速度分解的特殊方法

運(yùn)動(dòng)的分解是運(yùn)動(dòng)合成的逆運(yùn)算，遵守平行四邊形定則。把一個(gè)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解時(shí)，要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際效果來(lái)確定分運(yùn)動(dòng)，高中階段一般有兩類(lèi)分解方式：

(1)把一個(gè)合運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)互相垂直的平動(dòng)；(2)把一個(gè)合運(yùn)動(dòng)分解為一個(gè)平動(dòng)和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。

筆者僅就第二種分解方式在此與同行交流。為了更好地讓學(xué)生記憶，把該類(lèi)問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為繩聯(lián)問(wèn)題，解答方法稱(chēng)為繩子速度相等法。

1 問(wèn)題提出

3 突破難點(diǎn)

1.如圖5所示，兩個(gè)小球用輕彈簧相連接，沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)。若后面小球的速度大于前面小球的速度，則彈簧將被壓縮，反之則伸長(zhǎng)，要保證彈簧既不壓縮又不伸長(zhǎng)，只有兩小球沿水平方向有共同速度。

2.請(qǐng)看下面的情景，如圖6所示，物體M在一根桿OA上，桿可繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體M可沿桿上下爬。在物體M后系一根不可伸長(zhǎng)的輕繩，繩繞過(guò)光滑的定滑輪與另一個(gè)小物體m相連。

(1)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體M不動(dòng)，小物體m也不動(dòng)；如圖7所示。

(2)桿不動(dòng)，物體M沿桿上下爬動(dòng)，小物體m也上下移動(dòng)，且兩者在相等時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離相等。可見(jiàn)，小物體m的移動(dòng)速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度。如圖8所示。

(3)當(dāng)桿繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，物體M沿桿上下爬動(dòng)，小物體m也上下移動(dòng)；此時(shí)物體M參與了兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，一是隨桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，速度為v⊥，另一個(gè)是沿桿的爬行，速度為v∥。此時(shí)也可以看到，兩者在相等時(shí)間內(nèi)移動(dòng)的距離關(guān)系是：物體M沿桿爬動(dòng)的距離等于小物體m上下移動(dòng)的距離，可見(jiàn)，小物體m的移動(dòng)速度大小取決于物體M沿桿方向爬行的速度。如圖9所示。

3．下面我們換一個(gè)角度，從功率關(guān)系入手來(lái)分析它們的速度大小關(guān)系。

在不計(jì)繩的質(zhì)量和形變，以及摩擦阻力的條件下，根據(jù)能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，外力對(duì)繩的瞬時(shí)功率大小等于繩對(duì)被牽引物的瞬時(shí)功率大小功率。如圖10所示，F(xiàn)1拉繩的功率為F1v1，v1為拉繩的速度，F(xiàn)2拉車(chē)的功率為F2v2cosα，v2為車(chē)前進(jìn)(即合運(yùn)動(dòng))的速度，由F1v1=F2v2cosα，又F1=F2，故v1=v2cosα。

結(jié)論 對(duì)于繩聯(lián)(或桿聯(lián))問(wèn)題，由于繩(或桿)不可伸長(zhǎng)，繩聯(lián)(或桿聯(lián))物體的速度在繩的方向上的投影相等。求繩聯(lián)物體速度的關(guān)鍵問(wèn)題是，首先要明確繩聯(lián)物體的速度，然后將兩物體的速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進(jìn)行分解，令兩物體沿繩方向的速度相等即可求出。

4 例題解析例題1 有一半徑為R的半圓形豎直圓柱面，現(xiàn)取輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接的A、B兩球，懸掛在圓柱面邊緣兩側(cè)，A球質(zhì)量為B球質(zhì)量的2倍，現(xiàn)將A球從圓柱邊緣處由靜止釋放，如圖11。已知A始終不離開(kāi)柱面，且細(xì)繩足夠長(zhǎng)，若不計(jì)一切摩擦。求A球沿圓柱面滑至最低點(diǎn)時(shí)速度的大小。

析與解 當(dāng)A球從圓柱邊緣處沿圓柱面滑至最低點(diǎn)時(shí)，走至最低點(diǎn)時(shí)速度大小為vA，此時(shí)B球速度大小為vB。有關(guān)系vB=vAcos45°。

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，以圓柱的水平直徑為零勢(shì)點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：

5 一個(gè)相似而不相同的問(wèn)題

例2 如圖12所示。光滑半圓上有兩個(gè)小球(可看作質(zhì)點(diǎn))，質(zhì)量分別為m和M(M＞m)，由不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩掛著。今由靜止開(kāi)始釋放，求小球m沿光滑半圓運(yùn)動(dòng)至半圓的最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)的速度是多少?(小球m沿光滑半圓運(yùn)動(dòng)至半圓的最高點(diǎn)C點(diǎn)的過(guò)程中不脫離半圓)

析與解 從12圖所示位置由靜止釋放，到A達(dá)到半圓頂點(diǎn)這一過(guò)程中M受到重力Mg和牽引力F的作用，m將受牽引力F′和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M都將作變加速運(yùn)動(dòng)，本題中m走過(guò)的圓弧長(zhǎng)度始終等于M下降的高度，故二者的速度大小始終相等。當(dāng)m從半圓邊緣處沿半圓面滑至最高點(diǎn)時(shí)，走過(guò)的路程是1/4圓弧，而M下降的高度也等于1/4圓弧長(zhǎng)。

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，以半圓的水平直徑為零勢(shì)點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有：

(欄目編輯陳 潔)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。