探索不等式應(yīng)用的方法

（本節(jié)課選自人教版義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》七年級下冊第九章第2節(jié).）

▲設(shè)計理念

生活中，人們經(jīng)常會遇到一些亟待解決的現(xiàn)實問題.如：選擇哪家商場購物更實惠？到哪家旅行社更優(yōu)惠等.本節(jié)以此為鋪墊，通過學(xué)生去商場購物，節(jié)假日去旅游，遇到生活中的實際問題如何解決而設(shè)計的.在本節(jié)互動的學(xué)習(xí)中，要充分注意到不等式的現(xiàn)實背景，通過大量豐富的實際問題，反映出不等式來自于生活實際又服務(wù)于生活實際，加強對不等式是解決現(xiàn)實問題的一種重要數(shù)學(xué)模型的認識.力求充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)性，數(shù)學(xué)方法的靈活性，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，教師教學(xué)的主導(dǎo)性.促進學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，引導(dǎo)學(xué)生從身邊的實際問題研究起，主動收集尋找“現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”學(xué)習(xí)材料，并使其更多地進行數(shù)學(xué)活動和交流.在主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力，體會數(shù)學(xué)思想方法.

▲教材分析

本節(jié)從生活中常見的購物問題說起，教材中有兩個優(yōu)惠方案，它們的優(yōu)惠起點是具有關(guān)鍵意義的數(shù)據(jù).需要根據(jù)這些數(shù)據(jù)分情況討論問題，審題中抓住關(guān)鍵，分類考慮是需要培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，教學(xué)中應(yīng)予以關(guān)注.教材中對這個問題采用了有放有收的做法，重點討論第三種情形.這也是最為復(fù)雜的情形，需要列不等式解決，而另兩種情形留給學(xué)生自己考慮.這類問題很有代表性，讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高分析問題、解決問題的能力.

▲學(xué)情分析

本節(jié)的學(xué)習(xí)對象是七年級下學(xué)期的學(xué)生，他們對以方程為代表的數(shù)學(xué)模型已有一定認識，教學(xué)中可以適當出現(xiàn)“數(shù)學(xué)模型”一詞.考慮到學(xué)生已對本節(jié)問題有了初步印象，想去嘗試并探索此類問題，再結(jié)合具體例子來體現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的意義和作用，反復(fù)強調(diào)利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的作用，繼續(xù)突出建立數(shù)學(xué)模型解決問題的思想.從多種角度啟發(fā)學(xué)生思考數(shù)量之間的大小關(guān)系，借助數(shù)軸等直觀圖形以及表格、式子等進行分析，尋找不等式關(guān)系的數(shù)學(xué)化表達方式，檢驗不等式本身及它的解的合理性.結(jié)合實際情況，選擇貼近學(xué)生生活且適合學(xué)生認知水平的問題，引導(dǎo)學(xué)生探索用不等式為工具來分析、解決本節(jié)的實際問題.

▲教學(xué)目標

知識與技能：

1.列一元一次不等式解決具有不等關(guān)系的實際問題.

2.進一步掌握一元一次不等式的解法.

解決問題：

通過列一元一次不等式解決具有不等式關(guān)系的實際問題，讓學(xué)生體會不等式是解決實際問題的有效的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展學(xué)生具備由實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題的能力.

情感與態(tài)度：

1.通過運用一元一次不等式解決實際問題，進一步強化用數(shù)學(xué)的意識，從而使學(xué)生樂于接觸社會環(huán)境中的數(shù)學(xué)信息，愿意談?wù)撃承?shù)學(xué)話題，能夠在數(shù)學(xué)活動中發(fā)揮積極作用.

2.通過探索增進學(xué)生之間的配合，使學(xué)生敢于面對數(shù)學(xué)活動中的困難，并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.

▲教學(xué)重、難點

重點：由實際問題中的不等關(guān)系列出不等式，并解出不等式的解.

難點：列一元一次不等式描述實際問題中的不等關(guān)系.

▲教學(xué)方法

設(shè)計逛商場、旅游等動畫情境，讓學(xué)生相互交流共同完成學(xué)習(xí)任務(wù).

▲教學(xué)手段

以多媒體課件為輔助教學(xué)手段.

▲教學(xué)流程

一、創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（看大屏幕）

同學(xué)們，我們已經(jīng)布置了課外作業(yè)，讓同學(xué)們?nèi)ス渖虉?，看一看商品的價格，到哪家商場購物更優(yōu)惠？大家遇到哪些數(shù)學(xué)問題？（學(xué)生異口同聲地說有，積極性非常高.有的小組遇到了實際問題，派出了代表.）

問題一：我們到了兩家商店，分別為甲、乙商店，都以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的方案：在甲商店累計購買100元商品后，再購買的商品按原價的90%收費；在乙商店累計購買50元商品后，再購買的商品按原價的95%收費.我們不知道該選擇哪家商店購物更優(yōu)惠？請老師和同學(xué)幫我們出主意.

那好，本節(jié)課我們就從這組同學(xué)的問題出發(fā)來研究“實際問題與一元一次不等式”.

[設(shè)計意圖：通過讓學(xué)生觀看動畫，利用休息時間去逛商場購物等方式，讓學(xué)生體會到如何解決生活當中發(fā)生在自己身邊的數(shù)學(xué)問題，產(chǎn)生了求知欲.為此，通過豐富的問題情境激發(fā)學(xué)生的探究興趣，使學(xué)生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再加以解決的完整過程.]

二、探究新知學(xué)習(xí)新課

（一）想一想

1.甲商店購物款達多少元后可以優(yōu)惠？

2.乙商店購物款達多少元后可以優(yōu)惠？

3.如果累計購物不超過50元，則在兩商店購物花費有區(qū)別嗎？

[設(shè)計意圖：從學(xué)生已有的生活實際經(jīng)驗出發(fā)，通過對問題中數(shù)量關(guān)系的分析，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)變比較簡單易理解的問題，獲得解決問題的方法.]

（二）試一試

現(xiàn)在有4個人，準備分別消費40元、80元、140元、160元，那么去哪家商店更合算？為什么？

[設(shè)計意圖：通過試一試，使學(xué)生敢于面對數(shù)學(xué)活動中的困難，并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.]

（三）議一議

1.如果累計購物超過100元，那么在甲商店購物花費少嗎？

2.累計購物超過100元而不到150元時，在哪個商店購物花費少？

3.累計購物恰好是150元時，在哪個商店購物花費少？

[設(shè)計意圖：通過數(shù)學(xué)活動和互相交流.在主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的過程中獲得知識，培養(yǎng)合作意識，體會建模的數(shù)學(xué)思想方法.]

（四）解一解

根據(jù)甲、乙商店的銷售方案，顧客選擇哪家商店能獲得更大優(yōu)惠？你能為消費者設(shè)計一套方案嗎？

解：設(shè)累計購物x元（x＞100），如果在甲店購物花費小，則：

50+0.95（x-50）＞100+0.9（x-100）

去括號，得：

50+0.95x-47.5＞100+0.9x-90.

移項且合并，得：

0.05x＞7.5.

系數(shù)化為1，得：

x＞150.

這就是說，累計購物超過150元時，在甲商店購物花費少；累計購物超過100元而不到150元時，在乙店購物省錢；累計恰好150元時，在兩個商店購物花費一樣.

[設(shè)計意圖：通過應(yīng)用一元一次不等式描述不等式關(guān)系解決實際問題的過程，進一步發(fā)展學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，經(jīng)過具體的訓(xùn)練，體會不等式是解決實際問題的有效工具.]

（五）師生共同歸納解題思路

[設(shè)計意圖：及時幫助學(xué)生分析在探究過程中遇到的問題，鼓勵探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，類比一元一次方程的解法，歸納出解一元一次不等式的基本過程，從而進一步完善已有的知識體系.]

問題二：甲、乙兩家商店出售同樣的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每只定價都是40元，乒乓球都是2元.兩家商店的優(yōu)惠辦法不同：甲商店是購買一只乒乓球拍贈送1個乒乓球；乙商店是按銷售價的96%收款.某校需要購買4只乒乓球拍，若干個（超過4個）乒乓球，去哪家商店購買更優(yōu)惠？

1.學(xué)生分組討論.

2.教師參與討論，做適當指導(dǎo)，同時要關(guān)注：

（1）學(xué)生能否獨立思考，能否通過討論交流運用一元一次不等式這一工具解決問題.

（2）學(xué)生解決問題的能力.

[設(shè)計意圖：通過對學(xué)生身邊的、現(xiàn)實的、有意義的問題進行研究，進一步突出一元一次不等式這種數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性，使學(xué)生能在更加貼近實際問題情境中運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進一步提高分析問題的能力.并提供給學(xué)生利用一元一次不等式進行具有一定深度的思考的機會，從而使他們善于發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問題，獲得更多的解決問題的經(jīng)驗.]

三、鞏固訓(xùn)練能力提升

1.小張賣襯衫，某次進一批貨，總價值18000元，零售時每件賣250元，則他至少要賣出（ ）件才不會虧本.

A.70 B.72 C.80 D.82

2.某班幾個學(xué)生合影留念，每人交0.70元，已知一張彩色底片0.68元，擴印一張相片0.50元，每人分一張，在將收來的錢盡量用掉前提下，這張相片上的同學(xué)最少有（ ）個人？

A.2 B.3 C.4D.5

3.要把面值為100元的人民幣換成面值為20元、10元的人民幣，共有（ ）種換法.

A.5 B.6 C.8D.10

4.小明用100元錢購物得筆記本和鋼筆共50件，已知每本筆記本2元，每支鋼筆5元，那么小明最多能買（ ）支鋼筆？

A.12B.13C.14 D.15

5.某種肥皂廠原零售價每塊2元，凡購買2塊以上（含2塊），商場推出兩種優(yōu)惠辦法.第一種：“1塊按原價，其余按原價的7折優(yōu)惠”；第二種：“全部按原價的8折優(yōu)惠”.你在購買同數(shù)量的情況下，要使第一種辦法比第二種辦法得到的優(yōu)惠多，最少需要購買肥皂（ ）塊？

A.5 B.4 C.3D.2

[設(shè)計意圖:通過體驗解決問題的全過程.形成解決問題的一些基本策略，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神，進一步體會小組活動在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用，使學(xué)生敢于面對數(shù)學(xué)活動中的困難，并有克服困難和運用知識解決問題的成功體驗，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.]

四、知識回顧歸納總結(jié)

學(xué)生獨立思考、回答、補充.可以采用小組互問互答的方式，教師做適當指導(dǎo)，同時關(guān)注學(xué)生：

1.不同層次學(xué)生對本節(jié)知識的認識程度.

2.學(xué)生在談收獲時對不同方面的感受.

3.學(xué)生獨立面對困難和克服困難的能力.

[設(shè)計意圖：通過激發(fā)學(xué)生的主動參與意識，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都創(chuàng)造在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中獲得成功的體驗機會，并為程度不同的學(xué)生提供充分展示自己的機會.]

五、布置作業(yè)鞏固新知

1.基礎(chǔ)作業(yè)：教材140頁2題，141頁5題.

2.課外研究：某中學(xué)為籌備校慶活動，準備印制一批校慶紀念冊，該紀念冊需要10張8開大小的紙，其中4張為彩頁，6張為黑白頁.印制該紀念冊的總費用由制版費和印刷費兩部分組成，制版費與印數(shù)無關(guān)，價格為：彩頁300元/張，黑白頁50元/張.印刷費與印數(shù)的關(guān)系如下表：

印數(shù)a（千冊） 1≤a≤5 5≤a≤10

彩色（元/張） 2.20 2.00

黑白（元/張） 0.70 0.60

（1）印制這批紀念冊的制版費為元；

（2）若印制2000冊，則共需多少費用？

[設(shè)計意圖：及時了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，調(diào)整教學(xué)安排；通過課后探究，獨立思考，自我評價學(xué)習(xí)效果；學(xué)生反思，發(fā)現(xiàn)問題；通過閱讀教材，查找資料或與同學(xué)交流尋求解決問題的方法.]

（作者單位：訥河市團結(jié)中心學(xué)校）