問題：

（1）作R4變換相當(dāng)于至少作次Q變換；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D5-2中畫出圖形F，作R2007變換后得到的圖形F4；

（3）PQ變換與QP變換是否是相同的變換？請(qǐng)?jiān)趫D5-3中畫出PQ變換后得到的圖形F5，在圖5-4中畫出QP變換后得到的圖形F6．

分析：本題新定義的3種變換，需要探索每種變換的圖像位置變化規(guī)律、組合變換的圖像位置區(qū)別，要從多個(gè)層面去思考；各種變換特點(diǎn)：Q變換規(guī)律是偶次變換圖形之間重合，奇次變換圖形之間也互相重合；R變換，每4次變換重復(fù)1次，PQ變換與QP變換，由于其變換先后順序不同，因此變換后的圖形位置有區(qū)別.

簡解：（1）2次；（2）從旋轉(zhuǎn)角度考慮圖形的位置，2007×90°=501×360°＋270°，如圖5-2變換圖即是圖形F作R2007變換后得到的圖形F4；

（3）如圖5-3變換圖即是PQ變換后得到的圖形F5；如圖5-4變換圖即是QP變換后得到的圖形F6.

5.探求縮放旋轉(zhuǎn)規(guī)律

例6：（2007年四川省樂山市）如圖6，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(1，0)，將線段OP0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP0的2倍，得到線段OP1；又將線段OP1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP2；如此下去，得到線段OP3，OP4，……，OPn（n為正整數(shù)）.

（1）求點(diǎn)P6的坐標(biāo)；

（2）求△P5 O P6的面積；

（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)Pn（xn，yn）（n=1，2，3，……）的橫坐標(biāo)xn、縱坐標(biāo)yn都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)

（|xn|，|yn|） 稱之為點(diǎn)Pn的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)Pn的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)Pn的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫出來．

分析：本題具有“旋轉(zhuǎn)、相似”結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，只要抓住在旋轉(zhuǎn)過程點(diǎn)Pn位置及OPn的長度即可.從點(diǎn)P0到點(diǎn)Pn旋轉(zhuǎn)角度是45°n，OPn的長度為2n；對(duì)問（2）：可根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求面積，也可以根據(jù)相似三角形求面積.對(duì)問（3）：根據(jù)圖形可觀察到點(diǎn)分布在坐標(biāo)上和象限的角平分線上，只要算出OPn的長度即可.

略解：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)規(guī)律，點(diǎn)P6落在y軸的負(fù)半軸，而點(diǎn)Pn到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離始終等于前一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，故其坐標(biāo)為P6（0，26），即P6（0，64）．

③當(dāng)n=8k+2或n=8k+6時(shí)（其中k為自然數(shù)），點(diǎn)Pn落在y軸上，此時(shí)，點(diǎn)Pn的絕對(duì)坐標(biāo)為（0，2n）．

應(yīng)對(duì)規(guī)律探索題的最佳策略是培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析能力，平時(shí)教學(xué)中對(duì)這類題型能加以思維訓(xùn)練，主要以開拓分析視野為主，能根據(jù)題目信息展開思維聯(lián)想，尋找解題切入口，對(duì)多層面題型能作適當(dāng)推理、驗(yàn)證、歸納總結(jié)，以提高學(xué)生的綜合探索能力，解決有關(guān)的探索問題.

（作者單位：浙江省象山縣東陳中學(xué)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。