“韋達(dá)定理的應(yīng)用”教學(xué)紀(jì)實(shí)與評(píng)析

（本課選自人教版九年義務(wù)教育四年制初級(jí)中學(xué)教科書(shū)《代數(shù)》第三冊(cè)§12.4第二小節(jié).）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握韋達(dá)定理，并能巧妙靈活地利用韋達(dá)定理解決問(wèn)題.

2.逐步培養(yǎng)學(xué)生的變式思維和發(fā)散思維.

3.激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高其探索數(shù)學(xué)知識(shí)的積極性.培養(yǎng)學(xué)生一題多解、一題多變，善于思考問(wèn)題本質(zhì)的能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：對(duì)一類(lèi)數(shù)學(xué)知識(shí)的拓寬和韋達(dá)定理的應(yīng)用.

2.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題.

三、教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)提問(wèn)

師：同學(xué)們，你們學(xué)過(guò)韋達(dá)定理嗎？

生：（齊答）學(xué)過(guò).

師：好！哪位同學(xué)能寫(xiě)出定理呢？

（學(xué)生爭(zhēng)著舉手，熱情很高.）

生：韋達(dá)定理的內(nèi)容是兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)的系數(shù).

師：哪位同學(xué)有異議？（部分學(xué)生舉手.）

生：我認(rèn)為前面同學(xué)說(shuō)得不完整，韋達(dá)定理應(yīng)這樣表述：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的兩根分

師：好！這位同學(xué)表達(dá)得非常準(zhǔn)確，請(qǐng)同學(xué)們一定要注意韋達(dá)定理只適用于一元二次方程.

師：韋達(dá)定理是初中代數(shù)中一個(gè)非常重要的定理.通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為韋達(dá)定理有哪些應(yīng)用呢？（稍停片刻，找?guī)酌麑W(xué)生口述.）

生：利用韋達(dá)定理可求值.

生：利用韋達(dá)定理可構(gòu)造方程.

生：利用韋達(dá)定理可進(jìn)行恒等變形.

師：同學(xué)們說(shuō)得都很好.韋達(dá)定理除以上應(yīng)用之外，這節(jié)課我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)一下韋達(dá)定理在其他類(lèi)型題上的應(yīng)用.

[評(píng)析：通過(guò)對(duì)韋達(dá)定理的復(fù)習(xí)，能使學(xué)生進(jìn)一步掌握韋達(dá)定理的基本內(nèi)容，并使學(xué)生對(duì)韋達(dá)定理有一個(gè)初步的總結(jié)和歸納.從而很好地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)、總結(jié)、歸納的數(shù)學(xué)思想.]

2.新課過(guò)程

例1：已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b.求：a+b的值.

師：我們分4個(gè)小組，然后每小組選一個(gè)代表談本組的做法.

（給學(xué)生5分鐘時(shí)間，班級(jí)很靜，給學(xué)生營(yíng)造了很好的學(xué)習(xí)氣氛.）

第1組：我們組認(rèn)為可分別求出a、b的值，然后再求a+b的值.

第2組:我組認(rèn)為：a2-3a+1=b2-3b+1，∴a2-b2-3a+3b

=0，(a-b)(a+b-3)=0.∵a≠b，∴a+b-3=0.即：a+b=3.

第3組：我組認(rèn)為：第一組雖然能求出a+b的值，但解方程不好解，特別是一元二次方程的系數(shù)比較大時(shí)，更不好解.（此時(shí)一個(gè)學(xué)生補(bǔ)充：方程還可能出現(xiàn)無(wú)解的情況，這時(shí)如何求a、b的值呢？所以我認(rèn)為第2組的方法比較好.）

第4組：（學(xué)生迫不及待地發(fā)言）第2組的做法雖然很好，但也不是最好的.我組認(rèn)為本題使用韋達(dá)定理會(huì)更簡(jiǎn)捷、省時(shí)、省力.

師：（馬上把話(huà)接過(guò)來(lái)）第4小組的想法很有新意，下面請(qǐng)第4小組的代表到前面給同學(xué)板演一下，好不好？

生：（齊答）好?。ㄟ@時(shí)學(xué)習(xí)氣氛非常高漲.）

第4組：我組通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)兩方程雖然未知數(shù)不同，但未知數(shù)的系數(shù)是相同的.又因?yàn)閍≠b所以我們重新構(gòu)建一個(gè)新的一元二次方程x2-3x+1=0 .由于該方程的判斷式Δ=5﹥0，∴該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即 x1、x2.因此，我們就可以把a(bǔ)、b 看作是關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+1=0 的兩個(gè)不等實(shí)根.根據(jù)韋達(dá)定理可知：a+b=3.

師：同學(xué)們贊同第4組的做法嗎？

生：同意.（齊聲答.）

[評(píng)析：教師提出問(wèn)題后，以小組形式討論、研究把“競(jìng)爭(zhēng)”意識(shí)引入課堂，充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是引導(dǎo)者、組織者、合作者的新的教學(xué)理念.]

師：第4組做法很好，很有新意.這種做法正是我們這節(jié)課的主題.

師：根據(jù)第4小組的做法，請(qǐng)同學(xué)們思考下面幾個(gè)問(wèn)題.

①若要使用此類(lèi)辦法，其兩個(gè)方程有何特點(diǎn)？

②為什么要加上條件a≠b.

（給學(xué)生5分鐘思考，然后討論.這樣讓學(xué)生帶著問(wèn)題去思考，為下面學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.）

生：我認(rèn)為所給兩方程必須都是一元二次方程并且系數(shù)相同.

生：因?yàn)樗o方程的“Δ”是大于0的，也就是說(shuō)方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，所以必須有a≠b的條件.

師：以上兩位同學(xué)說(shuō)得非常好，下面我們看變式練習(xí)，以上條件均不變.

變式1：已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b. 求：a2b+ab2的值.（學(xué)生根據(jù)以上講解，很快利用韋達(dá)定理求出了值.）

A. x2+7x+1=0B. x2+7x-1=0

C. x2-7x+1=0 D. x2-7x-1=0

（學(xué)生口答，教師指正.）

3.歸納總結(jié)

（先由學(xué)生討論，教師歸納、總結(jié)寫(xiě)在黑板一側(cè).）

①兩方程的系數(shù)相同，根不同.

②在所求的代數(shù)式不能直接代入時(shí)，應(yīng)進(jìn)行恒等變形，然后代入.

③不要直接解一元二次方程.

[評(píng)析：通過(guò)上面的總結(jié)、討論，使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)有一種“水到渠成”的感覺(jué)，從而突出了本節(jié)的重點(diǎn)，為下面的教學(xué)分散了難點(diǎn).]

4.引申教學(xué)

師：前面同學(xué)們已經(jīng)做得很好了！我們知道兩個(gè)一元二次方程只要滿(mǎn)足“形式”即可使用韋達(dá)定理，那么如果所給兩個(gè)一元二次方程的形式不同，是否可以使用韋達(dá)定理加以解決呢？請(qǐng)看例題：已知：a2+2a-1=0，b2-2b-1=0且1-ab≠0.求：[]2008的值. 請(qǐng)同學(xué)們觀察，兩個(gè)方程的系數(shù)是否相同？

生：（齊答）不同.

師：那么此題是否還可以使用韋達(dá)定理解決呢？（這時(shí)，班級(jí)一片寂靜.）

師：好！下面請(qǐng)同學(xué)們前后座為一組進(jìn)行討論.(給學(xué)生5分鐘的時(shí)間.)

生：老師，我認(rèn)為不可以使用韋達(dá)定理，因?yàn)橐淮雾?xiàng)的系數(shù)不同，這樣就無(wú)法構(gòu)造一元二次方程.

生：我也同意上面的看法.

師：這位同學(xué)做得很好，他把方程1做了巧妙的變形，揭開(kāi)了方程的表面現(xiàn)象，打破了我們的思維模式，形成了很好的發(fā)散思維，同學(xué)們應(yīng)向他學(xué)習(xí).(這時(shí)，班級(jí)爆發(fā)出一片掌聲.)

師：剛才那位同學(xué)對(duì)方程1進(jìn)行了變形，得出了正確結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們思考把方程2變形是否可以呢？（學(xué)生紛紛舉手.）

師：這位同學(xué)做得也非常好.同學(xué)們，通過(guò)這道題你學(xué)到了什么呢？

生：我認(rèn)為做題不能只看問(wèn)題的表面現(xiàn)象.

生：我認(rèn)為做題應(yīng)根據(jù)題的不同恒等變形.

生：我認(rèn)為在今后做題時(shí)要多思考，拓寬自己的知識(shí)面，挖掘問(wèn)題的本質(zhì)和內(nèi)涵.

師：這些同學(xué)都談得非常好.下面看練習(xí)：

師：同學(xué)們能自行解決嗎？

生：可以把方程②兩邊都除以t2，然后按以上方法去做.

生：也可以把方程①兩邊都除以s2，然后按以上方法去做.

[評(píng)析：教師在引申教學(xué)中，教師不是“教”而是讓學(xué)生“論”.在教師的引導(dǎo)下 由淺入深、由一般到特殊，從而使學(xué)生深深體味到韋達(dá)定理的魅力所在，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中享受成功的喜悅.很好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使他們?cè)谔幚韱?wèn)題時(shí)能不斷的探究、發(fā)現(xiàn).]

5.總結(jié)

師：同學(xué)們都做得很好.今后我們做題時(shí)要善于利用學(xué)過(guò)的知識(shí)，靈活解決學(xué)習(xí)中所遇到的問(wèn)題，要做到這一點(diǎn)，必須在完全掌握了基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上加以拓寬和延伸.這樣才能“揭開(kāi)廬山真面目”，使我們所選擇的方法簡(jiǎn)捷、明快，從而提高做題的速度和效率.

四、評(píng)析

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人.教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者. 孫老師在這節(jié)課的教學(xué)中，以韋達(dá)定理的應(yīng)用為切入點(diǎn)，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師始終以學(xué)生為中心，以引導(dǎo)、討論、研究、總結(jié)貫穿整個(gè)課堂.在知識(shí)的引申探究中，設(shè)置了深淺不同的類(lèi)型題，引導(dǎo)學(xué)生在研究、討論中由淺入深、循序漸進(jìn)、層層向上.使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一種新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式——韋達(dá)定理的巧妙應(yīng)用.激發(fā)學(xué)生的探究欲望，也領(lǐng)略了韋達(dá)定理的巧妙所在.

“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)讓學(xué)生了解客觀世界由一般到特殊再由特殊到一般的變化規(guī)律.孫老師在教學(xué)中很好地突出了應(yīng)用——總結(jié)——再應(yīng)用——再總結(jié)的教學(xué)思想.

在本節(jié)課的教學(xué)中孫老師很好地引導(dǎo)了學(xué)生如何研究、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，從而揭開(kāi)“廬山真面目”.使學(xué)生在學(xué)會(huì)如何揭示問(wèn)題本質(zhì)同時(shí)，也培養(yǎng)了不斷探究的學(xué)習(xí)意識(shí)，對(duì)學(xué)生的身心發(fā)展不無(wú)裨益.