體驗(yàn)問題過程 感知數(shù)學(xué)知識

數(shù)學(xué)教學(xué)不只是傳授數(shù)學(xué)知識，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獲取新知識的能力，并使知識處于一個優(yōu)化的知識結(jié)構(gòu)里面，不會處于“游離狀態(tài)”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)做到： 例題教學(xué)，暴露真實(shí)思考過程；公式探究，滲透思想方法；習(xí)題診斷，展示思維過程；問題設(shè)計(jì)，引起數(shù)學(xué)思考；鼓勵合作，交流應(yīng)用過程.充分暴露數(shù)學(xué)思維的過程，把知識的產(chǎn)生、形成過程展現(xiàn)給學(xué)生，這是一條根本的途徑.

一、例題教學(xué)，暴露真實(shí)思考過程

挫折和失敗能鍛煉人的意志，能使人變得“聰明”起來.教師在分析幾何證明題時，從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，有意識、有目的地帶領(lǐng)學(xué)生走一些“彎路”，使學(xué)生經(jīng)歷“挫折”鍛煉.當(dāng)一條路走不通時，回頭再走另一條路，若走的仍是“死路”，就再換一條路線，直至找到正確的路.如果對學(xué)生能經(jīng)常進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，那么當(dāng)他們一旦以一種方法證題未果時，就不會發(fā)慌、急躁，甚至失去了繼續(xù)證題的信心，而會冷靜地再換一個角度分析問題，尋找新的“出路”.

比如，在講解以下這道題時，我就不急于告訴學(xué)生答案，不給學(xué)生認(rèn)為老師怎么一眼就能看出解題過程的感覺，而是帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷諸多“挫折”，從挫折中找尋正確的答案.

例題：如圖，在△ABC中，分別以AB、BC、CA為邊在BC的同側(cè)向外作正三角形ABD、BCE、CAF.求證：DC=BF.

分析：要證明DC=BF，只須證明它們所在的兩個三角形全等，即△DCB、△DCA中的一個與△BFC、△BFA中的一個全等，且DC與BF是對應(yīng)邊.

先考慮△DCB與△BFC，它們只有一個相等條件：公共邊BC，DB與CF不一定相等，所以無法證明它們?nèi)?再考慮△DCB與△BFA，它們也有一個相等的條件：BD=BA，再也找不到其他相等的條件了，無法證明它們?nèi)?接著考慮△DCA與△BFC，它們有一個組邊相等：AC=CF，其他相等條件不具備，無法證明它們?nèi)?在走了這么多的“彎路”之后，再繼續(xù)分析.再看△DCA與△BFA，在這兩個三角形中，已經(jīng)有AC=AF，AD=AB，知道了兩個“S”時有兩種思路：“SSS”和“SAS”，若要用“SSS”，就需知道或證明第三個“S”，但第三個“S”就是我們需要證明的，所以不能用“SSS”證明全等.因此，只能用“SAS”來證明它們?nèi)?

經(jīng)常進(jìn)行這樣的教學(xué)，能使學(xué)生對解題過程有一個正確的認(rèn)識，使他們清醒地認(rèn)識到解題過程實(shí)際上是一個摸索、探索、嘗試的過程，不可能每次都那么“巧”，當(dāng)以某種方法無法使問題獲解時，不應(yīng)手忙腳亂、喪失信心，應(yīng)該學(xué)會換一個角度去思考，直至問題獲解.

二、公式探究，滲透思想方法

數(shù)學(xué)教學(xué)中通過學(xué)生與老師心與心的交流，能產(chǎn)生心靈的感應(yīng)，引起心弦的共振，使學(xué)生在體驗(yàn)、感悟的過程中不知不覺地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使學(xué)生的思維不斷得到發(fā)展.

例如浙教版七年級下冊“用乘法公式分解因式”第一課時“用平方差公式分解因式”.

用一張如圖1的紙剪拼成長方形，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣剪？你能給出數(shù)學(xué)解釋嗎？

一個學(xué)生想到剪下一個小的長方形，放到長方形的另一側(cè)，得到一個大的長方形（如圖2），由于原圖形的面積為a2-b2，而拼成的長方形的長為a+b，寬為a-b，則有a2-b2=（a+b）（a-b），而另一個學(xué)生說可剪成兩個梯形（如圖3），不也可以拼成長方形（如圖4）嗎？也能得到a2-b2=（a+b）（a-b）.

這時，老師小結(jié)了平方差公式的幾何意義，之后，讓學(xué)生想一想，還有沒有其他不同的想法可以來表示平方差公式的幾何意義.下面有幾個學(xué)生在本子上畫著，討論著，興致很高.

學(xué)生A迫不及待地站了起來：“老師，這樣表示可以嗎？”原來，此學(xué)生將原圖形拼成了平行四邊形（如圖5），利用平行四邊形的面積公式：底乘以高，也能得到a2-b2=（a+b）（a-b）.

學(xué)生B興奮地說：“老師，也可以拼成梯形（如圖6），上底為2b，下底為2a，高為（a-b），能得到a2-b2=（a+b）（a-b）啊 ！”

學(xué)生C接著說：“老師，我認(rèn)為根本不需要拼接，剪成兩個相等的梯形，一個梯形的面積為，兩個梯形面積的和就是（a+b）（a-b） .”是啊，怎么大家都想去拼成一個圖形，可能前面的提法抑制了學(xué)生的思維發(fā)展，實(shí)際上直接分成的兩個梯形面積相加不是更好嗎？只要學(xué)生自己想學(xué)、想知道問題的解決方法，不正是我們課堂所期望的嗎？

用圖形的面積來解釋平方差公式的變形，這是一種學(xué)生易于接受的方式，也是對數(shù)形結(jié)合思想的進(jìn)一步滲透.事實(shí)上，圖形的面積和代數(shù)恒等式之間的關(guān)系也是“面積法”解題的本質(zhì)，但不是點(diǎn)到為止，僅僅局限于拼成長方形，而是讓學(xué)生去思考還有哪些不同的拼法也能說明平方差公式的幾何意義.這樣讓學(xué)生有意識地去探究，去尋求解決問題的方法，可以使學(xué)生的思維空間被打開，有助于提高學(xué)生的思維能力.

三、習(xí)題診斷，展示思維過程

在教學(xué)中，教師在為學(xué)生糾謬救失時，不要過早地下結(jié)論，不要過早地點(diǎn)明，應(yīng)該從暴露學(xué)生失誤原因入手，啟發(fā)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)，自我感悟，自我糾正，以便從深層次上做診斷和矯治.

生：老師，我知道了， 以后再也不會出現(xiàn)這樣的錯誤了.

在習(xí)題診斷中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言說出解決問題的過程和策略，給足學(xué)生說話的機(jī)會和時間，鼓勵學(xué)生積極地說，大膽地說，充分暴露他們的思維過程，以便發(fā)現(xiàn)新的更好的解法以及尋找錯誤的原因.試想，如果教師不去問，不去讓學(xué)生說出自己的思維過程，就失去了了解學(xué)生思維過程的機(jī)會，也失去了學(xué)生自由表達(dá)數(shù)學(xué)思想提高自信心的機(jī)會.

四、問題設(shè)計(jì)，引起數(shù)學(xué)思考

問題串的設(shè)計(jì)可以展示知識的形成與發(fā)展的過程，為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭梯架橋，通過學(xué)生的解答可了解學(xué)生全面的學(xué)習(xí)狀態(tài).

如在分式方程解法教學(xué)時，我設(shè)計(jì)了下面的問題串：

（3）你得到的值是方程的解嗎？

（4）以后再解分式方程時你有什么經(jīng)驗(yàn)？

（5）請你總結(jié)解分式方程的步驟.

問題（1）為學(xué)習(xí)新知識做鋪墊；問題（2）嘗試運(yùn)用舊方法解決新問題；問題（3）學(xué)生通過檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)新舊知識之間的區(qū)別，通過發(fā)現(xiàn)錯誤得到提高；問題（4）對學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)加以強(qiáng)化；問題（5）使學(xué)生解決問題的經(jīng)歷條理化、系統(tǒng)化，從而獲得新方法.根據(jù)學(xué)生對以上問題的回答，不僅可以對學(xué)生的知識儲備、思維水平得到全面的了解，還可以看出學(xué)生是否能利用類比、轉(zhuǎn)化等思想方法獲取新知識，能否對自己的思考過程進(jìn)行總結(jié)與反思，從而改變了傳統(tǒng)的重結(jié)果輕過程的評價.

五、鼓勵合作，交流應(yīng)用過程

有的教師可能已經(jīng)把教材內(nèi)容講明白，概念、例題、重點(diǎn)、難點(diǎn)、注意事項(xiàng)面面俱到，課堂上盡量減少學(xué)習(xí)的困難，讓學(xué)生走了一條平坦的路.把學(xué)生當(dāng)作知識的儲存器，以后他們一直需要得到老師的指導(dǎo)才能完成面前的學(xué)習(xí)任務(wù).只顧及短期教育目標(biāo)，學(xué)生獲得后繼知識的再生能力無法提高.教師要改變以例題示范、講解為主的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生投入到探索與交流的學(xué)習(xí)活動中，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程不受教師“先入為主”的觀念制約.應(yīng)有足夠的時間供學(xué)生思考，給學(xué)生以盡可能交流學(xué)習(xí)的機(jī)會.

在學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系之后，為提高學(xué)生學(xué)習(xí)綜合運(yùn)用知識的能力，課堂設(shè)計(jì)提出如下題目：

好的學(xué)生不希望別人告訴他應(yīng)該怎樣解.教師講得越多，學(xué)生就越笨.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)的過程是學(xué)生頭腦中構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是學(xué)生的一種自主性行為，用自身的創(chuàng)造活動感受數(shù)學(xué)是做出來的，不是教出來的.

師：以上兩位同學(xué)用不同的方法解出了這道題，很好.還有其他解法嗎？（原以為完滿結(jié)束解題的學(xué)生又開始緊張地思考.）垂直條件可否利用？（教師指導(dǎo)多少應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際水平而定.）

生3： 連結(jié)AO、BO、CO（如圖9），利用面積關(guān)系：Ｓ△ABC=Ｓ△ABO+Ｓ△BCO+Ｓ△ACO，得：AB·BC= r (AB+BC+AC) ， 本題目可解.（最后教師引導(dǎo)分析一題多解的思維過程略.）

本例通過以一題多解激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探索精神，讓學(xué)生積極參與整個教學(xué)過程，培養(yǎng)學(xué)生綜合解題能力.學(xué)生的表現(xiàn)告訴我們一個道理，為了取得教學(xué)過程與知識的形成發(fā)展過程、學(xué)生的思維過程同步協(xié)調(diào)的理想效果，離不開靈活多樣的教學(xué)方法、教學(xué)手段的配合，單純運(yùn)用講授法往往達(dá)不到目的，要適當(dāng)采用動手實(shí)踐、自主探索、合作交流、提問質(zhì)疑等方法，才能充分發(fā)揮學(xué)生主體參與作用，才能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（作者單位：浙江省平陽縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)）